淺談拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)

韓樹新 何軍 王鑰 王煒卿

[摘 要]文章采用文獻(xiàn)描述性研究法，介紹了拉格朗日的生平，總結(jié)拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析以及數(shù)值計(jì)算的貢獻(xiàn)，拉格朗日在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就。拉格朗日的研究不僅為后一代數(shù)學(xué)家們提供了素材和經(jīng)驗(yàn)，也對(duì)我們當(dāng)代的生活產(chǎn)生了重大影響。

[關(guān)鍵詞]拉格朗日;數(shù)學(xué)分析;數(shù)值計(jì)算

[基金項(xiàng)目]2017年度河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目青年項(xiàng)目“將數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的策略研究”（2017JYQ04）

[作者簡介]韓樹新（1963—），女，河北武強(qiáng)人，碩士，河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院教授，主要從事復(fù)分析研究;何 軍（1966—），女，甘肅張掖人，學(xué)士，河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)助理研究員，主要從事企業(yè)管理研究;王煒卿（2001—），女，山東淄博人，山東女子學(xué)院會(huì)計(jì)學(xué)院財(cái)務(wù)管理專業(yè)本科生在讀;王 鑰（1987—），女，山東淄博人，博士，河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院副教授（通信作者），主要從事復(fù)分析研究。

[中圖分類號(hào)] O11[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）32-0322-02[收稿日期] 2020-03-16

一、引言

拉格朗日是18至19世紀(jì)承前啟后的數(shù)學(xué)大師，其地位僅次于歐拉。拉格朗日在數(shù)學(xué)方面的研究，對(duì)18世紀(jì)創(chuàng)立的數(shù)學(xué)分支貢獻(xiàn)很大。近年來，一些學(xué)者對(duì)拉格朗日做了深入研究。田鵬研究拉格朗日的生平事跡[1]。王穎對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了充分的分析和研究[2]。吳元澤對(duì)拉格朗日乘數(shù)法的幾何意義進(jìn)行了討論[3]。師冰雪、李占松對(duì)工程計(jì)算中拉格朗日插值多項(xiàng)式的誤差進(jìn)行了評(píng)價(jià)[4]。M. V. Korobkov研究了拉格朗日中值定理對(duì)向量值映射情形的推廣[5]。拉格朗日在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就對(duì)我們現(xiàn)代生活產(chǎn)生了重要影響。本文介紹了拉格朗日的生平，總結(jié)了拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，讓大家對(duì)拉格朗日有更充分的了解。

二、拉格朗日的生平

拉格朗日1736年1月25日出生于意大利都靈。中學(xué)時(shí)，拉格朗日更愛好文學(xué)。漸漸地，在跟老師雷維里學(xué)習(xí)的過程中，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了存在于幾何學(xué)中的奧秘，并轉(zhuǎn)而喜歡上了幾何學(xué)。1753年，在讀了有關(guān)牛頓微積分的介紹之后，拉格朗日的目光又停留在了數(shù)學(xué)分析上。從此，拉格朗日在科學(xué)的道路上不斷攀登，越走越遠(yuǎn)，直至人生盡頭。

1754年，18歲的拉格朗日取得了第一項(xiàng)研究成果，獨(dú)自推導(dǎo)出了求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階求導(dǎo)公式。拉格朗日寫信將這一發(fā)現(xiàn)告知了歐拉，但萊布尼茨早在半個(gè)世紀(jì)前就得出了他的這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，他雖失落，但并沒有放棄，繼續(xù)進(jìn)行研究。在數(shù)學(xué)研究生涯的初始階段，經(jīng)過小波折后，拉格朗日的思想轉(zhuǎn)向了對(duì)變分法的研究。受歐拉變分法工作的啟發(fā)，1754年，通過純分析方法，拉格朗日對(duì)積分的極值問題進(jìn)行了求解，將該方法告知了歐拉，歐拉對(duì)拉格朗日的想法非常支持。歐拉非常欣賞拉格朗日的天賦和才華，因此向柏林研究院推薦拉格朗日。由于拉格朗日自身的才華，他被任命為柏林研究院的院士。四年后，拉格朗日發(fā)表了有關(guān)變分法的論文，正是由于拉格朗日在變分法方面的重大貢獻(xiàn)和奠定的重要基礎(chǔ)，變分法才能夠成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支得以發(fā)展。

