宏觀整體思考 中觀結(jié)構(gòu)搭建 微觀關(guān)聯(lián)生成
——以“反比例函數(shù)”單元教學(xué)起始課為例

■何麗華

單元教學(xué)理論是在整體把握教材的基礎(chǔ)上，用全局的眼光、系統(tǒng)的方法把教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行整合、重組并形成相對(duì)完整、動(dòng)態(tài)的教學(xué)設(shè)計(jì)。它起源于19 世紀(jì)末歐美國(guó)家新教育運(yùn)動(dòng)，其倡導(dǎo)者主張學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)該是一個(gè)整體。從目前數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況來看，大多數(shù)教師還是把精力放在具體某節(jié)課上，只注重細(xì)節(jié)的處理，而忽視教學(xué)的整體性與系統(tǒng)性。這種“只見樹木，不見森林”的課堂教學(xué)容易造成學(xué)生的知識(shí)碎片化，不易建構(gòu)完整的思維體系，不利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！昂诵乃仞B(yǎng)下初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)”就是在整體思維指導(dǎo)下，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對(duì)相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，突出內(nèi)容主線，彰顯知識(shí)的整體性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)的動(dòng)態(tài)教學(xué)。具體來說，有以下四個(gè)內(nèi)涵特征。

一、關(guān)注宏觀分析，把握整體性

數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立的，有它的來龍去脈，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間往往有著千絲萬縷的聯(lián)系。然而,為了教與學(xué)的需要,人們常常將其人為地進(jìn)行分割與細(xì)化，這樣的劃分下學(xué)生學(xué)習(xí)的難度下降了,但其收獲的往往是一個(gè)個(gè)“點(diǎn)狀”的知識(shí),容易形成“只見樹木，不見森林”的學(xué)習(xí)狀況。我們需要突破教材片段式的知識(shí)呈現(xiàn),必要時(shí)將教材內(nèi)容高效整合,靈活地以整體的方式進(jìn)行教學(xué)。

案例1 初中函數(shù)類型的整體把握

問題1用函數(shù)表達(dá)式表示下列問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系：

（1）計(jì)劃修建一條長(zhǎng)為150km 的高速公路，完成該項(xiàng)目的天數(shù)y（天）隨日完成量x（km）的變化而變化；

（2）一本書共 280 頁(yè)，每天看 10 頁(yè)，剩下 y（頁(yè)）隨閱讀時(shí)間x（天）的變化而變化；

（3）菜場(chǎng)距家1000m，去菜場(chǎng)所需的時(shí)間t隨平均速度v 的變化而變化；

（4）豬肉的單價(jià)是12 元/kg，購(gòu)買的金額y（元）隨豬肉質(zhì)量x（kg）的變化而變化；

（5）一個(gè)面積為5cm2的菱形，一條對(duì)角線y（cm）隨著另一條對(duì)角線x（cm）的變化而變化；

（6）圓面積S隨半徑r的變化而變化；

（7）實(shí)數(shù)m與n的積為-200，m隨n的變化而變化。

追問1：以上7 個(gè)式子有何共同之處？（回顧函數(shù)概念。）

追問2：以上7 個(gè)式子有何不同之處？請(qǐng)把以上函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行分類，并說明理由。

學(xué)生主要有兩種分類方法，第一種方法是以函數(shù)右邊是整式和分式進(jìn)行分類，第二種方法是分為三類：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)力求把反比例函數(shù)置身于整個(gè)初中需要學(xué)習(xí)的函數(shù)之中，從整體中認(rèn)識(shí)局部，讓學(xué)生整體把握初中學(xué)習(xí)的三類特殊函數(shù)，既見“樹木”又見“森林”，并且在函數(shù)表達(dá)式分類中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生自主地揭示每一類特殊函數(shù)的本質(zhì)屬性，從而自然生長(zhǎng)出反比例函數(shù)概念。這樣的教學(xué)不僅有利于學(xué)生把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)成網(wǎng)狀的知識(shí)體系, 感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性，而且提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)信息的提取能力、學(xué)習(xí)的遷移能力、研究問題的能力等。

