易斌

【內(nèi)容摘要】核心素養(yǎng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注的焦點(diǎn)問題，如何做到信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合，也是現(xiàn)代教學(xué)教師探討的熱點(diǎn)課題，本文以《函數(shù)的單調(diào)性》為例，深刻闡述了以“發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，結(jié)合信息技術(shù)的應(yīng)用”的教學(xué)該如何設(shè)計(jì)？其思考維度，對(duì)其他課型的教學(xué)設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

【關(guān)鍵詞】融合信息技術(shù)?發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?教學(xué)設(shè)計(jì)

核心素養(yǎng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)是中學(xué)教師關(guān)注的焦點(diǎn)問題，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中深度融合信息技術(shù)，做到高效教學(xué)，也是現(xiàn)代教學(xué)教師探討的熱點(diǎn)課題，筆者以《函數(shù)的單調(diào)性》為例，談?wù)劇叭诤闲畔⒓夹g(shù)與發(fā)展核心素養(yǎng)”的教學(xué)該如何設(shè)計(jì)？

一、教學(xué)內(nèi)容解讀

1數(shù)學(xué)本質(zhì)

從圖像看，單調(diào)性是研究函數(shù)的圖像的“升降”特征;從數(shù)值看，單調(diào)性是研究函數(shù)值隨自變量增大而“增減”的性質(zhì)。

2.思想方法

研究的方法是數(shù)形結(jié)合，先觀察、發(fā)現(xiàn)特殊函數(shù)圖象升降的變化，由直觀到抽象，用數(shù)學(xué)符號(hào)量化地刻畫增、減變化的數(shù)值特征，再由特殊推廣到一般函數(shù)。

3.功能價(jià)值

是解決值域、最值、零點(diǎn)等問題的重要依據(jù)（內(nèi)部）;在數(shù)列、三角、不等式及解析幾何等數(shù)學(xué)內(nèi)容中有著重要的應(yīng)用（外部），是處理數(shù)學(xué)問題最基本的工具，在數(shù)學(xué)中處于核心地位。

4.教學(xué)重點(diǎn)

（1）用三種語言（圖形、文字、符號(hào)語言）描述單調(diào)性定義。

（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

5.知識(shí)類型

在本課教學(xué)內(nèi)容中，包含了四種知識(shí)類型。函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念屬于概念性知識(shí)，函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語言表述屬于事實(shí)性知識(shí)，用定義證單調(diào)性的步驟屬于程序性知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題的研究模式，以及從特殊到一般，由直觀到抽象等研究問題的一般方法，屬于元認(rèn)知知識(shí)。

6.思維教學(xué)資源與價(jià)值觀教育資源生活中數(shù)據(jù)曲線圖，能引發(fā)發(fā)現(xiàn)思維;函數(shù)f（x）=0.001.x+1和f（x）=x+l/x，能引發(fā)提出問題——分析問題——解決問題的研究思維，不等關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化為作差定號(hào)，是轉(zhuǎn)化化歸思維的好資源，是樹立辯證唯物主義價(jià)值觀的好契機(jī)。

7.發(fā)展核心素養(yǎng)

函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)，是發(fā)展學(xué)生抽象概括、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良機(jī)。

8.融合信息技術(shù)

（1）利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境：本課情境創(chuàng)設(shè)涉及溫度圖象、f（x）=x、f（x）=x及f（x）=0.00lx+1的圖象，其中f（x）=0.001x+1的圖象，學(xué)生無法精確作出，要利用幾何畫板才能精準(zhǔn)作圖。

（2）利用信息技術(shù)探究定義：?jiǎn)握{(diào)性定義生成過程涉及函數(shù)的“圖像”，它是由形的觀察到數(shù)滿足的特征的思考與提煉，特別是從圖象的上升發(fā)現(xiàn)函數(shù)值隨自變量的增大而增大，基礎(chǔ)差的同學(xué)不太容易做到，可以利用信息技術(shù)充分展現(xiàn)函數(shù)值隨自變量的變化規(guī)律，利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)與歸納。

