王振恒

【摘要】“分?jǐn)?shù)除法”一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)。許多學(xué)生只是單純記住分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，卻對(duì)其背后的算理并不理解，甚至不少數(shù)學(xué)教師對(duì)于分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中，對(duì)“為什么要把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算”也無法給予合理的解釋。它的算法有遵循的規(guī)則，但是其理論很難融合。通過連接與分?jǐn)?shù)有關(guān)的概念并使用直觀圖形表示，教師可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)除法;多元表征;算理

在大量研究中，大多數(shù)學(xué)生僅記得分?jǐn)?shù)除法的算法，卻并未真正搞懂其所依托的算理。因此，當(dāng)涉及分?jǐn)?shù)除法時(shí)，學(xué)生通常是一團(tuán)糟。人教版教材中已經(jīng)出示多種證明的方式，但由于編排順序、例題跨度、教學(xué)方法缺乏統(tǒng)一性等諸多客觀原因，使得教師在實(shí)際教學(xué)中難以有效實(shí)現(xiàn)編者的教學(xué)意圖。因此筆者結(jié)合人教版分?jǐn)?shù)除法教學(xué)內(nèi)容，探討如何有效利用教材，提升學(xué)生分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)的有效性。

一、完善相關(guān)例題，形成層次性

從整體來看，分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則的得出過程缺乏系統(tǒng)性。首先，計(jì)算的教學(xué)只安排了兩個(gè)例題，而蘇教版卻安排了四個(gè)例題。對(duì)比之下，教材中例題所對(duì)應(yīng)的類型雖然全面，但例題間各類型的跨度較大。其次，例2同時(shí)包含了整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算法，內(nèi)容量過大，導(dǎo)致學(xué)生無法深刻理解分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的轉(zhuǎn)換過程。分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，又直接出示了異分母分?jǐn)?shù)的計(jì)算，并且教學(xué)過程中既沒有圖示，也沒有必要的算理性的說明，大多數(shù)學(xué)生只能囫圇吞棗地套用法則。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅僅需要記住規(guī)則定律，更需要通過不同的途徑對(duì)同一個(gè)問題進(jìn)行探討和研究，知其然而知其所以然，在不斷發(fā)現(xiàn)、不斷總結(jié)的過程中，思想才能升華。因此教師應(yīng)當(dāng)合理安排教學(xué)素材，適時(shí)做好鋪墊與拓展。教材中是把分?jǐn)?shù)除以整數(shù)作為起點(diǎn)，在整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)時(shí)卻比較簡(jiǎn)略。因此，在接下來的教學(xué)建議以下表為例，做部分補(bǔ)充與鋪墊（表格中加粗部分的內(nèi)容，就是需要教師添加的教學(xué)素材）。

按照上表這樣的順序，能夠更有層次地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法中的各種類型，以便學(xué)生更好地理解各類型之間的聯(lián)系。

二、數(shù)形表征結(jié)合，理解計(jì)算法則

教材中多次采用了數(shù)形結(jié)合的方式，如何深入探究，挖掘其背后的價(jià)值？如何真正讓圖形發(fā)揮其應(yīng)有的作用？在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)中，我們絕不能淺嘗輒止，要統(tǒng)一表征形式，以便學(xué)生更好地理解數(shù)與形的聯(lián)系點(diǎn)，從而借助圖形的直觀性，真正理解分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

例1中的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，都采用了條形圖的形式進(jìn)行表示，這樣就能夠在形式上與之前的分?jǐn)?shù)乘法產(chǎn)生聯(lián)系。但例2整數(shù)除以分?jǐn)?shù)時(shí)，并未沿用這種形式，而是引入了線段圖的方式，并且又是以行程問題的情境出示的，其難度對(duì)于基礎(chǔ)一般的學(xué)生而言，無疑是非常大的。誠(chéng)如數(shù)學(xué)家保羅·洛克哈特所言，這樣的情境對(duì)于分?jǐn)?shù)除法的新授課弊大于益。筆者認(rèn)為，用簡(jiǎn)單的平均分問題代替，會(huì)讓學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)更集中。而在分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)中，教材并未探究圖形的表示方法，而這恰恰是學(xué)生知識(shí)技能的難點(diǎn)，需要教師適時(shí)地幫助突破。