二、關(guān)注核心知識(shí)，彰顯關(guān)聯(lián)性

中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生以原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，通過同化或順應(yīng)，把新知識(shí)納入原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。在微觀層面的處理上，本節(jié)課在原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中尋找適切的類比源——一次函數(shù)，不僅可以讓學(xué)生自然生長(zhǎng)出反比例函數(shù)的概念，而且也可以自然生長(zhǎng)出它的主要研究思路，即“概念——圖像與性質(zhì)——應(yīng)用”。這種“自然生長(zhǎng)”過程，就是關(guān)聯(lián)性的適切體現(xiàn)。即通過分析新知識(shí)與原有知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，來尋找兩知識(shí)關(guān)聯(lián)處的核心部分，這個(gè)核心部分就是本課的核心知識(shí)點(diǎn)。

案例2 反比例函數(shù)的概念教學(xué)

問題2喚醒已有的知識(shí)：什么是一次函數(shù)？

生 2：一般形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）。

問題3觀察這類新函數(shù)它們具有什么共同特征？你能否用一個(gè)一般的式子表達(dá)出來？仿照一次函數(shù)的概念，請(qǐng)嘗試對(duì)這類函數(shù)下個(gè)定義。

（完善板書如圖1，除區(qū)域①②部分。）

概念辨析下列關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？

概念深化1解后反思：反比例函數(shù)還有哪些表達(dá)形式？

（過程略，完善板書圖1 中區(qū)域①部分）

概念深化2

（1）當(dāng)m=時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)y=3x-m2是反比例函數(shù)？

（2）當(dāng) m=______ 時(shí)，關(guān)于 x 的函數(shù) y=（m-1）·x-m2是反比例函數(shù)？

概念深化3下列表格中分別給出了變量x 與y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，哪一個(gè)表示的是反比例函數(shù)？

x y……1 12 2 9 3 6 4 3……x y……-3 2-1 6 1-6 3-2……

概念運(yùn)用星期天，小明在家做作業(yè)，忽然發(fā)現(xiàn)作業(yè)本已全部用完，小明帶上30 元零花錢到離家800 米的商店買作業(yè)本。在路上，小明看到某商場(chǎng)在搞裝修，工人正在貼地磚，邊上一大卡車貨物剛到，正準(zhǔn)備卸貨。最后小明用30 元買了同一種作業(yè)本若干本，錢剛好用完。在這一故事情境中，你能找出哪些量之間成反比例函數(shù)？

追問：你還能舉出哪些反比例函數(shù)的實(shí)例？

設(shè)計(jì)意圖（1）反比例函數(shù)是在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)之后的又一個(gè)基本函數(shù)。我們知道：反比例函數(shù)、一次函數(shù)是并列關(guān)系，函數(shù)、反比例關(guān)系與反比例函數(shù)是上下位關(guān)系，這些知識(shí)原理之間存在著緊密的聯(lián)系，通過知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性、聯(lián)系性的揭示，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移能力，從而達(dá)到知識(shí)的“關(guān)系性理解”。（2）幫助學(xué)生經(jīng)歷完整的概念發(fā)生發(fā)展過程。同時(shí)利用概念同化（一次函數(shù)的同化）和形成（4 個(gè)實(shí)例共性特征的抽象）兩種方式進(jìn)行概念教學(xué)，在概念辨析中通過正例和反例深化概念理解，通過三次概念深化讓學(xué)生多角度理解反比例函數(shù)概念的“多元表征”，通過概念運(yùn)用拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

總之，在單元教學(xué)核心知識(shí)的構(gòu)建過程中，我們必須使新的數(shù)學(xué)知識(shí)與原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)觀念建立起非人為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征及內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，形成一個(gè)完整的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系。