（3）利用信息技術(shù)辨析定義：為理解單調(diào)性概念，設(shè)置的辨析題2可以用信息技術(shù)作出圖象直觀解釋，達(dá)到無聲勝有聲的效果。

（4）利用信息技術(shù)規(guī)范證明：例2的單調(diào)性證明，用信息技術(shù)呈現(xiàn)，思路清新，層次分明，提升效率，也利于學(xué)生感悟證明的方法，總結(jié)歸納證明的步驟。

（5）利用信息技術(shù)突破難點(diǎn)：利用信息技術(shù)，清晰地展現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生過程，生動(dòng)地體現(xiàn)了數(shù)與形的邏輯聯(lián)系，形象地演繹了疑難問題的直觀解釋，輕松地突破了教學(xué)難點(diǎn)，高效完成了教學(xué)任務(wù)。

（6）利用信息技術(shù)反饋效果：無論是體現(xiàn)定義應(yīng)用的例1、例2及相應(yīng)練習(xí)，還是為理解定義設(shè)置的辨析題1與辨析題2，都可以利用信息技術(shù)統(tǒng)計(jì)答題情況，顯示做對(duì)與做錯(cuò)的學(xué)生人數(shù)及學(xué)生名單，非常及時(shí)地反饋教學(xué)效果。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本課教學(xué)依據(jù)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”），根本目標(biāo)是“數(shù)學(xué)育人，發(fā)展素養(yǎng)”。

“課標(biāo)”對(duì)本課教學(xué)內(nèi)容要求是：通過學(xué)過的函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性。

為盡好達(dá)到教學(xué)要求，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，設(shè)置目標(biāo)如下：

（1）理解單調(diào)性的概念;能觀察圖象直觀判斷單調(diào)性;會(huì)用定義理性判斷、證明單調(diào)性;

（2）經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、推理論證等思維過程，提高相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維能力;體會(huì)數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、無限與有限、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想;

（3）通過自主學(xué)習(xí)、合作探究，形成獨(dú)立思考、討論爭(zhēng)辯、合作分享的學(xué)習(xí)習(xí)慣;感悟研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法;發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

三、學(xué)情分析

1.學(xué)生基礎(chǔ)

認(rèn)知基礎(chǔ)：從知識(shí)最近發(fā)展區(qū)來看，學(xué)生在初中已會(huì)用“隨x的增大而增大或減小”這句體現(xiàn)變量之間依賴關(guān)系的文字語言來描述函數(shù)的單調(diào)性。

非認(rèn)知基礎(chǔ)：通過小學(xué)、初中和高中階段集合與函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生具有一定的抽象概括、類比歸納、符號(hào)表示的能力。

2.難點(diǎn)及其突破方法

難點(diǎn)1：把“隨著”“增大”“減小”這些文字語言進(jìn)行符號(hào)化。這個(gè)差距是從自然描述抽象概括為符號(hào)表述。抽象能力稍強(qiáng)的學(xué)生可以通過觀察圖象和函數(shù)列表的變化過程，將它們進(jìn)行對(duì)比，以數(shù)形結(jié)合自主消除差距。如果學(xué)生抽象能力稍弱，教師可以提示“增大、減小都是體現(xiàn)大小比較的詞匯”啟發(fā)學(xué)生用比較大小的方法抽象概括。并用“當(dāng)……時(shí)，有……”來體現(xiàn)“隨著”這種變量間的伴隨關(guān)系。

難點(diǎn)2：能理解“任意……都……這個(gè)句式的具體含義：

第一，不能取特定值來判別函數(shù)的單調(diào)性;這里的差異是學(xué)生要理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學(xué)生也許理解不透徹，需要教師提起注意，本課設(shè)置了辨析題1，來糾正學(xué)生對(duì)概念理解的偏差，突破此難點(diǎn)。

第二、用“任意”的合理性，體現(xiàn)化無限為有限的思想。這里的差距是學(xué)生要理解“任意”這個(gè)說法的合理性，學(xué)生第一次接觸這樣高度概括的文字語言與符號(hào)語言，理解很有難度，需要經(jīng)過斟酌、推敲、推理，才能吸收、消化并接受。本課通過問題串來引導(dǎo)學(xué)生，在互動(dòng)對(duì)話中慢慢感悟，突破難點(diǎn)。

