基本不等式教學(xué)需注意的問(wèn)題及教學(xué)建議

唐瑞 趙思林

摘? ? 要：基本不等式是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的好素材.在基本不等式教學(xué)的新課引入中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，可優(yōu)先考慮生活情境、弦圖法、“問(wèn)題串”法;對(duì)于基本不等式證明方法的選擇，除教材中提到的比較法、分析法和綜合法外，還有幾何法，而且可以利用“一題多證”培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

關(guān)鍵詞：基本不等式;教學(xué)問(wèn)題;教學(xué)建議

一、基本不等式的數(shù)學(xué)文化價(jià)值

1.從趙爽的“弦圖”可發(fā)現(xiàn)基本不等式.中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中寫道：“以圖考之，倍弦實(shí)，滿外大方，而多黃實(shí).黃實(shí)之多，即勾股差實(shí)，以差實(shí)減之，開其余，得外大方.大方之面，即勾股并之.”[1]即：若直角三角形兩直角邊為[a，b，a>0，b>0]，斜邊為[c]，則

2.從歐幾里得的矩形之變可發(fā)現(xiàn)基本不等式.歐幾里得最早給出了兩條已知線段的比例中項(xiàng)的作圖法，現(xiàn)行教材采用這種方法來(lái)發(fā)現(xiàn)和證明基本不等式.

3.從芝諾多魯斯的等周問(wèn)題的結(jié)論可發(fā)現(xiàn)基本不等式.芝諾多魯斯研究等周問(wèn)題提出了命題，“在邊數(shù)相同、周長(zhǎng)相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大”.若矩形長(zhǎng)為b，寬為a，則與該矩形等周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為[a+b2]，由此利用“正方形的面積不小于該矩形面積”可推出：

二、基本不等式的教材分析

（一）教材的地位與作用

“基本不等式”是初中學(xué)過(guò)不等式的幾條簡(jiǎn)單性質(zhì)及一元一次不等式的解法、高中學(xué)過(guò)一元二次不等式的解法之后，人教A版教材從幾何背景（趙爽弦圖）中探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.基本不等式的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在以下幾方面：一是發(fā)現(xiàn)和證明其他一些不等式的重要工具，如利用基本不等式可發(fā)現(xiàn)和證明n元算術(shù)—幾何平均值不等式[2];二是求解最值問(wèn)題的有力工具;三是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具;四是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn);五是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

（二）教學(xué)目標(biāo)

將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：①能在具體的幾何問(wèn)題情境中，通過(guò)思維（觀察、抽象、概括等）及演繹推理得到基本不等式;②在多角度探索基本不等式的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法;③會(huì)運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.祝存建[3]強(qiáng)調(diào)“……感受數(shù)學(xué)形式化結(jié)論的一般形成過(guò)程——實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、歸納、抽象、概括，形成結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性思維價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.”這就把探究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)（再創(chuàng)造）數(shù)學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)，其教學(xué)境界會(huì)大大提升.

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

大部分教師都將“應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程”視為教學(xué)重點(diǎn);將“從不同角度探索基本不等式的證明，能利用基本不等式的模型求解函數(shù)最值”作為教學(xué)難點(diǎn).陶文晶[4]建議，應(yīng)該將基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件（簡(jiǎn)稱“一正、二定、三相等”）作為本節(jié)課的難點(diǎn).

三、基本不等式教學(xué)需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

基本不等式教學(xué)存在教師自身的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)不夠完善，不夠重視數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)等問(wèn)題.這說(shuō)明，對(duì)教師而言基本不等式貌似簡(jiǎn)單實(shí)則難.因此，教師自身提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)是非常必要的.

