貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的形成與嬗變

劉玉清

摘 要：貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論是現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中較具影響力的理論，其在長期發(fā)展中逐漸成為了一種學(xué)派，對(duì)現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)有著巨大的影響。本文為了了解該理論的形成與嬗變將展開研究，對(duì)該理論的起源、發(fā)展歷史進(jìn)行論述。通過分析了解到，貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論來源于概率論的思想背景與機(jī)會(huì)學(xué)理論，在后續(xù)發(fā)展中該理論被廣泛應(yīng)用，且逐漸與經(jīng)典學(xué)派分離，形成了一種獨(dú)立的學(xué)派。

關(guān)鍵詞：貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論;形成;嬗變

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)本身就是一種通用性的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，在現(xiàn)代各大領(lǐng)域中都需要通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)手段來開展工作，而貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論作為樹立統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論手段，自然受到了人們的廣泛關(guān)注與采納。但現(xiàn)代多數(shù)人對(duì)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的形成與嬗變并不了解，使得使用相關(guān)手段時(shí)不知變通，限制了理論的作用發(fā)揮，因此對(duì)其形成與嬗變進(jìn)行研究具有一定現(xiàn)實(shí)意義。

一、貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的形成

（一）概率論的思想背景

概率論最早出現(xiàn)在“賭博”活動(dòng)中，活動(dòng)參與者會(huì)通過各種非數(shù)學(xué)的方法對(duì)自身行為的獲勝概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，這種統(tǒng)計(jì)結(jié)果比較主觀，且不科學(xué)，因此當(dāng)時(shí)概率并不屬于數(shù)學(xué)范疇，是一個(gè)非數(shù)學(xué)觀念。但這種非數(shù)學(xué)范疇的概率統(tǒng)計(jì)方法引起了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的關(guān)注，多數(shù)數(shù)學(xué)家都發(fā)現(xiàn)了概率中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，而這種規(guī)律在當(dāng)時(shí)還模糊不清，這也引起了數(shù)學(xué)家們的研究，隨后出現(xiàn)了很多有關(guān)于概率論的研究。例如1657年，荷蘭科學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）發(fā)表了《論賭博中的計(jì)算》文章，此舉成功將概率論帶入到了數(shù)學(xué)范疇，奠定了概率數(shù)學(xué)邏輯。而這些關(guān)于概率論的研究中，不少研究并不能清晰展示概率論的邏輯，因此在貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論出現(xiàn)之前，概率論中依舊存在很多模糊的地方，計(jì)算方法也不完全可靠。這種模糊不清的現(xiàn)象一直持續(xù)到托馬斯·貝葉斯的出現(xiàn)，他受前人影響對(duì)以往模糊不清的概率論進(jìn)行研究，撰寫了對(duì)概率進(jìn)行深入探討的著作《機(jī)會(huì)學(xué)說中一個(gè)問題的解》，該文章由貝葉斯好友普萊斯在貝葉斯逝世后發(fā)表，這篇文章中貝葉斯針對(duì)概率論基礎(chǔ)理論使用了歸納推理法，這種方法成功讓概率論有據(jù)可依，至少可以解決當(dāng)時(shí)大部分無法用以往方法無法進(jìn)行概率計(jì)算的問題，而這也是貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的起源。

（二）機(jī)會(huì)學(xué)理論

在貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論當(dāng)中，機(jī)會(huì)學(xué)理論是該理論體系的核心概念，即《機(jī)會(huì)學(xué)說中一個(gè)問題的解》就是以機(jī)會(huì)學(xué)為核心來撰寫的。在《機(jī)會(huì)學(xué)說中一個(gè)問題的解》中，貝葉斯希望找到一種可以在給定、假定情況下對(duì)事件的發(fā)生概率進(jìn)行判斷的方法，這種方法的重點(diǎn)在于“假定”，即假定是指我們對(duì)事件情況完全不了解的情況下，根據(jù)事件曾經(jīng)發(fā)生的次數(shù)、失敗的次數(shù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果代表了該事件在假定情況下其發(fā)生概率在任意二值之間的機(jī)會(huì)，在貝葉斯的描述中該方法所計(jì)算的問題被稱為“逆概率問題”，這一問題也是《機(jī)會(huì)學(xué)說中一個(gè)問題的解》文章所論述的核心。

