潘敬貞 駱妃景

摘? ? 要：開(kāi)展“一題多解”教學(xué)是克服學(xué)生思維定式，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的有效途徑之一.師生可從多角度、多途徑尋求解決問(wèn)題的方法，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，總結(jié)解題規(guī)律，使學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力得到提高，思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性得到增強(qiáng)，最終達(dá)到發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);高考復(fù)習(xí);一題多解;思維定式

“一題多解”是高考二輪復(fù)習(xí)解題教學(xué)或試卷講評(píng)中常用的手段，開(kāi)展“一題多解”教學(xué)是克服學(xué)生思維定式，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的有效途徑之一.用“一題多解”引領(lǐng)的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，主要是師生一起從多角度、多途徑尋求解決問(wèn)題的方法，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，并引導(dǎo)學(xué)生從多種解法的對(duì)比中選最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，使學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力得到提高，思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性得到增強(qiáng)，最終達(dá)到高效復(fù)習(xí)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.本文結(jié)合實(shí)例談?dòng)谩耙活}多解”引領(lǐng)高三數(shù)學(xué)高效復(fù)習(xí).

一、教學(xué)案例

（一） 用“一題多解”梳理整合知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系

評(píng)注? ?這是解三角形問(wèn)題中比較基礎(chǔ)的邊角互化問(wèn)題，學(xué)生能夠輕松解決，原本可一筆帶過(guò)，但本題用兩種方法解決可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉邊角互化問(wèn)題中的角化邊或者邊化角兩個(gè)通法，同時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生回顧有關(guān)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系.解法1主要通過(guò)用正弦定理邊化角帶領(lǐng)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)正弦定理、三角恒等變換等知識(shí);解法2通過(guò)余弦定理角化邊帶領(lǐng)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)余弦定理以及訓(xùn)練恒等變形等運(yùn)算能力.

評(píng)注? ?第（2）問(wèn)是高考中常考不衰的問(wèn)題.該問(wèn)的解法1是利用余弦定理邊化角建立二元變量的關(guān)系，進(jìn)而用重要不等式求二元最值問(wèn)題，也可以用消元得到關(guān)于一元函數(shù)再用求導(dǎo)的知識(shí)來(lái)解決.解法2是利用正弦定理邊化角建立一元角的目標(biāo)函數(shù)并結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解決問(wèn)題.這兩種方法都是學(xué)生熟知的解決此類問(wèn)題的通法，進(jìn)一步幫助學(xué)生梳理了解三角形中二元最值問(wèn)題中代數(shù)化的方法.通過(guò)用兩種解法從不同角度、聯(lián)系不同知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，有效地引導(dǎo)學(xué)生以問(wèn)題為中心，將不同知識(shí)點(diǎn)連成線、織成面，促進(jìn)知識(shí)的梳理與整合，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，逐步提升數(shù)學(xué)綜合能力.

（二）用“一題多解”發(fā)散思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

解法3（運(yùn)動(dòng)軌跡+數(shù)形結(jié)合）：

一邊及其對(duì)角問(wèn)題其本質(zhì)是點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，條件中[C=π3，c=7]，由正弦定理可知，點(diǎn)[C]在半徑為[213]的圓的優(yōu)弧[AB]上運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，利用[△ABC]外接圓直觀分析，動(dòng)點(diǎn)[C]運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧[AB]的中點(diǎn)[M]時(shí)（[△ABC]為等邊三角形），[△ABC]的面積最大（底不變，高最大），即[ab]最大，又因?yàn)閇（a+b）2=3ab+7]，當(dāng)[ab]取得最大值時(shí)，[b+c]也取得最大值為[27]，所以[△ABC]周長(zhǎng)的最大值為[37].