難點(diǎn)3：函數(shù)的單調(diào)性有局部性。這里的差異是學(xué)生要理解單調(diào)區(qū)間一般不能取并集。為消除差異，本課設(shè)置了辨析題2，采用合作探究模式突破難點(diǎn)。

四、教學(xué)策略分析

1.教學(xué)材料分析

用一次、二次函數(shù)通過有效組織成為教學(xué)材料，再觀察f（x）=0.001x+1的圖象，引發(fā)不能靠圖象直觀判斷單調(diào)性的矛盾沖突，于是要靠解析式代值驗(yàn)證來判斷單調(diào)性;再展示函數(shù)f（x）=x+1/x說明靠解析式代值驗(yàn)證操作性很差，需要新方法——利用解析式快速判斷單調(diào)性，這些教學(xué)材料貼近學(xué)生實(shí)際，能有效引發(fā)思考，十分自然地推動(dòng)了知識(shí)發(fā)展;再以f（x）=x承擔(dān)主要探究材料，組織列表和觀察圖象，驅(qū)動(dòng)學(xué)生由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”，提煉符號(hào)語言描述;組織兩道辨析題，問題驅(qū)動(dòng)深挖定義的內(nèi)涵;組織直觀判斷單調(diào)性的例1以及需要用定義判斷證明單調(diào)性的例2及練習(xí)，潤(rùn)物細(xì)無聲地引導(dǎo)學(xué)生感悟判定單調(diào)性的基本方法。

2.教學(xué)方法分析

本課教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性符號(hào)語言描述的抽象概括過程，是學(xué)生遇到的抽象程度極高的符號(hào)語言，所以結(jié)合幻燈片、實(shí)物投影等多媒體技術(shù)的教學(xué)手段，選擇觀察發(fā)現(xiàn)式、問題啟發(fā)式、合作討論式的教學(xué)方法。

3.設(shè)計(jì)“問題串”的分析

依據(jù)學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，從問題1至問題5以及兩個(gè)思考，“問題串”的設(shè)計(jì)層次遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)了特殊到一般，直觀到抽象的研究脈絡(luò)，有利于形成對(duì)后續(xù)函數(shù)性質(zhì)的一般研究方法。“問題串”的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題的研究模式。

4.效果反饋的分析

通過兩道辨析題反饋對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義中“任意”的理解;通過例1反饋對(duì)函數(shù)單調(diào)性相關(guān)概念的理解;通過例2及練習(xí)反饋對(duì)用定義證單調(diào)性的掌握程度，通過課堂小結(jié)反饋學(xué)生在知識(shí)、方法、思想、學(xué)法上的收獲。多管齊下，全面反饋學(xué)習(xí)效果。

五、教學(xué)過程

1.感知數(shù)學(xué)引人新課

引人：觀察某市一天溫度變化圖（投影圖象），它反映了溫度的哪種變化規(guī)律？

【活動(dòng)】觀察圖象，自由發(fā)言

【設(shè)計(jì)意圖】用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)思考。學(xué)生通過圖形語言的描述：圖象的“上升”“下降”，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的第一次認(rèn)識(shí)。引出課題，同時(shí)獲得判斷單調(diào)性的直觀方法——圖象法。

2.激發(fā)沖突由形入數(shù)

