李祖雄

[摘 要] 數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)如數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、理工科等的核心專業(yè)課，是實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、泛函分析、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何等大學(xué)后續(xù)課程的基石。結(jié)合近年來數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的實(shí)踐，針對實(shí)驗(yàn)班數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)體會(huì)與經(jīng)驗(yàn)共享于同行。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)分析;教學(xué)改革;核心課程;實(shí)驗(yàn)班教學(xué)

實(shí)驗(yàn)班往往是通過入學(xué)考試、開學(xué)選拔等方式挑選出部分優(yōu)秀且有志于進(jìn)一步深造的學(xué)生而設(shè)立的班級(jí)。其培養(yǎng)目標(biāo)為：培養(yǎng)適合中小學(xué)教育和社會(huì)發(fā)展需要，具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基本理論、基本方法，具備運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)軟件解決現(xiàn)實(shí)問題的能力，接受過嚴(yán)格的科學(xué)思維訓(xùn)練，能在教育、經(jīng)濟(jì)、金融、科技等部門從事教學(xué)、管理或研究等工作的高素質(zhì)人才，為各高校的碩士研究生教育提供優(yōu)良生源。

創(chuàng)建于17世紀(jì)的數(shù)學(xué)分析是應(yīng)用十分廣泛的學(xué)科，是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)及相關(guān)學(xué)科最為核心的專業(yè)基礎(chǔ)課，是奠定后續(xù)分析課程的基石，也是數(shù)學(xué)專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考科目之一，它的重要性不言而喻。實(shí)驗(yàn)班的課程學(xué)習(xí)往往設(shè)置為4學(xué)期，每周講授6學(xué)時(shí)，這樣增長了學(xué)習(xí)周期和學(xué)習(xí)消化時(shí)間，有利用學(xué)生更好地掌握知識(shí)，為今后的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)分析課程是通過四個(gè)學(xué)期系統(tǒng)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)訓(xùn)練，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，養(yǎng)成他們的數(shù)學(xué)思維，提高他們分析解決問題的能力。

由于數(shù)學(xué)分析課程是打開其他課程大門的金鑰匙，也是學(xué)生學(xué)習(xí)道路上的“攔路虎”，因此教好它和學(xué)好它極為重要。為了更好地教好數(shù)學(xué)分析這門核心課程，為學(xué)生后續(xù)課程學(xué)習(xí)打下扎實(shí)基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)分析的教學(xué)提出一些想法和思考，僅供參考。

一、注重脈絡(luò)框架搭建，強(qiáng)調(diào)理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)分析是用極限這一數(shù)學(xué)工具來研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性這些分析性質(zhì)，極限貫穿整個(gè)課程。函數(shù)包含一元函數(shù)及多元函數(shù)，而數(shù)列又是自變量為正整數(shù)的特殊一元函數(shù)，當(dāng)然級(jí)數(shù)是無數(shù)項(xiàng)數(shù)列的和，是一元函數(shù)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是特殊的和函數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一般的和函數(shù)，而傅里葉級(jí)數(shù)是將周期函數(shù)展開為三角級(jí)數(shù)的形式。從一元函數(shù)擴(kuò)充到多元函數(shù)，同樣研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性等分析性質(zhì)，其框架可見圖1。而這些分析性質(zhì)都需要極限來研究，從而數(shù)學(xué)分析課程首先要強(qiáng)調(diào)極限的重要性，但極限既是數(shù)學(xué)分析課程的重點(diǎn)又是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

