在實(shí)踐中“做數(shù)學(xué)”

馬啟健

【摘? 要】隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，幾何教學(xué)中培養(yǎng)的空間觀念與能力，對其他領(lǐng)域產(chǎn)生的影響越來越大。小學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)需要“虛實(shí)相生”的教學(xué)策略，讓學(xué)生動(dòng)手操作學(xué)具，以實(shí)踐活動(dòng)為基礎(chǔ)，觀察思考，自主探索與合作交流的過程中，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

【關(guān)鍵詞】幾何教學(xué);空間觀念;教學(xué)嘗試

一、緣起：怎么這么難算的“圓柱體積”

人教版六年級數(shù)學(xué)下冊練習(xí)五最后一題：下面4個(gè)圖形的面積都是36dm2 。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個(gè)圓柱的體積最??？哪個(gè)圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？（單位：dm）

孩子們做這題，無一例外的都認(rèn)為很難。難的原因不是因?yàn)檫@道題有多種卷法，也不是因?yàn)檫@道題是已知圓柱的底面周長與高要求圓柱的體積，更不是因?yàn)橥ㄟ^計(jì)算結(jié)果所要發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。這道題之所以給學(xué)生帶來很大困難，在于根據(jù)底面周長求出半徑再求底面積的計(jì)算量實(shí)在太大，且計(jì)算的難度很大。

以第一圖為例，第一種卷法的圓柱底面半徑18÷3.14÷2就已經(jīng)超過六年級學(xué)生的計(jì)算水平，因?yàn)楝F(xiàn)行教材的除法只學(xué)到兩位數(shù)除三位數(shù)。更何況前三幅圖都有兩種卷法，共有七種卷法。每種卷法都要先算出半徑，再算出底面積，最后算出體積。即使借助計(jì)算器，這道題的計(jì)算也要花費(fèi)大量的時(shí)間。

二、疑惑：題目中的數(shù)據(jù)為什么不選用3.14的倍數(shù)

題目中的數(shù)據(jù)如果選用3.14的倍數(shù)，如6.28、12.56、18.84等，計(jì)算略為好算了，但有價(jià)值嗎？花費(fèi)七遍的時(shí)間，重復(fù)練習(xí)除了讓學(xué)生進(jìn)一步掌握已知圓柱的底面周長與高求圓柱體積的流程之外沒有多大價(jià)值，還會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)和抵觸情緒。

難道編者故意刁難教師和學(xué)生？編者不可能故意刁難教師和學(xué)生！那編者的意圖又是什么呢？“人不走讓樓梯走”換角度思考問題發(fā)明了電梯。這道題這么難算，有沒有不要算的方法？

三、反思

（一）圓周率π的近似值可以取整數(shù)3

這樣計(jì)算略為簡單，但這題僅僅是這一目的嗎？

（二）被忽略的另一種算法

眾所周知，圓柱體積等于底面積乘高。當(dāng)圓柱體換一個(gè)位置擺放，體積不變，底面積是側(cè)面積的一半，高是圓柱的半徑。也就是說圓柱體積=側(cè)面積的一半×半徑。

面對此題，我再次思考：圓柱體積=側(cè)面積的一半×半徑，這種方法為什么會(huì)被忽略？

“學(xué)生的空間想象能力太差了，教完就忘記！”一位教師的抱怨給了我啟發(fā)：以往我只注重對教材的解讀，卻忽略了對學(xué)情的深度把握。教學(xué)的難點(diǎn)不僅僅來自學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生的空間想象力才是制約學(xué)生學(xué)習(xí)的根本因素。依據(jù)教材，學(xué)生被強(qiáng)化的只是“圓柱體積=底面積×高”的技能，空間觀念沒有得到相應(yīng)的發(fā)展。因此學(xué)生在課堂上雖然“掌握”了知識，實(shí)際上這種“掌握”缺少支撐，如同無根之草，經(jīng)不起時(shí)間的檢驗(yàn)，更經(jīng)不起變式題目的檢驗(yàn)。要讓學(xué)生真正掌握，應(yīng)該將教學(xué)的重點(diǎn)放在“發(fā)展學(xué)生的空間觀念”之上。

什么是空間觀念？看不見摸不著的空間觀念又該如何培養(yǎng)？2011年修訂版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：空間觀念主要表現(xiàn)在：能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化;能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形;能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系;能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化;能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系;能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考。

四、實(shí)踐：基于發(fā)展空間觀念的教學(xué)嘗試

空間觀念既有“實(shí)”的一面，以“圓柱體積公式推導(dǎo)”一課為例，實(shí)指的是：學(xué)生能用圓柱學(xué)具，通過切拼成長方體，描述出變化的過程及結(jié)果?？臻g觀念也有“虛”的一面，“虛”指的是支撐學(xué)生理解和操作的空間想象能力?！皩?shí)”需要“虛”的統(tǒng)攝和支撐，“虛”需要“實(shí)”的誘發(fā)和表現(xiàn)，虛實(shí)相生是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略。體悟?qū)W生的計(jì)算困難，我把這道題教學(xué)的重點(diǎn)放在“發(fā)展空間觀念”這一核心問題上，引導(dǎo)學(xué)生再次閱讀課本第25頁圓柱體積公式的推導(dǎo)，教師演示教具，然后學(xué)生自己操作學(xué)具，采取“虛實(shí)相生”的教學(xué)策略，透視公式推導(dǎo)直觀本意，助力學(xué)生很好地理解了數(shù)學(xué)知識。