在研究當(dāng)中，貝葉斯首先提出了他要研究的問題“給定一個(gè)未知事件發(fā)生和失敗的次數(shù)，求其在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在任意指定的概率度之間的機(jī)遇”，其次針對(duì)這一問題貝葉斯展開了n重伯努利試驗(yàn)，試驗(yàn)步驟見下文。

1.步驟一，問題假設(shè)

在n重伯努利試驗(yàn)中，貝葉斯將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X、每次試驗(yàn)的事件發(fā)生概率為θ，隨后給出了問題假設(shè)表達(dá)式，見公式（1）。

2.步驟二，問題定義

單純圍繞問題假設(shè)公式，其中θ就會(huì)成為一個(gè)隨機(jī)變量，而這種變量顯然會(huì)造成結(jié)果上的爭(zhēng)議，說明計(jì)算結(jié)果不可靠，這時(shí)貝葉斯也發(fā)現(xiàn)了這一問題，隨后在文章中進(jìn)行了問題定義：在多個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)存在的條件下，其中任意事件發(fā)生后，其他事件都不可發(fā)生;兩個(gè)對(duì)立的事件中，任意事件一旦發(fā)生，則另外事件不能同時(shí)發(fā)生;若事件1未發(fā)生或?qū)α⒌氖录?發(fā)生，則代表事件1發(fā)生失敗;當(dāng)事件發(fā)生或失敗，則事件被確認(rèn);事件的發(fā)生概率代表了它發(fā)生的期望價(jià)值除以它發(fā)生時(shí)得到的價(jià)值;機(jī)會(huì)即概率;任意事件如果不會(huì)對(duì)其他事件的發(fā)生概率造成影響，則說明該與其他事件相互獨(dú)立。這種定義代表貝葉斯通過公理化的演繹式推理使問題變得清晰。

3.步驟三，問題計(jì)算

在問題假設(shè)與問題定義基礎(chǔ)上，貝葉斯開始對(duì)問題進(jìn)行計(jì)算，目的在于解決逆概率問題。他提到，當(dāng)未知事件M的發(fā)生概率為θ，且θ未知時(shí)，M在n次試驗(yàn)中的成功次數(shù)為r，失敗次數(shù)為n-r，因此通過公式（3）能夠?qū)Ζ仍诔?shù)a、b之間的概率進(jìn)行計(jì)算。

通過貝葉斯定理公式，我們可以在不知道事件發(fā)生概率，但知道在相同情況下事件發(fā)生次數(shù)、失敗次數(shù)的條件下，通過積分對(duì)事件發(fā)生概率進(jìn)行判斷，同時(shí)這種規(guī)則適用于任何事件，說明貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論使用范圍廣泛。

二、貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的嬗變

（一）嬗變的起源

貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的形成時(shí)間很早，可追溯到18世紀(jì)至19世紀(jì)期間，但在當(dāng)時(shí)該理論并沒有得到大家的重視，多數(shù)人依舊非常依賴傳統(tǒng)方法所代表的經(jīng)典學(xué)派。這種現(xiàn)象一直延續(xù)到20世紀(jì)，當(dāng)時(shí)大量數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域?qū)W者發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)方法難以得出令人滿意的結(jié)果，而嘗試性地使用了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論方法，結(jié)果出人意料，因此在20世紀(jì)很多人對(duì)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行了研究，如英國學(xué)者哈羅德·杰弗里斯、倫納德·吉米·薩維奇等，對(duì)弗蘭克·拉姆齊在1931年提出的主觀概率概念進(jìn)行了研究，研究中就采用了貝葉斯理論對(duì)主觀概率的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了描述與分析;1955年赫伯特·羅賓斯在基礎(chǔ)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論上提出了經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法，該方法至今仍受學(xué)術(shù)界關(guān)注;1958年貝葉斯《機(jī)會(huì)學(xué)說中一個(gè)問題的解》被英國某統(tǒng)計(jì)雜志刊登發(fā)表。這既為貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論嬗變起源。