對于大學(xué)一年級(jí)新生剛接觸數(shù)學(xué)分析，學(xué)習(xí)難度很大，因?yàn)楹芏喔拍罴仁煜び帜吧煜ぴ谟谒麄冊谥袑W(xué)階段學(xué)習(xí)了極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等知識(shí)點(diǎn)，而陌生在于對于這些知識(shí)點(diǎn)的精確數(shù)學(xué)定義和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言是全新的。由于在高中階段他們所接觸的知識(shí)點(diǎn)偏重于計(jì)算，是較為直觀初等的，一入學(xué)就接觸抽象的描述變量變化趨勢的極限的概念，即描述數(shù)列極限的ε-N語言和描述函數(shù)極限的ε-δ語言是極其困惑的。因此，老師必須采取措施讓學(xué)生渡過這一難關(guān)，否則學(xué)生面臨著失去學(xué)習(xí)興趣的危險(xiǎn).數(shù)列其定義為：？坌ε>0，？堝正整數(shù)N=N（ε），使得當(dāng)n>N時(shí)總有。首先用直觀的圖形解釋極限的定義（見圖2，文獻(xiàn)[1]）。從圖2中我們可以清晰地看到從N+1項(xiàng)起所有的x的值都落在α-ε與α+ε這個(gè)條形區(qū)域之間，也就是點(diǎn)列{x}聚集在α的附近，由于ε的任意性，則α-ε與α+ε可以任意收縮到α點(diǎn)。其次，可以舉例說明極限的定義，若取ε=0.001，則從1001項(xiàng)開始就會(huì)滿足|x|<ε，若取ε=0.0001，則從10001項(xiàng)開始才會(huì)滿足|x|<ε，以此來說明ε的任意性和給定性，只有給定了ε，就能找到正整數(shù)N，只要N存在即可。再就是要說明數(shù)列的極限與前面有限項(xiàng)無關(guān)，改變數(shù)列前面的有限項(xiàng)不改變數(shù)列的極限。最后，需要通過提問、復(fù)習(xí)等方式反復(fù)強(qiáng)調(diào)ε-δ語言，加深學(xué)生對概念的印象。

函數(shù)的極限注重自變量極限過程的六種情況和函數(shù)值極限的四種情況的組合，如f（x）=A的定義兩端描述了函數(shù)值的極限，中間部分表述了自變量極限的過程。同樣可以和數(shù)列極限的定義進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)它們的相同和不同，以及今后學(xué)習(xí)多元函數(shù)的極限的定義可以類似分析其定義的同與不同，同樣可以應(yīng)用直觀的圖形來幫助學(xué)生理解函數(shù)極限的定義，在這里就不畫圖加以說明了。由于函數(shù)的極限與函數(shù)的分析性質(zhì)密切相關(guān)，而且連續(xù)性、可微性、可積性都是極限予以定義，這樣可以反復(fù)加強(qiáng)函數(shù)極限的定義的理解和應(yīng)用。

逐步強(qiáng)化加深學(xué)生對各種重要定理的理解和應(yīng)用，例如，柯西收斂準(zhǔn)則在數(shù)列極限的斂散性、函數(shù)極限的斂散性、無窮積分的斂散性、瑕積分的斂散性、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性等均有描述，因此，我們強(qiáng)調(diào)他們的共同點(diǎn)，再分析他們的區(qū)別，這樣將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握變成一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握，化零碎為整體，既減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)又鞏固了知識(shí)點(diǎn)。同樣對于阿貝爾判別法和狄利克雷判別法、一致連續(xù)的定義等知識(shí)點(diǎn)也可類似進(jìn)行處理。

二、精選教材，精心施教

由于實(shí)驗(yàn)班的特殊性，對于教材的選取十分重要.通常選用復(fù)旦大學(xué)陳紀(jì)修、于崇華、金路教授所編《數(shù)學(xué)分析》教材作為主教材，參考華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》、北京大學(xué)伍勝健教授編著的《數(shù)學(xué)分析》、山東大學(xué)郭大鈞、陳玉妹、裘卓明教授編《數(shù)學(xué)分析》等教材。在教學(xué)過程中，對于抽象的定義，通常會(huì)應(yīng)用郭大鈞等教授所編教材細(xì)致入微的加注解釋，經(jīng)常也會(huì)在重要知識(shí)點(diǎn)都會(huì)增加例題來加強(qiáng)學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的鞏固和提高，也會(huì)將重要的結(jié)論加以強(qiáng)調(diào)，課中、課后、復(fù)習(xí)中反復(fù)重現(xiàn)，引起學(xué)生的足夠重視。對于習(xí)題的布置，即要選一些經(jīng)典的習(xí)題加以練習(xí)又會(huì)選一些新穎的靈活的習(xí)題鍛煉學(xué)生的靈活度，比如選一些最近國家研究生入學(xué)考試試題、名?？佳性囶}、數(shù)學(xué)競賽試題等，這樣也符合實(shí)驗(yàn)班學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)，為學(xué)生考取研究生打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。雖然數(shù)學(xué)分析課程長達(dá)四學(xué)期，但是習(xí)題課時(shí)依然不夠，因此還每周額外增加習(xí)題課，由研究生助教進(jìn)行講解，更進(jìn)一步鞏固了學(xué)生所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，既增加了學(xué)習(xí)課時(shí)，又培養(yǎng)了研究生的教學(xué)實(shí)踐能力。由于數(shù)學(xué)分析課程是其他后續(xù)課程的基礎(chǔ)，而四個(gè)學(xué)期的課程安排勢必影響了其他課程的學(xué)習(xí)，為了避免這一問題，教學(xué)順序并未完全按照教材中的順序進(jìn)行，通常會(huì)將重積分、曲線積分、曲面積分等知識(shí)點(diǎn)提前講授，將級(jí)數(shù)論知識(shí)點(diǎn)往后進(jìn)行教授，這樣就有利于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、大學(xué)物理等課程的順利開課。可見對于這門課程的施教偏重于精講教練。