（一）空間想象能力是虛的

“虛”的“空間想象能力”并不是憑空產(chǎn)生的，需要實(shí)境來誘發(fā)和開拓。為此我通過學(xué)生的操作學(xué)習(xí)活動(dòng)來“豐盈學(xué)生的空間想象力”。蘇霍姆林斯基說：“學(xué)生的思維在他們的指尖上?！睂W(xué)生的空間想象力同樣在他們的指尖上，讓學(xué)生動(dòng)手操作學(xué)具，以此活動(dòng)為基礎(chǔ)，觀察思考，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（三）用圓柱學(xué)具切拼成長方體是“實(shí)”的

教學(xué)不能停留在看山是山的層面，從具體走向抽象，依托實(shí)像誘發(fā)想象能有效地發(fā)展學(xué)生的空間觀念。動(dòng)手操作后要求學(xué)生描述圓柱學(xué)具切拼成長方體的過程，描述過程后還要說說自己的發(fā)現(xiàn)：什么變了？什么沒變？有了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)的鋪墊，這樣學(xué)生就會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由整體想象到細(xì)致思考的過程，而不至于把圖形推導(dǎo)的結(jié)果僅僅演變?yōu)榧寄艿挠?xùn)練，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

在前面的教學(xué)中，通過實(shí)踐操作，學(xué)生已發(fā)現(xiàn)把一個(gè)圓柱切開可以拼成一個(gè)近似的長方體，在轉(zhuǎn)變過程中體積不變，底面積相等，高相等，并由此推導(dǎo)出圓柱的體積公式是底面積乘高，可以說這個(gè)公式已在孩子們腦中牢牢掌握。在推導(dǎo)的過程中，我把拼成的長方體放倒，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：現(xiàn)在什么變了？什么沒有變？長方體擺放的樣子變了，體積沒變。原來長方體的前面變成了底面，此時(shí)長方體的底面積就是原來圓柱側(cè)面積的一半，長方體的高就是圓柱的半徑，所以得出另一個(gè)公式——圓柱體積=側(cè)面積的一半×半徑（如下圖），并可進(jìn)一步得出當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，圓柱的體積與底面半徑成正比例的結(jié)論。

通過閱讀教材、動(dòng)手操作，學(xué)生恍然大悟。其實(shí)這道題可以不用計(jì)算，通過推理就能知道哪個(gè)圓柱的體積最大？哪個(gè)圓柱的體積最小了。由于題目中四個(gè)長方形的面積相等，所以卷成的七個(gè)圓柱的側(cè)面積就相等，它們的體積大小只需要考察底面半徑即可。因?yàn)閳A的半徑與圓的周長成正比例，所以當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，圓柱的體積與底面周長成正比例，底面周長越大的圓柱體積就越大，底面周長越小的圓柱體積就越小。也就是當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，圓柱的體積與底面半徑成正比例，底面半徑越大的圓柱體積就越大，底面半徑越小的圓柱體積就越小。本文開頭的練習(xí)，七個(gè)數(shù)據(jù)中18最大，2最小。所以第一張紙橫著卷時(shí)，18dm的底面周長最大，也就是底面半徑最大，這時(shí)的體積也就最大。第一張紙豎著卷時(shí)，2dm的底面周長最小，也就是底面半徑最小，這時(shí)的體積也就最小。

五、感悟：換個(gè)角度柳暗花明

就這樣，一道計(jì)算很繁瑣的問題通過換個(gè)角度觀察、思考、推理，不要計(jì)算就解決了，而且在解決問題的過程中培養(yǎng)了學(xué)生觀察圖形、有效推理的能力，發(fā)展了學(xué)生的求異思維和空間觀念。真是“山重水盡疑無路，柳暗花明又一村”。通過這道題的練習(xí)，說明僅僅基于教材的深度解讀，雖然學(xué)習(xí)材料層次清晰，但是教學(xué)的指向是技能的提升，依靠的是外在的強(qiáng)化訓(xùn)練，有效果卻不牢固;我們的教學(xué)設(shè)計(jì)必須基于學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，基于學(xué)的設(shè)計(jì)，重在發(fā)展學(xué)生的空間觀念，指向了學(xué)習(xí)的本質(zhì)，才會(huì)取得更好的效果。看來，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)“很難算”等現(xiàn)象的時(shí)候，我們需要思考的不僅僅是教材的難度問題，更要思考學(xué)生學(xué)力的提升問題，以往的教學(xué)我們更多地關(guān)注前者，以后的教學(xué)我們應(yīng)該更多地關(guān)注后者。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]吳麗云.虛實(shí)相生透視本意助力理解[J].新教師，2018（7）.

（責(zé)任編輯? 袁 霜）