二次函數(shù)在生活中的建模應(yīng)用

沙之超

【摘要】數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力的重要載體，本文通過對二次函數(shù)知識點的研究，采用相應(yīng)的教學(xué)方法，體現(xiàn)二次函數(shù)在生活中的建模應(yīng)用，由簡入難地驅(qū)動學(xué)生完成相應(yīng)的目標(biāo)任務(wù)，由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的實踐和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)，建模，任務(wù)驅(qū)動，應(yīng)用教學(xué)

函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)思想，在實際生活中充當(dāng)了數(shù)學(xué)建模的重要工具，因此，二次函數(shù)的課程中，有大部分內(nèi)容都擁有很強(qiáng)的理論性，具有一定的抽象性，故而在學(xué)生普遍對二次函數(shù)在生活中應(yīng)用興趣不濃，覺得乏味枯燥，這就需要在二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將建模思想引入實例中，發(fā)現(xiàn)問題并能解決問題，這樣不僅能提升二次函數(shù)的趣味性，更能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.數(shù)學(xué)建模思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用，對教學(xué)效果有很大幫助，與此同時利用任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)方法，可以大大增加學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的理論知識和實踐生活的應(yīng)用的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模解決實際問題的整個過程，體驗二次函數(shù)的應(yīng)用價值.

一、任務(wù)設(shè)計

某設(shè)計公司在一次商品推介會上為了抓住商機(jī)，專門設(shè)計了一款產(chǎn)品，其成本為20元/件，請為該公司考慮如何定價、定量，才能使得該公司的利潤最大化.

提出問題：每件產(chǎn)品有固定的成本，那么該產(chǎn)品的利潤和什么掛鉤？

將學(xué)生進(jìn)行分組，小組討論，歸納并總結(jié)討論的結(jié)果：與生產(chǎn)的單價、產(chǎn)品的質(zhì)量、銷售量等等相關(guān).通過學(xué)生的參與，教師進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)，假定排除一些不必要的因素，只考慮與生產(chǎn)和銷售相關(guān)的因素，那么不難得出利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價×銷售量，成本總價=成本單價×銷售量.根據(jù)這些變量之間的關(guān)聯(lián)，教師設(shè)計兩個任務(wù)，學(xué)生進(jìn)行探討，任務(wù)一是探究銷售單價和銷售量之間的關(guān)系，任務(wù)二是探究如何定價定量才能使得銷售利潤最大化.

二、實施任務(wù)

任務(wù)一：通過實踐調(diào)查，同時考慮到市場中該件商品的銷售單價會有一定的漲幅，與此同時銷售量也會下降，故得到如下數(shù)據(jù)（該數(shù)據(jù)已知）.

模型構(gòu)建：需要學(xué)生進(jìn)行分組討論，從三組數(shù)據(jù)中，學(xué)生能否得出兩個量之間的關(guān)系，在探討的同時，教師也需要一定程度地參與.

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生可以得出函數(shù)關(guān)系，設(shè)銷售單價為x，銷售量為y，將對應(yīng)形成的三個點（30，500），（40，400），（50，300）代入y=kx+b，得k=-10，b=800，因此，y=-10x+800（20≤x≤80）.

任務(wù)二：根據(jù)以上的銷售單價與銷售量之間的關(guān)系，當(dāng)銷售單價為多少時，才能獲得最大的利潤，此時最大利潤是多少，產(chǎn)量是多少？

學(xué)生進(jìn)行分組討論，自主構(gòu)建模型.設(shè)利潤為z，得z=（x-20）y=（x-20）（-10x-800）=-10x2+1 000x-16 000（20≤x≤80），化簡得z=-10（x-50）2+9 000（20≤x≤80），求解得出當(dāng)x=50時，zmax=9 000，y=-10×50+800=300，因20≤x≤80，x=50符合該區(qū)間，因此，當(dāng)銷售定價為50元/件時，能夠獲得最大的利潤為9 000元，工廠生產(chǎn)此件商品的產(chǎn)量為300件.

三、教學(xué)反思

（一）任務(wù)分解，合二為一

對二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用而言，可以通過任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法來進(jìn)行對實際問題的剖析和解決.在遇到實際問題時對總?cè)蝿?wù)進(jìn)行相應(yīng)的任務(wù)分解.任務(wù)一的設(shè)計具有挑戰(zhàn)性，根據(jù)三組離散的數(shù)據(jù)得出銷售單價與銷售量之間的關(guān)系，學(xué)生無從下手，但在教師的點撥啟發(fā)下，通過函數(shù)作圖得出二者的關(guān)系.任務(wù)二的實施由學(xué)生自主完成，教師只參與任務(wù)結(jié)果的評價，該任務(wù)的完成鼓舞了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，完成這兩個任務(wù)之后就對其總?cè)蝿?wù)進(jìn)行總結(jié)歸納得出總結(jié)論.

（二）由簡入難，難易適中

在二次函數(shù)的模型的分析和建構(gòu)中，鞏固二次函數(shù)的主要知識點，掌握數(shù)學(xué)建模的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力和實踐應(yīng)用能力.本著這一目標(biāo)，根據(jù)初中生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、學(xué)習(xí)興趣不濃、應(yīng)用能力弱的實情，教師創(chuàng)設(shè)了設(shè)計公司銷售產(chǎn)品的情境，由此引出總?cè)蝿?wù).圍繞利潤，學(xué)生展開討論，切合生活實際，列舉了許多與利潤有關(guān)的因素，課堂氣氛活躍.教師又把總?cè)蝿?wù)細(xì)化成兩個小任務(wù).任務(wù)一：根據(jù)提供的數(shù)據(jù)得出銷售單價與銷售量之間的關(guān)系.從最簡單的一次函數(shù)入手，遵循由簡入難的原則，讓學(xué)生在第一個任務(wù)中碰到的問題較少，解決方法也具有一定的開放性，采用散點圖進(jìn)行圖像擬合，得出一次函數(shù)模型.任務(wù)二由學(xué)生自主完成，通過構(gòu)建二次函數(shù)模型可得以解決，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模的一般步驟，同時對二次函數(shù)知識點進(jìn)行一定程度的理解和加深.

（三）自主建模，教師引導(dǎo)

在二次函數(shù)建模過程中，教師要設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}，喚起學(xué)生思維，參與積極和創(chuàng)造.通過對問題的提出，創(chuàng)設(shè)了一個寬松、融洽的課堂環(huán)境，學(xué)生也能夠積極參與討論，無拘無束地進(jìn)行交流探索活動.教師要為學(xué)生搭建建?；顒颖匾恼J(rèn)知平臺，在他們遇到困惑時，給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和啟發(fā)，但并不包辦代替，在學(xué)生討論無果，探究遇到障礙時，適時給予探究的線索，重燃學(xué)生探究的信心.

四、結(jié) 論

由于初中學(xué)生對實際問題的解決意識較為缺乏，故而需要在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力進(jìn)行一定程度的培養(yǎng)，通過對二次函數(shù)在實際生活中建模的應(yīng)用，利用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法將建模思想融入一個一個的任務(wù)中，這樣既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，更能讓學(xué)生學(xué)會自主解決數(shù)學(xué)問題.

【參考文獻(xiàn)】

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