（一）新課的引入：滲透數(shù)學(xué)文化或聯(lián)系生活實(shí)際

基本不等式的引入方式大致分為五種：一是從基本不等式的歷史背景引入，如人教A版利用趙爽的“弦圖”引入;二是從其他學(xué)科知識(shí)引入，如在蘇教版教材中，通過(guò)天平稱重，引導(dǎo)學(xué)生利用物理知識(shí)得出數(shù)學(xué)公式;三是從生活實(shí)際問(wèn)題引入[5]，如利用“裝箱”問(wèn)題引入;四是從代數(shù)問(wèn)題引入，如通過(guò)賦值比較[ab]與[a+b2]的大小，由特殊到一般歸納出基本不等式;五是采用公理化思想的方法，即是直接把“[a2≥0]（[a∈R]）”作為不等式的一個(gè)公理，由此推導(dǎo)出基本不等式，這樣處理，突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，可以回避花花草草的煩瑣情境，降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.曾萍等[6]對(duì)“弦圖”引入法提出質(zhì)疑：（1）用“弦圖”表示重要不等式的等號(hào)成立的條件不易直接從“弦圖”看出;（2）分別以[a、b]替換[a、b]的思路不自然;（3）證明方法單一，不利于培養(yǎng)發(fā)散思維.對(duì)此，她利用AMA軟件，通過(guò)對(duì)原圖形的伸縮變化，減少視覺(jué)對(duì)圖形位置改變的處理，減少注意力的分散;用“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)重要不等式進(jìn)行變形，得到基本不等式;分別從幾何視角和函數(shù)視角解釋基本不等式，以增強(qiáng)對(duì)不等式的理解.但需注意，若用趙爽的“弦圖”引入，則會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)“育人”之效應(yīng)，一是可激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)主義情感，二是可滲透數(shù)學(xué)文化的教育.張忠旺[7]認(rèn)為第一種引入方式中的“弦圖”的本質(zhì)就是完全平方公式的變形，也即基本不等式的幾何意義;第二、三種引入方式過(guò)于復(fù)雜，耗時(shí)較長(zhǎng)，沖淡了教學(xué)目標(biāo);第四種引入方式有虛假之感;第五種引入方式的困難在于學(xué)生對(duì)“公理”的理解并不容易.

每種引入方式都有利有弊，應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況選擇合適的引入方式.綜合來(lái)看，利用“天平稱重”引入基本不等式是較佳的方式，不僅聯(lián)系生活實(shí)際，而且涉及物理知識(shí)，最重要的是避免了人教A版中“替換”的不自然過(guò)程，通過(guò)分析真實(shí)重量，直接得到[ab]和[a+b2]，再通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證得出基本不等式.這個(gè)引入方式自然、簡(jiǎn)潔，有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，有利于學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)（再創(chuàng)造）數(shù)學(xué)的過(guò)程，但會(huì)增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.

（二）證明方法的選擇

人教A版教材僅給出三種證明方法：分析法、綜合法及幾何模型法.用人教A版中第一種證明方法即分析法有困難，難點(diǎn)在于學(xué)生不容易理解為什么可以這樣證明以及證明的書寫格式，其原因是學(xué)生還沒(méi)有接觸過(guò)分析法的邏輯依據(jù)，教師需對(duì)分析法證明的合理性做適當(dāng)說(shuō)明.用分析法證明不等式，在2003年前的教材中雖然安排了2學(xué)時(shí)，但仍有很多學(xué)生學(xué)得很艱難甚至痛苦;現(xiàn)行的人教A版教材只安排幾分鐘，可能教材編寫專家低估了分析法的教學(xué)難度，需要評(píng)估這種安排的實(shí)際效果.黃婭[8]對(duì)教師采用的證明方法調(diào)查發(fā)現(xiàn)，采用作差法、幾何模型法、分析法、函數(shù)單調(diào)性、弦圖法分別占59.3%，51.9%，48.1%，14.8%，11.1%.需要說(shuō)明的是，不少教師同時(shí)選用了2～3種引入方法.基本不等式的證明的教學(xué)，應(yīng)重視它和其他知識(shí)（平面幾何、三角、數(shù)列、向量等）的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)它“基本”的一面——證明的多樣性與變形的多樣性，從而幫助學(xué)生對(duì)基本不等式的本質(zhì)的理解.