江西省九江市第七中學(xué) (332000) 張明星

高中數(shù)學(xué)教材幾經(jīng)改版，但《集合》章節(jié)始終統(tǒng)領(lǐng)全篇，《集合》中的“交、并、補(bǔ)”思想，以及集合符號(hào)的表示，在隨后各章節(jié)中都有所體現(xiàn).尤其在學(xué)習(xí)《立體幾何》時(shí)，由于需要頻繁使用集合符號(hào)來表述“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”，學(xué)生在概念不清時(shí)，極易混淆出錯(cuò).

1.線與線位置關(guān)系中，誤將“m∩n=?”等同于“m∥n”

空間中兩直線m、n，在已知“m∩n=?”時(shí)，初學(xué)者易等同于“m∥n”.辨析時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生“判斷平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，若它們無公共點(diǎn)，則它們是何種位置關(guān)系？”——“兩直線平行”；“那在空間中呢？”對(duì)于初學(xué)者來說，“異面”這個(gè)概念，本身就是一個(gè)難點(diǎn)，從平面到空間,有一個(gè)知識(shí)跨度的問題；理解這類難點(diǎn)概念的法寶之一是“對(duì)比學(xué)習(xí)法”——“空間中直線m與平面α，若m∩α=?，則m∥α”；“空間中平面α與平面β，若α∩β=?，則α∥β”；“空間中兩直線m、n，若已知m∩n=?，兩者的位置關(guān)系有‘平行或異面’兩種可能”，而不僅僅是“m∥n”.前面所述“易錯(cuò)辨析”，提醒的是“空間中，兩直線位置關(guān)系中，別遺漏‘異面’這一類情況”，但還得提防另一類極端——“異面”這一概念，僅存于“空間兩條直線位置關(guān)系的表述中”，“異面直線是指不在同一平面上的兩條直線”；而“直線與平面”、“平面與平面”，均不存在“異面”這一說法，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生辨析清楚，以免學(xué)生不分場合，濫用“異面”這一概念導(dǎo)致出錯(cuò).

2.線與面位置關(guān)系中，誤將“l(fā)α”等同于“l(fā)∥α”

空間中，在已知“直線lα”時(shí)，學(xué)生易片面地理解成“l(fā)∥α”.辨析時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生“空間中，直線l在平面α外，是否僅僅意味著直線l與平面α無公共點(diǎn)？”——“已知lα，按照兩者的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：若兩者無公共點(diǎn)，即l∩α=?，則l∥α，這是直線l在平面α外的其中一類情況；若兩者有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即l∩α=P，則l與α相交，這是‘直線l在平面α外’的另一類情況.即lα應(yīng)包括以上兩類情況，不能以偏概全”.學(xué)生初學(xué)時(shí)，之所以易出現(xiàn)上述“遺漏”，是因?yàn)樗麄儠?huì)把“直線l與平面α相交于一點(diǎn)，當(dāng)作‘直線在平面內(nèi)’”；需引導(dǎo)他們：真正的“直線在平面內(nèi)”，指的是“這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)”.

3.線與面位置關(guān)系中，誤將“∈”當(dāng)“”

接著上面說，如果“直線l在平面α內(nèi)”，如何用數(shù)學(xué)語言來表述？實(shí)際在教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生易誤寫成“l(fā)∈α”.辨析時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生“構(gòu)成直線l的基本元素是什么？”——“是點(diǎn)”，直線可看作點(diǎn)的集合；“構(gòu)成平面α的基本元素是什么？”——“也是點(diǎn)”，平面也可看作點(diǎn)的集合.“直線l在平面α內(nèi)”，即“前面直線集合中的元素都是后面平面集合中的元素，但后面平面集合中的元素未必都是前面直線集合中的元素”；用集合概念來表述兩者的關(guān)系，應(yīng)理解為“直線集合是平面集合的真子集”；以集合符號(hào)來表示，應(yīng)寫作“l(fā)α”.集合符號(hào)“∈”表示的是“元素和集合之間的關(guān)系”，如果“點(diǎn)A在直線l上”、“點(diǎn)A在平面α內(nèi)”，才應(yīng)寫成“A∈l”、“A∈α”.

課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的“前后呼應(yīng)”、“溫故而知新”，本身就是很好的教學(xué)方法；而以《立體幾何》中“點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”為載體，辨析集合符號(hào)的規(guī)范使用，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)《集合》章節(jié)知識(shí)的回顧、理解，有助于學(xué)生把握相近集合符號(hào)之間的差別.我們?cè)谶@一階段的教學(xué)中，可不要輕易放過這個(gè)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)思維的好時(shí)機(jī).