（投影）問題1：觀察函數(shù)f（x）=x、f（x）=x？與f（x）=0.001x+1的圖象，描述函數(shù)的變化趨勢(shì)。

【活動(dòng)】學(xué)生用文字語言描述：在哪個(gè)區(qū)間上，f（x）隨x的增大而增大或減?。?/p>

【設(shè)計(jì)意圖】從所學(xué)的兩個(gè)熟悉的函數(shù)出發(fā)，要求用文字語言描述它們的單調(diào)性。加強(qiáng)定量分析的意識(shí)，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的第二次認(rèn)識(shí)。第三個(gè)圖象先不給表達(dá)式，讓學(xué)生觀察其變化趨勢(shì)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為這個(gè)圖像的函數(shù)是y=l，因圖象平行x軸，故沒有“升降”性。教師再用幾何畫板展示第三個(gè)圖象的函數(shù)其實(shí)是f（x）=0.001x+1，學(xué)生大為吃驚，充滿好奇，意識(shí)到某些圖象不能直觀判斷單調(diào)性，要憑解析式代值驗(yàn)證才能判斷;再展示函數(shù)y=x+1/x，說明靠解析式代值驗(yàn)證操作性很差，且易判斷錯(cuò)誤，因此，準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性，需要新的方法。這幾個(gè)教學(xué)材料貼近學(xué)生實(shí)際，能有效構(gòu)造知識(shí)矛盾沖突，激發(fā)思維，十分自然地推動(dòng)了知識(shí)發(fā)展。學(xué)生感悟圖象法判斷單調(diào)性雖然比較直觀，但有些圖像其升降趨勢(shì)無法判斷。因此，判斷函數(shù)的單調(diào)性必須由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”，由“感性”轉(zhuǎn)“理性”，從函數(shù)解析式和不等關(guān)系尋找出路。

3.列表演化突破難點(diǎn)

問題2：如何描述f（x）=x？“在（0，+oo）上，f（x）隨x增大而增大”？

【思考】觀察各自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小，你能發(fā)現(xiàn)什么？

f（x）=x'0l4916...

【活動(dòng)1】利用信息技術(shù)讓學(xué)生觀看表格生成的數(shù)據(jù)變化，體會(huì)f（x）隨x增大而增大，再用自己的語言總結(jié)歸納出“當(dāng)x《x，時(shí)，有f（x{）《f（x，）”這個(gè)符號(hào)表述。

【設(shè)計(jì)意圖】通過同時(shí)對(duì)比函數(shù)的列表和圖象，借助“數(shù)”與“形”結(jié)合，學(xué)生更容易概括。提示“增大是體現(xiàn)大小比較的詞匯”，啟發(fā)學(xué)生用比較大小的方法抽象概括。并用“當(dāng)……時(shí)，有....”來體現(xiàn)“隨著”這種變量間的伴隨關(guān)系。

【活動(dòng)2】通過“問題串”引出“任意……都……”句式：

師：x;和x，是一對(duì)具有代表性的符號(hào)，它們究竟代表了多少對(duì)數(shù)值？

生：無數(shù)。

師：無數(shù)還是所有？

生：所有。

師：無數(shù)和所有含義相同嗎？

生：不同。

師：還有什么詞可以表達(dá)“所有”？

生：“任意”可以表達(dá)。

【設(shè)計(jì)意圖】突破本課第一個(gè)難點(diǎn)：用“任意”的合理性。學(xué)生認(rèn)識(shí)到自變量無窮無盡，不可能被一窮舉，為使得對(duì)“所有”的自變量均成立，取的兩個(gè)自變量x，x，應(yīng)該在給定的區(qū)間內(nèi)有“任意”性，這里的“任意”涵蓋了“所有”。

問題3：能類比描述f（x）=x'在（-0，0）是減函數(shù)嗎？

【活動(dòng)】全班思考后齊聲回答。

【設(shè)計(jì)意圖】激發(fā)類比思維，滲透分類整合的思想，讓學(xué)生體會(huì)完善知識(shí)結(jié)構(gòu)過程。

4.符號(hào)語言建構(gòu)定義

問題4：如何用符號(hào)語言刻畫y=f（x）是增函數(shù)？

【活動(dòng)】師生共同整理完善增函數(shù)的概念、學(xué)生閱讀教材定義、領(lǐng)悟后再蓋上課本用自己的話表述一遍。

【設(shè)計(jì)意圖】把二次函數(shù)推廣到一般函數(shù)，并把討論區(qū)間一般化，由特殊到一般，具體到抽象，用規(guī)范準(zhǔn)確的符號(hào)語言生成定義，完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生研讀教材，琢磨如何規(guī)范表述定義。這一環(huán)節(jié)展現(xiàn)了學(xué)生的高級(jí)數(shù)學(xué)思維，充分發(fā)展了邏輯推理、抽象概括等核心素養(yǎng)。