拉格朗日十分注重對(duì)數(shù)論、方程論的研究，他證明了代數(shù)基本原理，對(duì)一般數(shù)值方程解進(jìn)行了研究。在數(shù)論方面，1759年，拉格朗日求解佩爾方程失敗后，于1766年，給出了佩爾方程整數(shù)解存在性的證明;1772年，他對(duì)由費(fèi)馬提出的四平方定理進(jìn)行了證明，此外，在1773年，還對(duì)威爾遜定理進(jìn)行了證明。

1783年，拉格朗日的妻子、腓特烈大帝相繼去世，拉格朗日失去了感情和事業(yè)的兩大支持者，決心換一個(gè)環(huán)境生活。于是，1786年，在路易十六的邀請(qǐng)下，拉格朗日赴巴黎科學(xué)院繼續(xù)進(jìn)行他的研究工作。

1795年，拉格朗日被任命為巴黎高等師范學(xué)校的數(shù)學(xué)教授，由此，拉格朗日的研究工作也正式重新開始，通過對(duì)他過去的數(shù)學(xué)研究進(jìn)行整理，他相繼出版了《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計(jì)算講義》兩本著作。拿破侖把拉格朗日、拉普拉斯等自然科學(xué)家都吸收進(jìn)了保守的參議院。1813年4月，拉格朗日被授予大十字勛章。但這時(shí)候的拉格朗日無法潛心研究，身體狀況不佳，于4月中旬去世。

三、拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)

拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)非常大，比如拉格朗日中值定理，應(yīng)用拉格朗日中值定理可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、有界性、一致連續(xù)性，證明等式、不等式，判斷方程根的存在性，求極限，判斷級(jí)數(shù)斂散性等。

拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)分析的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)是拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法能夠?qū)Χ嘣瘮?shù)的極值進(jìn)行求解，尤其是存在多個(gè)變量和限制條件的情況。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，凡是有約束條件的極值問題都可以用拉格朗日乘數(shù)法求解，而且約束最優(yōu)化問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中占有重要的地位，所以拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。例如，效用最大化問題可轉(zhuǎn)化為求在約束條件下效用函數(shù)的最大值問題，因此可用拉格朗日乘數(shù)法求解。此外還有成本最小化的問題也可以通過轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解。

四、拉格朗日對(duì)數(shù)值計(jì)算的貢獻(xiàn)

在科學(xué)研究和生產(chǎn)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，部分函數(shù)的具體解析式無法得知，對(duì)這部分函數(shù)，只能通過實(shí)驗(yàn)或觀察的方式得到一些離散點(diǎn)的函數(shù)值。此外，還存在部分函數(shù)，雖然其具體的解析表達(dá)式是知道的，但表達(dá)式過于煩瑣，要想分析和計(jì)算這些函數(shù)比較的困難，這時(shí)候就需要尋找一個(gè)合適的近似函數(shù)來代替原來的函數(shù)，而插值法就是這樣一種尋求近似函數(shù)的方法。1795年，在拉格朗日出版的一本數(shù)學(xué)知識(shí)方面的著作中對(duì)插值法進(jìn)行了簡單的介紹，之后拉格朗日本人就和插值法聯(lián)系在一起[6]（P65-66）。所以有了插值多項(xiàng)式、線性插值、拋物線插值、插值余項(xiàng)等。

由于拉格朗日插值法能夠?qū)唧w的計(jì)算步驟和計(jì)算過程進(jìn)行簡化，因此其在工程中發(fā)揮著的重大的作用，而且隨著計(jì)算機(jī)的普及，拉格朗日插值法已與matlab等軟件結(jié)合起來，現(xiàn)已研究出了用拉格朗日插值法尋求近似函數(shù)的程序，大大方便了人們的計(jì)算。