（二）嬗變歷程

貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論作為一個(gè)發(fā)源于18世紀(jì)的理論，距今已經(jīng)300余年，在冗長的歷史時(shí)間當(dāng)中，它的嬗變歷程大體可以分為三個(gè)階段，即主觀概率、“后驗(yàn)概率∝先驗(yàn)概率*似然”概率論釋義、經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法，各階段具體內(nèi)容見下文。

1.主觀概率

主觀概率由弗蘭克·拉姆齊提出，這種概率論與貝葉斯概率觀點(diǎn)相符，因此被認(rèn)為是貝葉斯概率觀點(diǎn)之一。根據(jù)弗蘭克·拉姆齊描述可知，主觀概率與經(jīng)典概率論學(xué)派最大的不同在于前者反對(duì)后者提出的頻率理論，即不能以頻率的結(jié)構(gòu)與分析概率，但主觀概率非常強(qiáng)調(diào)“信任”，如在弗蘭克·拉姆齊的著作《真理與概率》當(dāng)中，他提出了一種基于信任的“打賭”概念：在生活中我們時(shí)常會(huì)進(jìn)行打賭，而打賭就是對(duì)概率的賭博，但賭博必須建立在信任基礎(chǔ)上，如我與某人打賭今日某個(gè)商店是否開門，若我認(rèn)為商店不開門，就代表我對(duì)商店開門的不信任，否則反之，或者我對(duì)商店開門與否都不信任，則我會(huì)拒絕打賭，脫離對(duì)商店開門概率的追究。這種理論就來源于人主觀意識(shí)上的信任，與貝葉斯理論所表述的觀點(diǎn)一致。

2.“后驗(yàn)概率∝先驗(yàn)概率*似然”概率論釋義

“后驗(yàn)概率∝先驗(yàn)概率*似然”概率論釋義來源于哈羅德·杰弗里斯，他將概率論視作理解科學(xué)方法的必要條件，并根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論提出了“后驗(yàn)概率∝先驗(yàn)概率*似然”概率論釋義，認(rèn)為貝葉斯對(duì)概率論的意義重大，值得推廣。

3.經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法

經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法來源于赫伯特·羅賓斯，他在1955年提出了這種方法。經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法中，采取了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的統(tǒng)計(jì)推斷過程，且具有歸納性，符合貝葉斯的歸納推理法，過程中需要先采集先驗(yàn)樣本，再通過客觀方法將樣本代入到主觀的貝葉斯理論中，通過這種方法所得出的結(jié)果與原始貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法高度一致。該方法的出現(xiàn)基本奠定了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中的地位，即原始貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法被認(rèn)為過于主觀，在樣本分布上太過隨意，因此結(jié)果不可靠，這一點(diǎn)常被經(jīng)典學(xué)派人員詬病，而經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法則消除了這一缺陷，該方法以客觀為主導(dǎo)再轉(zhuǎn)向主觀，使得原始貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法具有客觀屬性，結(jié)果自然更加可靠，因此經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法一直流傳至今，現(xiàn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)方法一般具有該方法的影子。

三、結(jié)語

綜上，本文對(duì)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的形成與嬗變進(jìn)行了分析，通過分析闡述了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論形成背景與起源，描述了該理論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的觀點(diǎn)與操作方法，該理論中的方法成功突破了傳統(tǒng)概率論模糊不清的現(xiàn)象，因此意義重大，而在后期發(fā)展中，人們還是發(fā)現(xiàn)了原始貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的不足，使得大量研究人員對(duì)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行了研究，促使該理論發(fā)生嬗變，最終形成了經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法，該方法對(duì)現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究影響重大，可消除以往缺陷、確保統(tǒng)計(jì)結(jié)果質(zhì)量。

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