黃小杰 劉芝秀 呂鳳姣

【摘 要】為適應(yīng)科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣已成為教學(xué)改革的主要目標(biāo)之一，且自主學(xué)習(xí)亦是學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略思想的具體表現(xiàn)形式之一。雖然數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)性的學(xué)科，但其知識(shí)和方法卻不易掌握。因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)特別注意培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，以使學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)。本文以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣為出發(fā)點(diǎn)，基于自主學(xué)習(xí)要求構(gòu)建了有關(guān)高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)例，以供自主學(xué)習(xí)教育教學(xué)理論研究。

【關(guān)鍵詞】自主學(xué)習(xí);高等數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)興趣

自主學(xué)習(xí)是一種現(xiàn)代化的學(xué)習(xí)方式，與傳統(tǒng)的定時(shí)、定點(diǎn)、定量的被動(dòng)接受學(xué)習(xí)不同，自主學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體，學(xué)習(xí)方式和過程由學(xué)生自己做主。事實(shí)證明，它更容易使學(xué)生得到知識(shí)與技能、方法與過程、情感與價(jià)值觀等方面的綜合改善和升華。自主學(xué)習(xí)是構(gòu)建學(xué)生終身學(xué)習(xí)觀的必然途徑[1，2]，也是學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略和思想的具體表現(xiàn)形式之一[3]。

當(dāng)然，課堂教學(xué)是自主學(xué)習(xí)不可替代的。課堂教學(xué)在學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力形成中能起到引領(lǐng)和關(guān)鍵性的作用，能為學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。必須指出的是，在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的新形勢(shì)下，職業(yè)轉(zhuǎn)換和知識(shí)更新速度進(jìn)一步加快，教師應(yīng)更加努力地引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，只有具備自主學(xué)習(xí)能力和習(xí)慣的學(xué)生才能更好地適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。在自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)和形成過程中，有許多值得注意的地方，如學(xué)習(xí)興趣、和諧融洽的師生關(guān)系、合理規(guī)劃學(xué)習(xí)時(shí)間和任務(wù)等。其中，學(xué)習(xí)興趣至關(guān)重要。正所謂興趣是最好的老師，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容感興趣就會(huì)愿意學(xué)習(xí)，有利于形成融洽的師生關(guān)系，亦有利于自主學(xué)習(xí)時(shí)間和任務(wù)的安排。所以，筆者贊成在教學(xué)中，以興趣培養(yǎng)為突破點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)科學(xué)[4，5]，表述內(nèi)容時(shí)?；逎y懂，所以對(duì)于它的學(xué)習(xí)尤其要以興趣為前提。

高等數(shù)學(xué)是高校眾多的公共基礎(chǔ)課程之一，但不少學(xué)生覺得高等數(shù)學(xué)課程枯燥乏味。這就無法保證教學(xué)質(zhì)量，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。為提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量并達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，筆者已運(yùn)用并積累了諸如圖示教學(xué)、直觀教學(xué)、類比教學(xué)、故事教學(xué)、懸念教學(xué)和試驗(yàn)教學(xué)等多種教學(xué)方法和技巧[6]，它們的要點(diǎn)均在于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，畢竟點(diǎn)燃興趣可以提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力已是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)。

本文從實(shí)證角度，基于自主學(xué)習(xí)的要求，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為切入點(diǎn)，構(gòu)建了一個(gè)高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)例，對(duì)高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)進(jìn)行了實(shí)踐探究，以期為相關(guān)教育教學(xué)理論工作的研究提供素材。

1? ?高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)例

“數(shù)一數(shù)、加一加、畫一畫”是常見的幼兒教育內(nèi)容，貼近生活，形象直觀。而高等數(shù)學(xué)教學(xué)也可以此入手，通過以下方式讓學(xué)生驚訝—好奇—求知—自學(xué)，并完成教師指定的自主學(xué)習(xí)任務(wù)和目標(biāo)[7]。

1.1? 數(shù)一數(shù)

提問1：自然數(shù)集是有理數(shù)（或分?jǐn)?shù)）集的真子集。記自然數(shù)集為…，記有理數(shù)集，那么。讓學(xué)生先觀察這兩個(gè)集合，從可以明顯看出集合的元素個(gè)數(shù)大于其子集的元素個(gè)數(shù)。由此可引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是有理數(shù)集的元素個(gè)數(shù)比自然數(shù)集的元素個(gè)數(shù)多呢？既然自然數(shù)集是有理數(shù)集的真子集，那么整體是不是一定比部分大？

講解1：上述問題的答案是否定的，二者的元素個(gè)數(shù)是相等的。強(qiáng)調(diào)新思想方法，用一一對(duì)應(yīng)判斷兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)是否相等。事實(shí)上，如果兩個(gè)集合的元素之間能夠建立某種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)就是相同的。

不直接證明自然數(shù)集和有理數(shù)集的元素個(gè)數(shù)是相同的。僅以正偶數(shù)集的元素個(gè)數(shù)和自然數(shù)集的元素個(gè)數(shù)是相同的為例，指出某些情況下整體可以和部分相同。

