拉格朗日中值定理的應(yīng)用

武 婷 黃光鑫

(四川省成都市四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610000)

一、引言

拉格朗日Lagrange中值定理本是微分學(xué)中的一個重要定理，不在高中數(shù)學(xué)課本范疇之內(nèi)，是否有必要教給學(xué)生呢？我們先看下面一個問題：

C.f(x)=ex+1D.f(x)=sin(2x+1)

對于A選項：f′(x)=3x2-6x+3∈[0,+)，f(x)∈R，不滿足性質(zhì)T，符合題意.對于B選項：f令x=tanα，則f′(x)轉(zhuǎn)化為當(dāng)sin2α，cos2α>0時，則由四元均值不等式可知：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.∵g(α)為奇函數(shù)，∴f不滿足性質(zhì)T，符合題意.對于C選項：f′(x)=ex+1，f(x)∈R，f′(x)∈R，滿足性質(zhì)T.對于D選項：f′(x)=2cos(2x+1)，f(x)∈[-1,1]，f′(x)∈[-2,2]，滿足性質(zhì)T.綜上：選A,B.

從上面的解法可以看出，對于學(xué)有余力的學(xué)生而言，對于想?yún)⒓痈咝Ｗ灾髡猩荚嚮蛘呦雲(yún)⒓訑?shù)學(xué)競賽的學(xué)生而言掌握拉格朗日中值定理也是很有必要的！

二、拉格朗日Lagrange中值定理

拉格朗日Lagrange中值定理:如果函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ

三、拉格朗日Lagrange中值定理的應(yīng)用

下面我們本著由易到難，循序漸進(jìn)的原則介紹拉格朗日中值定理在解決高中數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用.

例2 [2019·安徽十校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

解(1)函數(shù)f(x) 的定義域為(0,+)當(dāng)a≥0 時，f′(x)>0，f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，由f′(x)=0，得若單調(diào)遞增；若)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)a≥0 時，f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，f(x)在單調(diào)遞增，在)上單調(diào)遞減.

(2)證明:由(1)知，當(dāng)a≥0時，f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，不滿足條件.所以a<0，此時f(x)的極大值為由已知得-ln(-a)=0，故a=-1，此時f(x)=lnx-x+1.不妨設(shè)0

例3設(shè)函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=2x-2(x≥1).

(1)試判斷F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在定義域上的單調(diào)性；

解(1)∵函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=2x-2(x≥1),F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)=(x2+1)lnx-(2x-2) 的定義域為[1,+)當(dāng)x≥1 時，F(xiàn)′(x)≥0 恒成立，故函數(shù)F(x)在定義域[1,+) 上為增函數(shù).

例4 [2019屆高三黃岡模擬]已知函數(shù)f(x)=λlnx-e-x(λ∈R).

(1)若函數(shù)f(x) 是單調(diào)函數(shù)，求λ的取值范圍；

(2)記函數(shù)g(x)=e1-x，則函數(shù)g′(x)=-e1-x，g(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，∴?ξ∈(x1,x2) 使得：g(x2)-g(x1)=-e1-ξ(x2-x1)=e1-ξ(x1-x2).∵x1<ξe1-x1(x1-x2) .