在大量研究中，大多數(shù)學(xué)生僅記得分?jǐn)?shù)除法的算法，卻并未真正搞懂其所依托的算理。因此，當(dāng)涉及分?jǐn)?shù)除法時(shí)，學(xué)生通常是一團(tuán)糟。人教版教材中已經(jīng)出示多種證明的方式，但由于編排順序、例題跨度、教學(xué)方法缺乏統(tǒng)一性等諸多客觀原因，使得教師在實(shí)際教學(xué)中難以有效實(shí)現(xiàn)編者的教學(xué)意圖。因此筆者結(jié)合人教版分?jǐn)?shù)除法教學(xué)內(nèi)容，探討如何有效利用教材，提升學(xué)生分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)的有效性。

一、完善相關(guān)例題，形成層次性

從整體來看，分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則的得出過程缺乏系統(tǒng)性。首先，計(jì)算的教學(xué)只安排了兩個(gè)例題，而蘇教版卻安排了四個(gè)例題。對(duì)比之下，教材中例題所對(duì)應(yīng)的類型雖然全面，但例題間各類型的跨度較大。其次，例2同時(shí)包含了整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算法，內(nèi)容量過大，導(dǎo)致學(xué)生無法深刻理解分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的轉(zhuǎn)換過程。分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，又直接出示了異分母分?jǐn)?shù)的計(jì)算，并且教學(xué)過程中既沒有圖示，也沒有必要的算理性的說明，大多數(shù)學(xué)生只能囫圇吞棗地套用法則。

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅僅需要記住規(guī)則定律，更需要通過不同的途徑對(duì)同一個(gè)問題進(jìn)行探討和研究，知其然而知其所以然，在不斷發(fā)現(xiàn)、不斷總結(jié)的過程中，思想才能升華。因此教師應(yīng)當(dāng)合理安排教學(xué)素材，適時(shí)做好鋪墊與拓展。教材中是把分?jǐn)?shù)除以整數(shù)作為起點(diǎn)，在整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)時(shí)卻比較簡(jiǎn)略。因此，在接下來的教學(xué)建議以下表為例，做部分補(bǔ)充與鋪墊（表格中加粗部分的內(nèi)容，就是需要教師添加的教學(xué)素材）。

按照上表這樣的順序，能夠更有層次地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法中的各種類型，以便學(xué)生更好地理解各類型之間的聯(lián)系。

二、數(shù)形表征結(jié)合，理解計(jì)算法則

教材中多次采用了數(shù)形結(jié)合的方式，如何深入探究，挖掘其背后的價(jià)值？如何真正讓圖形發(fā)揮其應(yīng)有的作用？在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)中，我們絕不能淺嘗輒止，要統(tǒng)一表征形式，以便學(xué)生更好地理解數(shù)與形的聯(lián)系點(diǎn)，從而借助圖形的直觀性，真正理解分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

例1中的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，都采用了條形圖的形式進(jìn)行表示，這樣就能夠在形式上與之前的分?jǐn)?shù)乘法產(chǎn)生聯(lián)系。但例2整數(shù)除以分?jǐn)?shù)時(shí)，并未沿用這種形式，而是引入了線段圖的方式，并且又是以行程問題的情境出示的，其難度對(duì)于基礎(chǔ)一般的學(xué)生而言，無疑是非常大的。誠(chéng)如數(shù)學(xué)家保羅·洛克哈特所言，這樣的情境對(duì)于分?jǐn)?shù)除法的新授課弊大于益。筆者認(rèn)為，用簡(jiǎn)單的平均分問題代替，會(huì)讓學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)更集中。而在分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)中，教材并未探究圖形的表示方法，而這恰恰是學(xué)生知識(shí)技能的難點(diǎn)，需要教師適時(shí)地幫助突破。

如何更好地解決這些難點(diǎn)，筆者認(rèn)為可以弱化情境，由分?jǐn)?shù)意義出發(fā)進(jìn)行探究，并統(tǒng)一用條形圖進(jìn)行表示。如上表中所提，先教學(xué)整數(shù)除以幾分之一，從例1的分?jǐn)?shù)的意義“包含除”入手，4÷看作求4里面有幾個(gè)，則可以直觀求得8個(gè)。同時(shí)也可以從除法的意義入手，4÷看作一個(gè)數(shù)的（一半）是4，求這個(gè)數(shù)。

至此，通過多元化的表征形式，從算法到算理，構(gòu)成了一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。不僅如此，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)有了之前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，相信能夠更容易理解分?jǐn)?shù)除法與四則運(yùn)算的緊密聯(lián)系，同時(shí)通過通分法與顛倒相乘法的對(duì)比，明白數(shù)學(xué)中的許多運(yùn)算法則其本質(zhì)都是人為的一種選擇。當(dāng)下分?jǐn)?shù)除法計(jì)算教學(xué)中，將分子分母顛倒相乘的計(jì)算法則，只是一種合適的數(shù)學(xué)選擇。

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