評(píng)注? ?解法3是利用外接圓直觀分析解決三角形中已知一邊及其對(duì)角問(wèn)題情境求范圍，快速高效，多在選擇、填空題中使用，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).解法4是利用余弦定理+方程思想，適用性比較強(qiáng)，能夠解決大部分關(guān)于二元齊二次變量關(guān)系，求二元一次和差最值問(wèn)題，比如本題若求[ma+nb]（其中m、n為常數(shù)）的最值，該法也適用，且易于操作和理解，幫助學(xué)生多題歸一，形成解決此類問(wèn)題的能力.解法5是利用平面向量基本定理尋找三角形的邊角關(guān)系，凸顯利用平面向量工具解決平面幾何的重要地位，引導(dǎo)學(xué)生重視平面向量工具在平面幾何中的應(yīng)用.這三種解法在某種程度上都拓寬了學(xué)生的解題思路，發(fā)散了學(xué)生的思維，培育了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

感悟? ?“一題多解”教學(xué)需要注意方法的比較和個(gè)性化選擇.本題第（1）問(wèn)用了兩種解法，第（2）問(wèn)用了五種解法，其中解法1、2比較容易想到，重在幫助學(xué)生梳理知識(shí)，建構(gòu)知識(shí)系，解法3～5幫助學(xué)生將知識(shí)融會(huì)貫通，有助于培養(yǎng)思維的變通性、靈活性和多樣性，有利于培養(yǎng)良好的思維品質(zhì).因此一題多解可以開(kāi)闊學(xué)生眼界，讓學(xué)生以后遇到類似的問(wèn)題，可以選擇自己熟悉的易于掌握的方法解決問(wèn)題.但在五種方法連續(xù)出現(xiàn)后也要注意引導(dǎo)學(xué)生比較各種解法的條件限制性、適用性、思維量及優(yōu)缺點(diǎn)后找到適合自己的方法，并將該方法領(lǐng)悟透徹、落實(shí)到位！

（三）用“一題多解”提升變形能力，培育邏輯推理核心素養(yǎng)

評(píng)注? ?由簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系式或[an]與[Sn]的基本關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列中常見(jiàn)的問(wèn)題.本題是已知[an]與[Sn]的基本關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，解答該題首先利用[an]與[Sn]的基本關(guān)系去掉[Sn]，然后得到數(shù)列遞推關(guān)系式.解法1是通過(guò)變形將數(shù)列遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，解法2是變形后轉(zhuǎn)化等差數(shù)列，解法3是變形后再利用迭代法，解法4是問(wèn)題進(jìn)行求解變形后再利用累乘法.這四種解法都是求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法，試題雖然不難但對(duì)變形能力和推理有著較高的要求，這四種不同的變形方式對(duì)提升學(xué)生的變形能力和培育學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)大有裨益.

感悟? ?“一題多解”教學(xué)需要在課堂上給學(xué)生留足“悟”的時(shí)間.本題解法1和解法4學(xué)生比較熟悉，能夠輕松解決，可以一筆帶過(guò)，但解法2是通過(guò)對(duì)[n]增加一步，利用等差中項(xiàng)得出[an]為等差數(shù)列，這個(gè)變形對(duì)學(xué)生能力要求比較高，解法3利用數(shù)列中兩個(gè)相鄰項(xiàng)的商等于一個(gè)含有[n]的式子，利用迭代法求通項(xiàng)，該變形學(xué)生不太熟悉，但這兩個(gè)方法是求數(shù)列通項(xiàng)的重要方法，因此這些變形要留給學(xué)生整理和體會(huì)甚至再做一遍的時(shí)間，否則眾多的解法變形也只是過(guò)眼云煙，低效教學(xué).再者課堂上留足時(shí)間讓學(xué)生領(lǐng)悟甚至再做一遍，也是學(xué)生思維向縱深發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要途徑.

