朱秋冬

摘? 要：“理解”不僅僅是簡(jiǎn)單地“識(shí)記”，而是對(duì)知識(shí)的本質(zhì)之理、方法之理、規(guī)律之理的認(rèn)知、應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要調(diào)適自我的認(rèn)知，轉(zhuǎn)變自我的思維，變換自我的想象。通過(guò)對(duì)迷思概念與科學(xué)概念的轉(zhuǎn)碼、對(duì)稚化思維與智化思維的切換、對(duì)具象數(shù)學(xué)與抽象數(shù)學(xué)的調(diào)頻來(lái)促進(jìn)、深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。數(shù)學(xué)理解能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)理解

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)中不是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是運(yùn)用結(jié)構(gòu)性知識(shí)、非結(jié)構(gòu)性經(jīng)驗(yàn)背景等主動(dòng)地建構(gòu)、創(chuàng)造知識(shí)。作為教師，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用相關(guān)的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作等活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與探究。通過(guò)教師的引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。“理解”不僅僅是簡(jiǎn)單地“識(shí)記”，更不是“照本解釋”，而是對(duì)知識(shí)的本質(zhì)之理、方法之理、規(guī)律之理的認(rèn)知、應(yīng)用。通過(guò)數(shù)學(xué)理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、調(diào)適認(rèn)知：在“迷思概念”與“科學(xué)概念”之間轉(zhuǎn)碼

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)包含著諸多的“前理解”，這些“前理解”有些能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有些卻阻礙著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。一般說(shuō)來(lái)，學(xué)生數(shù)學(xué)的“前理解”往往是學(xué)生的已知和未知的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，具有生長(zhǎng)的潛力?！扒袄斫狻蓖歉行缘摹⒋植诘?、內(nèi)隱的，因而往往會(huì)夾雜著錯(cuò)誤。作為教師，要努力調(diào)適自己的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生在“迷思概念”與“數(shù)學(xué)概念”之間轉(zhuǎn)碼，努力讓“前理解”成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。

比如教學(xué)《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)），一般教師就是按照教材的邏輯，出示三亞（20℃）、南京（0℃）、哈爾濱（-20℃）三個(gè)不同地方的溫度，引導(dǎo)學(xué)生比較溫度有什么不同，進(jìn)而引出“負(fù)數(shù)”的概念。這樣的教學(xué)是一種“灌輸式”“告訴式”的教學(xué)，學(xué)生的認(rèn)知在這樣的教學(xué)中“被動(dòng)地生長(zhǎng)”。筆者在教學(xué)中從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“前理解”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生暢談生活中的負(fù)數(shù)?！澳阍谀睦镆?jiàn)過(guò)負(fù)數(shù)？”學(xué)生舉出了生活中的負(fù)數(shù)的例子，比如電梯中的“-1層”、溫度計(jì)中的“-10℃”、“海拔-2000米”等。接著，筆者順應(yīng)學(xué)生的“前理解”，引導(dǎo)學(xué)生“畫負(fù)數(shù)”。這個(gè)過(guò)程便暴露出學(xué)生的迷思概念，即“畫負(fù)數(shù)”時(shí)，不標(biāo)注0刻度，其潛意識(shí)就是認(rèn)為“0表示沒(méi)有”。因此在教學(xué)中，筆者針對(duì)學(xué)生的例子，反復(fù)地引導(dǎo)、反復(fù)地追問(wèn)。如在交流“-1層”時(shí)，學(xué)生認(rèn)為“-1層”就是“地下一層”，為此筆者追問(wèn)“地在哪里”;在交流“-10℃”時(shí)，筆者反復(fù)追問(wèn)“0℃在哪里”“為什么要畫0℃”;在交流“海拔-2000米”時(shí)，筆者反復(fù)追問(wèn)“海平面在哪里”……通過(guò)不斷地追問(wèn)，深究學(xué)生的迷思，讓學(xué)生的“迷思概念”轉(zhuǎn)碼，形成科學(xué)的“數(shù)學(xué)概念”。這樣的教學(xué)，有助于學(xué)生抽象出“負(fù)數(shù)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有助于學(xué)生深度理解在正負(fù)數(shù)中“0”的特殊意義和價(jià)值，從而促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知轉(zhuǎn)型、思維轉(zhuǎn)型。這樣的教學(xué)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿著主動(dòng)的生長(zhǎng)性。

學(xué)生數(shù)學(xué)的“前理解”包含著“迷思概念”“相異構(gòu)想”。盡管它們有可能阻礙學(xué)生的認(rèn)知，甚至成為一種干擾，但只要教師在教學(xué)中洞察學(xué)生的認(rèn)知，積極調(diào)適學(xué)生的認(rèn)知，使之轉(zhuǎn)型、轉(zhuǎn)軌，就能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)前理解成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原生思維的誕生源，成為學(xué)生數(shù)學(xué)新知的生長(zhǎng)源。這些原生思維、數(shù)學(xué)直覺(jué)往往就能成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新知的雛形。

二、轉(zhuǎn)變思維：在“稚化思維”與“智化思維”之間切換

著名教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇泊爾深刻地指出：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)的唯一重要的因素就是學(xué)生已知什么，并據(jù)此展開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)?！卑盐諏W(xué)生數(shù)學(xué)理解的脈搏，需要教師在了解學(xué)生具體學(xué)情的基礎(chǔ)上，將自己的“智化思維”稚化。研究表明，教師之所以不能認(rèn)識(shí)學(xué)生，不能理解學(xué)生，是因?yàn)榻處煹慕虒W(xué)“程式思維”與學(xué)生的“稚化思維”之間產(chǎn)生沖突，教師的“高階思維”與學(xué)生的“童化思維”之間產(chǎn)生沖突，教師的“結(jié)論思維”與學(xué)生的“過(guò)程思維”之間產(chǎn)生沖突。因此，轉(zhuǎn)變思維，在學(xué)生的“稚化思維”與教師的“智化思維”間切換，是促進(jìn)教師理解學(xué)生、學(xué)生理解知識(shí)的必由之徑。

