莫邦哲　邵延會

【摘 要】數(shù)學文化的教育價值在于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方式，形成正確的數(shù)學觀念，并使之成為數(shù)學的核心素養(yǎng)。研究者以“等差數(shù)列的前n項和”為例，挖掘數(shù)學文化中的思想方法的典型性、思維活動的創(chuàng)造性、數(shù)學表達的深刻性，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學文化;核心素養(yǎng);等差數(shù)列求和

【作者簡介】莫邦哲，正高級教師，廣西數(shù)學特級教師，廣西八桂教育家搖籃工程學員，廣西師范大學大學基礎(chǔ)教育研究院兼職研究員;邵延會，一級教師。

【基金項目】廣西“十三五”規(guī)劃2019年度課題“新時代西部示范性高中卓越課程建設(shè)研究——以柳州鐵一中學為例”（2019C292）

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《新課標》）把數(shù)學文化貫穿于課程的全過程，不斷引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值?！缎抡n標》指出，高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng);依據(jù)數(shù)學學科特點，關(guān)注數(shù)學邏輯體系、內(nèi)容主線、知識之間的關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學實踐和數(shù)學文化?！缎抡n標》還進一步指出，數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學在人類生活、科學技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關(guān)的人文活動[1]。但是在實施意見中，如何滲透數(shù)學文化，如何挖掘數(shù)學文化的育人價值等關(guān)鍵問題，《新課標》卻沒有進行具體闡釋，也沒有給出可操作的指導意見，為此，筆者以“等差數(shù)列的前n項和”為例進行研究。

一、教學分析

“等差數(shù)列的前n項和”是人教版高中數(shù)學必修5第二章的內(nèi)容。很多教師的教學設(shè)計都是從“數(shù)學天才高斯10歲計算1+2+3+…+100”的故事引入。這個故事能積極調(diào)動學生的學習熱情，同時也給出了一個“不值一提”的等差數(shù)列求和的簡單例證。其次，教師會提出這樣一個問題：等差數(shù)列從第1項到第n項的和如何求？教師一般會提示學生仿照高斯算法（倒序相加），利用等差數(shù)列下標和性質(zhì)，化簡得到等差數(shù)列的前n項和公式。接著，教師示范如何用公式求等差數(shù)列的前n項和。最后，教師讓學生練習鞏固。其實本節(jié)課的教學重點在于公式的推導和運用，然而有的教師對公式的推導卻輕描淡寫，用高斯的算法故事帶過，高斯的算法故事成了教學的噱頭，甚至是回避教學難點的方法。數(shù)學文化的價值在于培養(yǎng)學生數(shù)學思維方式，并形成正確的數(shù)學觀念，使之成為數(shù)學的核心素養(yǎng)。從這個意義上說，數(shù)學核心素養(yǎng)培育的過程就是數(shù)學文化孕育的過程，數(shù)學文化中所蘊含的思想方法的典型性、思維的創(chuàng)造性、表述的深刻性是進行數(shù)學文化孕育的重要原材料。

二、數(shù)學文化價值的挖掘

（一）挖掘數(shù)學思想方法的典型性

高斯算法的教學價值何在？是否只是一個天才的故事，抑或是一個等差數(shù)列求和的簡單案例？如果是這樣，那么故事的內(nèi)容對于高中學生而言卻過于簡單。在教學中，如果教師對故事不加以改造，學生就不會想到其中蘊含的數(shù)學思想——對稱的思想、配對的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，以及數(shù)學的簡潔美。因此，高斯算法的故事的教學價值不在于高斯的聰明，而在于故事中所蘊含的數(shù)學思想方法的代表性和典型性，這是教師在教學中需要挖掘的。結(jié)合學生實際情況，筆者對高斯算法的故事進行了挖掘，增加了下面三個教學環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一：計算1+2+3+…+101的值。