（四）用“一題多解”優(yōu)化解題過(guò)程，提高運(yùn)算求解能力

評(píng)析? ?解法1是聯(lián)立直線與橢圓方程，進(jìn)而用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式等，是本題的通法，但運(yùn)算量較大，很少有學(xué)生能解到最后一步.解法2是聯(lián)立直線與曲線方程并求出交點(diǎn)坐標(biāo)，巧妙地回避了分類討論，運(yùn)算量和解題長(zhǎng)度都有所減小，是一種不錯(cuò)的解法.圍繞著同一個(gè)問(wèn)題用兩種不同的解題思路，從不同角度讓學(xué)生親歷解題實(shí)踐，提高了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，優(yōu)化解題過(guò)程，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

感悟? ?一題多解能有效優(yōu)化運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，但也不能一味追求解法的多樣化，需要適當(dāng)?shù)卦趯W(xué)生困惑處精雕細(xì)琢、濃墨重彩地下足功夫，解決學(xué)生熟悉解法中的“卡殼”.例如本題中的解法2含有轉(zhuǎn)化變形技巧，有一定的靈活性;解法1才是本題的通法，也是大部分學(xué)生容易想到的思路，學(xué)生有時(shí)對(duì)于解題方法選擇時(shí)帶有很強(qiáng)的慣性，就算他有了解法2的經(jīng)驗(yàn)，但他依然會(huì)選擇解法1，但眾多學(xué)生在求弦長(zhǎng)[MN]時(shí)出現(xiàn)“卡殼”，因此教師在講評(píng)解法1時(shí)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生如何消元，代數(shù)整理突破計(jì)算難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

二、教學(xué)思考

（一）“一題多解”教學(xué)要兼顧差異

“一題多解”教學(xué)如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，如何兼顧好優(yōu)秀生、中等生及學(xué)困生，并在各層次學(xué)生之間尋求平衡？這是開(kāi)展“一題多解”教學(xué)要直面的問(wèn)題，比如在例1中第（2）問(wèn)的解法1、解法2大多數(shù)學(xué)生的思維都能得到激活，優(yōu)秀學(xué)生也能夠很好地掌握解法3～5，但如果學(xué)生在課堂上不能夠很好地參與進(jìn)來(lái)，那么在后四種解法的教學(xué)中，不少中等生、學(xué)困生就變成陪襯.實(shí)際上，“一題多解”更要重視分層教學(xué)，沒(méi)必要要求人人都能理解所有的解法，在例1中大多數(shù)學(xué)生能夠?qū)?～3種方法好好領(lǐng)悟到位就足矣.另外，對(duì)于“一題多解”教學(xué)中的每一個(gè)解法除了講清思路外，還需要將計(jì)算進(jìn)行到底，如果課堂上時(shí)間不允許，可以將一些解法留到課后，學(xué)生互相交流解決，這樣既能有利于優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，又能兼顧差異.

（二）“一題多解”教學(xué)要重視學(xué)生在課堂中的再體驗(yàn)及課后跟進(jìn)的鞏固練習(xí)

“一題多解”不是教師的表演秀，天花亂墜地向?qū)W生展示多種解法，也不純粹是學(xué)霸們的展現(xiàn)平臺(tái).“一題多解”教學(xué)中教師不但要引導(dǎo)學(xué)生“怎樣想到這樣解、為什么這么想、遇到哪些問(wèn)題可以這樣想”等，還要讓學(xué)生親歷體驗(yàn)解題活動(dòng)，同時(shí)教師還要選編課后練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)跟進(jìn)鞏固練習(xí)，內(nèi)化課堂解題方法，提高“一題多解”的效益.這樣一來(lái)學(xué)生更容易記住和遷移解題經(jīng)驗(yàn)，形成解決此類問(wèn)題的能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

（三）“一題多解”要把握一個(gè)“度”

“一題多解”的教學(xué)有其兩面性，并不是方法越多越好，要有一個(gè)“度”，如果超出一個(gè)“度”，“一題多解”就將浪費(fèi)學(xué)生的時(shí)間和精力，導(dǎo)致備考效益低下.所以要牢記“一題多解”要充分了解學(xué)生的情況，根據(jù)學(xué)生的學(xué)情選擇多解中“多”的角度;在學(xué)生的“熟悉”和“陌生”之間尋求突破口，確定講解的詳略點(diǎn).

用“一題多解”引領(lǐng)的高三數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)教師提出更高的要求，只有多學(xué)習(xí)、多思考、多研究，平時(shí)要勤于實(shí)踐和反思，方可達(dá)到高效備考的目的.