比如教學(xué)《方程的認(rèn)識(shí)》（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)），筆者從學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，對(duì)同一情境中的教師、學(xué)生年齡問(wèn)題進(jìn)行探討?！袄蠋煹哪挲g減去20歲比你大，你知道老師的年齡嗎？”“老師的年齡減去30歲比你小，你知道老師的年齡嗎？”“老師的年齡減去26歲就和你相等，你知道老師的年齡嗎？”在這樣的談話中，引導(dǎo)學(xué)生列出不等式、等式，建立“已知量”“未知量”等概念，從而讓學(xué)生切入方程概念的本質(zhì)，即“在已知量和未知量之間建立一種相等關(guān)系”。在此基礎(chǔ)上，教師將自己的思維“稚化”，借助學(xué)生生活世界中的方程原型，深化學(xué)生對(duì)方程的思考、探究。天平左邊有一些質(zhì)量的物體，怎樣在天平右邊放上砝碼，使天平平衡？學(xué)生操作回答并用相等的數(shù)量關(guān)系式來(lái)表示。天平原來(lái)是平衡的，將天平左邊的砝碼拿走一只，會(huì)出現(xiàn)怎樣的情況？怎樣用數(shù)量關(guān)系式表示？天平左邊放上任意一個(gè)物體，會(huì)出現(xiàn)怎樣的情況？怎樣用數(shù)量關(guān)系式來(lái)表示？通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分類、概括，逐步引導(dǎo)學(xué)生從“不含未知數(shù)的不等式”“不含未知數(shù)的等式”“含有未知數(shù)的不等式”“含有未知數(shù)的等式”中分化出方程概念。這個(gè)過(guò)程，是教師稚化思維后引導(dǎo)學(xué)生思維的外化，因而也是教師智化思維的表現(xiàn)。

轉(zhuǎn)變思維，要求教師要站到學(xué)生的立場(chǎng)上去，力圖用學(xué)生的眼光觀照、用學(xué)生的大腦思考。作為教師，要傾聽(tīng)學(xué)生的心聲。轉(zhuǎn)變思維，也就是要求教師要能在關(guān)照學(xué)生的“稚化思維”與關(guān)照數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的“智化思維”之間迅速切換。只有這樣，才能更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成深度理解。正如美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞指出的：“教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的位置上，應(yīng)當(dāng)努力去理解學(xué)生心里正在想什么，然后提出一個(gè)問(wèn)題或者一個(gè)步驟，重要的是這些都是兒童自己想到的。”

三、變化想象：在“具象數(shù)學(xué)”與“抽象數(shù)學(xué)”之間調(diào)頻

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不僅僅包括直觀的感知，也包括抽象的思維、豐富的想象。面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，只有引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角觀照、想象，引導(dǎo)學(xué)生在“具象數(shù)學(xué)”與“抽象數(shù)學(xué)”之間進(jìn)行調(diào)頻，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。著名數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)，“直覺(jué)不僅僅包括一個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)看到了什么，更重要的是他在思考著什么、想象著什么”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生形成“陌生化的洞察力”“視角轉(zhuǎn)換的想象力”。只有這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解才能從片面走向全面、從單一走向多維。

比如在教學(xué)《平行四邊形的面積》（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）后，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)對(duì)“平行四邊形面積”的推導(dǎo)認(rèn)識(shí)了“平行四邊形面積的來(lái)源”，筆者便重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形面積、正方形面積和平行四邊形面積之間的關(guān)系。通過(guò)對(duì)平行四邊形框架的推拉，學(xué)生展開(kāi)豐富的想象。有學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)平行四邊形的高變成斜邊，也就是當(dāng)平行四邊形的斜邊垂直于底時(shí)，平行四邊形的面積就是長(zhǎng)方形的面積;有學(xué)生認(rèn)為，長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形的面積公式其實(shí)是一致的，就是要相乘的兩條邊互相垂直;有學(xué)生認(rèn)為，正方形的面積可以歸結(jié)為長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形的面積可以歸結(jié)為平行四邊形的面積等。通過(guò)變換想象，學(xué)生對(duì)平面圖形的面積有了深度的理解。平面圖形的面積并不是一個(gè)個(gè)的“孤島”，而是相互聯(lián)系、相互統(tǒng)一的“統(tǒng)一體”。學(xué)生對(duì)看似相互分離的圖形面積公式建立了有意義的、非人為的本質(zhì)聯(lián)系，從而完善了自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深了對(duì)圖形面積公式的認(rèn)知。

哲學(xué)家黑格爾說(shuō)，“哲學(xué)就是發(fā)現(xiàn)同中之異與異中之同”。變式想象立足于哲學(xué)的“變易思想”，通過(guò)從數(shù)學(xué)知識(shí)的不同層面、不同視角、不同方面等來(lái)揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，考量數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系。變化想象，能催生學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生克服數(shù)學(xué)理解的僵化、惰性，形成融會(huì)貫通、舉一反三的能力。

美國(guó)哈佛大學(xué)威金斯教授等人認(rèn)為，真正的理解不是單方面的成就，而是多方面、多類型、多證據(jù)的表現(xiàn)。有專家深刻地指出，理解有六個(gè)維度，那就是學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)能解釋、能闡明、能應(yīng)用、能洞察、能神入、能自知。學(xué)生的數(shù)學(xué)理解是一個(gè)過(guò)程，為理解而教，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的至真追求。