三、關(guān)注知識(shí)體系，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)性

有了宏觀上的整體把握和微觀細(xì)節(jié)的處理，接下來，我們必須從中觀上對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效搭建?；瘜W(xué)學(xué)科中有這樣一個(gè)基本常識(shí)，金剛石和石墨都是由碳原子組成，導(dǎo)致二者不同的僅僅是由于原子的排列結(jié)構(gòu)不同。教學(xué)前，教師應(yīng)仔細(xì)研讀課標(biāo)、教材和教參等，找出教學(xué)內(nèi)容的主干知識(shí)內(nèi)容，把教學(xué)內(nèi)容整理為知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)圖。這樣提煉出的知識(shí)結(jié)構(gòu)能幫助學(xué)生對(duì)于知識(shí)全貌有宏觀的認(rèn)識(shí)，并且梳理出在知識(shí)總體上所歸納出的幾條基本線索（套路），這樣只要牽動(dòng)一點(diǎn)就可以帶動(dòng)一串，便于記憶與運(yùn)用。這時(shí)已不是教學(xué)內(nèi)容的簡(jiǎn)單重復(fù)和羅列，而是高視角的、有牢固支撐的知識(shí)概型。學(xué)生掌握的知識(shí)是成串、成套的，是具有“空間”結(jié)構(gòu)的，而不是“平面”結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單展現(xiàn)。

案例3 結(jié)構(gòu)搭建，類比生成

問題4有關(guān)“一次函數(shù)”，我們研究了它的哪幾個(gè)方面？

生3：分為四方面——函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用。

追問：對(duì)于這幾方面的研究，總體的研究思路是什么？你有哪些研究方法呢？

（先組織小組合作交流，然后代表匯報(bào)，相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)。）

研究函數(shù)的總體思路是：先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，然后研究函數(shù)的圖像，再者研究函數(shù)的性質(zhì)，最后研究函數(shù)的應(yīng)用。

函數(shù)的研究方法有：通過列表、描點(diǎn)、連線的方法畫函數(shù)圖像；通過畫圖、觀察、比較、歸納的方法研究函數(shù)的性質(zhì)；通過數(shù)學(xué)建模的方法用函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題。

問題5結(jié)構(gòu)搭建：根據(jù)一次函數(shù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，搭建“反比例函數(shù)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系。

（過程略，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上完善圖1中區(qū)域②部分。）

借助前面學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和研究方法，確定研究方向，因勢(shì)利導(dǎo)，類比形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，放手讓學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)類比、觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等獨(dú)立思考的能力，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力。

實(shí)際上，縱觀本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),有三個(gè)層次的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)（如圖2）。第一層：反比例函數(shù)概念的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)（圖1 的概念部分）；第二層：反比例函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)（概念、圖像、性質(zhì)和應(yīng)用）；第三層：三種特殊函數(shù)（一次、反比例、二次函數(shù)）的并列結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)。這樣，有序、精致的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成起到至關(guān)重要的作用，學(xué)生能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)研究的基本思路，積累了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、關(guān)注活動(dòng)設(shè)計(jì)，遵循遞進(jìn)性

學(xué)習(xí)活動(dòng)并不能一蹴而就，我們必須層層遞進(jìn)，讓知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程自然生長(zhǎng)。比如本節(jié)課中設(shè)計(jì)三個(gè)遞進(jìn)式“核心活動(dòng)”，具體的課堂教學(xué)架構(gòu)如圖3。首先從宏觀層面整體把握所學(xué)知識(shí)，學(xué)生獲得“整體性認(rèn)識(shí)”；其次進(jìn)行核心概念的關(guān)聯(lián)思考，在同化和順應(yīng)中建立了本節(jié)課的核心概念——反比例函數(shù)概念，幫助學(xué)生建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)框架；最后進(jìn)行結(jié)構(gòu)體系類比生成，幫助學(xué)生建立本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框架。通過三個(gè)“核心活動(dòng)”，學(xué)生可以拾級(jí)而上，層層遞進(jìn)，從而整體把握反比例函數(shù)章節(jié)簡(jiǎn)單內(nèi)容和結(jié)構(gòu)框架，也為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)倡導(dǎo)宏觀上學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)、中觀上結(jié)構(gòu)體系的有序搭建、微觀上核心內(nèi)容的關(guān)聯(lián)思考，遞進(jìn)式層級(jí)推進(jìn)的教學(xué)將是有效落實(shí)單元教學(xué)的關(guān)鍵。由于學(xué)科、年齡、學(xué)生等多方面的差異，具體做法自是各異的，本文僅僅是拋磚引玉，給出一些思路和案例，與同行共研。