該教學環(huán)節(jié)是對高斯算法的反思與簡單推廣，讓學生對對稱性和配對思想有所感悟。將高斯算法從1+2+3+…+100推廣到1+2+3+…+101，引導學生通過對比兩式，發(fā)現(xiàn)它們的共性：首尾兩數(shù)配對后仍然具有“等和”的特點，因此用高斯的算法仍然適用。與此同時，教師還要引導學生發(fā)現(xiàn)它們之間的個性：第一個算式是偶數(shù)項，恰好成雙成對，第二個算式是奇數(shù)項，配對后剩余一個中間項，而此中間項是配對的兩數(shù)和的平均數(shù)。通過簡單的推廣，讓學生感悟到具有等和特點的數(shù)都具有共同的平均數(shù)，這些數(shù)以中間項為中點排列構(gòu)成一個數(shù)列（等差數(shù)列），從而突出等差數(shù)列具有等和的性質(zhì)，以及中心對稱的幾何特征，為教學環(huán)節(jié)二和環(huán)節(jié)三做鋪墊。

環(huán)節(jié)二：化簡1+2+3+…+101+…+n。

教學環(huán)節(jié)二是將高斯算法從有限項推廣到任意項的情形，把具體問題一般化。在該題的求解中，學生通過類比教學環(huán)節(jié)一的做法可以很快算出結(jié)果，但是計算的過程存在不少問題，而對這些問題的反思和解決，正是我們挖掘高斯算法故事的價值所在。例如學生不考慮n的奇偶性而直接套用結(jié)論，無法說出所得結(jié)果的算法意義，導致把問題推廣到更一般的等差數(shù)列之后，學生不會運用倒序相加法。教師引導學生對n的奇偶性進行討論后，一方面需要運用配對法來解題，另一方面也在不斷滲透等和與對稱的知識表征，為引出等差數(shù)列的求和做鋪墊。

環(huán)節(jié)三：an是等差數(shù)列，求a1+a2+…+an的值。

通過教學環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)二的鋪墊，學生對自然數(shù)形態(tài)的等差數(shù)列的求和有了進一步的認識，能提煉出高斯算法中的等和性和對稱性，為把問題推廣到更一般的等差數(shù)列奠定了實踐基礎(chǔ)。在該題的求解中，教師可以通過設(shè)計支架性問題對學生進行引導：an=n是等差數(shù)列，求1+2+3+…+n的和運用了倒序相加的方法，那么求等差數(shù)列的前n項和是否也可以采用倒序相加的方法？

至此，通過設(shè)計三個教學環(huán)節(jié)，挖掘高斯算法的數(shù)列特征，把高斯算法從有限項的運算推廣到任意項的情形，再推廣到更一般的情形。

（二）挖掘數(shù)學思維活動的創(chuàng)造性

等差數(shù)列求和為什么要倒序相加？不倒序相加可以嗎？怎么想到倒序相加的？在課堂教學中，筆者發(fā)現(xiàn)這是一個很有趣的問題。很多教師認為借助高斯算法的故事，這些問題的解決是一個很自然的過程。但是從實際的教學過程來看，學生卻感到不好理解，教師認為高斯算法很簡單、很好理解，所以從特殊到一般，從具體到抽象應(yīng)該是一個很自然的過程。而學生卻很茫然，因為他們覺得求1+2+3+…+100以及1+2+3+…+n的值沒問題，但對如何求解a1+a2+…+an卻沒有思路。因為1+2+3+…+100=5050，1+2+3+…+n=f（n），而a1+a2+…+an能用什么樣的式子來表達卻不明白，即使學生能用n（n+1）2表示1+2+3+…+n的運算結(jié)果，并不意味著他們就能運用倒序相加的方法來推導，即學生對n（n+1）2的意義未必真正理解，而這正是倒序相加的關(guān)鍵。學生對n（n+1）2的理解更多是基于對100×（100+1）2類比，但是把一個式子重新寫一遍，而且是把順序倒過來，就不再是一種類比，而是一種思維的創(chuàng)新。