三、考核、評價(jià)方式

大學(xué)課程的考核是教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。為了使學(xué)生更好地掌握知識(shí)，督促學(xué)生及時(shí)消化掌握知識(shí)，通常會(huì)進(jìn)行單元測驗(yàn)，并將成績按一定比例計(jì)入期末總評成績，也會(huì)進(jìn)行期中考試，期中考試題目會(huì)比較難一些，且試題題型較接近研究生入學(xué)考試專業(yè)課考試題型，這樣有利用于拔高學(xué)生的解題能力，使他們熟悉考研的考核方式，由于題目較難，所以這次考試成績一般不計(jì)入期末總評成績，但如果學(xué)生缺考就會(huì)扣除部分平時(shí)成績，這樣既杜絕了學(xué)生故意不參加考試，又避免了影響學(xué)生期末總評成績。這種考核評價(jià)方式避免了期末考試決定整個(gè)學(xué)期成績的弊端，也促使學(xué)生養(yǎng)成持之以恒的學(xué)習(xí)習(xí)慣，規(guī)避了期末突擊的壞習(xí)慣，規(guī)范了平時(shí)成績的賦分方式，更有利于學(xué)生扎實(shí)掌握知識(shí)。

四、利用創(chuàng)新平臺(tái)，學(xué)以致用

實(shí)驗(yàn)班的培養(yǎng)目標(biāo)要求逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、解決實(shí)際問題的能力、具有初步的科研能力，因此在教授課程中需要引導(dǎo)他們科學(xué)思維的養(yǎng)成，講到一些重要應(yīng)用知識(shí)時(shí)可以指出這個(gè)定理或知識(shí)點(diǎn)在科學(xué)研究中怎樣應(yīng)用的，甚至可以用實(shí)際的例子讓同學(xué)們用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，這樣更加深了對知識(shí)的掌握，并增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)知識(shí)的欲望。除了在課堂上引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)的進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)，也要充分利用大學(xué)生創(chuàng)新平臺(tái)，鼓勵(lì)他們進(jìn)行創(chuàng)新課題研究，或參與到老師們的科研中來，給他們布置一些力所能及的具體問題，既鍛煉了他們的能力，又使所學(xué)知識(shí)現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用?？梢怨膭?lì)學(xué)生積極參加大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，這個(gè)項(xiàng)目對拔高他們的數(shù)學(xué)能力有很大的幫助。同樣可以動(dòng)員他們參與到大學(xué)生數(shù)學(xué)建模中來，這個(gè)項(xiàng)目可以鍛煉學(xué)生運(yùn)用軟件的能力、訓(xùn)練論文寫作的規(guī)范等很多能力，對他們的綜合能力的提高大有裨益。

參考文獻(xiàn)

[1]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（上下冊，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]伍勝健.數(shù)學(xué)分析（第一、二、三冊）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009.

[4]郭大鈞，陳玉妹，裘卓明.數(shù)學(xué)分析[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1982.

[5]郭大鈞.“數(shù)學(xué)分析”課的教學(xué)與研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（4）：110-114.