正偶數(shù)集為…，它是自然數(shù)集…的真子集，但是自然數(shù)集的元素個(gè)數(shù)并不比正偶數(shù)集的多，因?yàn)樗鼈兊脑刂g有如下一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：……。所以，雖然正偶數(shù)集是自然數(shù)集的真子集，但是正偶數(shù)集和自然數(shù)集的元素個(gè)數(shù)是相同的。

事實(shí)上，有理數(shù)集和自然數(shù)集的元素個(gè)數(shù)也是相同的，即它們的元素之間存在某種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：……。所以，“整體的個(gè)數(shù)比部分的個(gè)數(shù)多”，這一直觀的結(jié)論對(duì)于有窮集合是對(duì)的，但對(duì)于無窮集合不再正確。

自主學(xué)習(xí)要求1：讓學(xué)生自己構(gòu)造自然數(shù)集和有理數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)，證明自然數(shù)集和有理數(shù)集的元素個(gè)數(shù)相等。

提問2：是否所有無窮集合的元素個(gè)數(shù)都相同？

講解2：指明無窮集合的元素個(gè)數(shù)并不是都相同的，實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集的元素個(gè)數(shù)就不相同。

自主學(xué)習(xí)要求2：讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)并證明自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間無法建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而理解兩集合的“個(gè)數(shù)”不同。

為激發(fā)學(xué)生興趣，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師可以繼續(xù)下面的“加一加”“畫一畫”的教學(xué)內(nèi)容。

1.2? 加一加

提問3：無窮多個(gè)正數(shù)相加，越加越大，一直加下去，其和會(huì)不會(huì)比任意給定的數(shù)大？

講解3：不一定，存在無窮多個(gè)正數(shù)，其和不會(huì)比任意給定的數(shù)大。如…。這個(gè)無窮多個(gè)正數(shù)相加的和只等于1。直觀解釋：取一張紙的一半是;再取一半的一半是;依此類推，正好取完整張紙。

1.3? 畫一畫

提問4：有理數(shù)在實(shí)數(shù)軸上是稠密的，直觀看是密密麻麻地分布在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上。以每個(gè)有理點(diǎn)為中心，畫一個(gè)括號(hào)，做個(gè)區(qū)間，如下圖。

引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)每個(gè)有理點(diǎn)都做一個(gè)區(qū)間，所有這些區(qū)間并在一起是否會(huì)覆蓋整個(gè)實(shí)數(shù)軸？

講解4：直觀上看有理數(shù)稠密、密密麻麻地布滿整個(gè)實(shí)數(shù)軸，每個(gè)有理點(diǎn)有一個(gè)區(qū)間蓋住，這些區(qū)間合起來似乎也會(huì)把整個(gè)實(shí)數(shù)軸覆蓋住，但這是錯(cuò)誤的。

用剛才講的“數(shù)一數(shù)”和“加一加”的內(nèi)容證明這個(gè)直觀看法不對(duì)。即要證明存在一種區(qū)間的取法，使得所有“以有理點(diǎn)為中心的區(qū)間”并起來也不能夠蓋住整個(gè)實(shí)數(shù)軸。先把所有的有理點(diǎn)列出來，正如上文提到的，它們和自然數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以可以像自然數(shù)一樣一一列出來…。再分別以每個(gè)有理點(diǎn)為中心做如下區(qū)間…，區(qū)間的長(zhǎng)度分別為…，這些區(qū)間的長(zhǎng)度加起來為…，而整個(gè)實(shí)數(shù)軸的長(zhǎng)度卻無窮大。所以，雖然它們已經(jīng)蓋住了所有的有理數(shù)點(diǎn)，但即使把所有這些區(qū)間并起來也不可能蓋住整個(gè)實(shí)數(shù)軸。

總之，以上教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生的固有思維造成了很大沖擊，引發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在此課后的一周，幾乎所有學(xué)生都自發(fā)學(xué)習(xí)并明白了自然數(shù)集和有理數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也明白了并不是所有無窮集都是一一對(duì)應(yīng)的，還知道了稠密開子集的概念和基本性質(zhì)。該課取得了較好的引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的效果。當(dāng)然，以上教學(xué)實(shí)例難免有不妥之處，希望能拋磚引玉，為自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的教育教學(xué)理論研究提供素材。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]龐維國(guó).90年代以來國(guó)外自主學(xué)習(xí)研究的若干進(jìn)展[J].心理學(xué)動(dòng)態(tài)，2000（4）.

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[4]張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用：文科類高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1997.

[5]葉其孝.把數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法融人高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)中去[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003（8）.

[6]蕭樹鐵.高等數(shù)學(xué)改革研究報(bào)告[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（9）.

[7]李忠，周建瑩.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2004.

【作者簡(jiǎn)介】

黃小杰（1983～），男，漢，江西南昌人，講師，博士研究生。研究方向：數(shù)學(xué)及其教育。

劉芝秀（1982～），女，漢，四川榮縣人，講師，碩士研究生。研究方向：數(shù)學(xué)及其教育。

呂鳳姣（1983～），女，漢，河南商丘人，副教授，碩士研究生。研究方向：數(shù)學(xué)及其教育。