問題5：能類比刻畫減函數(shù)嗎？

【活動(dòng)】類比得出減函數(shù)的定義，選個(gè)別學(xué)生展示后再集體朗讀定義。

【設(shè)計(jì)意圖】滲透類比的思想方法。

5.理性認(rèn)識(shí)螺旋上升

例1：回顧溫度圖，寫出其單調(diào)區(qū)間，并說出增減性？

【活動(dòng)】寫單調(diào)區(qū)間，教師選個(gè)別成果展示，師生一起點(diǎn)評(píng)。

【設(shè)計(jì)意圖】利用信息技術(shù)回顧引人的例子，首尾呼應(yīng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值;用單調(diào)性的知識(shí)來作答，鞏固新學(xué)的概念。

.【概念辨析】辯一辯下列說法是否正確？為什么？

辨析1：若定義在【4，6】上的f（x）滿足f（6）》f（4），則f（x）在【4，6】上是增函數(shù)。

【活動(dòng)】請(qǐng)同學(xué)舉手回答，用預(yù)設(shè)

動(dòng)畫驗(yàn)證想法。

【設(shè)計(jì)意圖】突破本課第二個(gè)難點(diǎn)：不能取特定值來判定函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)計(jì)意圖是要學(xué)生理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學(xué)生也許理解不透徹，因此設(shè)置了辨析題提起注意。本題用信息技術(shù)統(tǒng)計(jì)答題情況，顯示做對(duì)與做錯(cuò)的學(xué)生人數(shù)及學(xué)生名單，教師根據(jù)反饋結(jié)果，針對(duì)存在的問題進(jìn)行講評(píng)，使學(xué)生明白判定單調(diào)性必須用“任意”值，而不是用“特值”。

辨析2：若函數(shù)在【2，6】和（6，10】上都是增函數(shù)，則在【2，10】上也是增函數(shù)。

.【活動(dòng)】先獨(dú)立思考一分鐘，然后全班分成若千小組合作探究，判斷對(duì)錯(cuò)，并作圖說明理由，，上臺(tái)展示成果，全班討論，生生互評(píng)。

【設(shè)計(jì)意圖】突破本課第三個(gè)難點(diǎn)：正是由于取值的任意性，造就了函數(shù)的單調(diào)性的局部性。學(xué)生第一次接觸像函數(shù)單調(diào)性概念這樣高度概括的符號(hào)語言，需要設(shè)置辨析題，采用小組合作探究，讓學(xué)生獨(dú)立思考、充分討論、正誤對(duì)比來獲得正確認(rèn)識(shí)，并利用信息技術(shù)作圖直觀解釋及統(tǒng)計(jì)答題情況，顯示做對(duì)與做錯(cuò)的學(xué)生人數(shù)及學(xué)生名單，教師根據(jù)反饋情況，適時(shí)地組織學(xué)生探究及進(jìn)行講評(píng)。

6.定義應(yīng)用消除沖突

例2：波利爾定律p=k/v（k是正常數(shù)）表明：對(duì)于定量氣體，當(dāng)體積v減小，壓強(qiáng)p將增大。試用單調(diào)性證明。

【活動(dòng)】先領(lǐng)會(huì)題意，再啟發(fā)證明思路，師生共同完成證明，證明結(jié)束后，再反思證明過程，感悟證明步驟（五步曲）：取值，作差，變形，定號(hào)，結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖】用定義證單調(diào)性，是本課教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)之一，是學(xué)生第一次接觸用解析式和不等式關(guān)系的結(jié)合本——作差法證明函數(shù)單調(diào)性，證明過程利用信息技術(shù)由師生共同完成，有示范性作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)形成良好的鋪墊?？偨Y(jié)證明步驟，形成可操作模式，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、抽象概括等核心素養(yǎng)。

練習(xí)：判斷并證明f（x）=0.001.x+1的單調(diào)性。

【活動(dòng)】獨(dú)立解答，分享展示，生生互評(píng)。

【設(shè)計(jì)意圖】回顧前面提出的知識(shí)矛盾沖突問題，既做到首尾呼應(yīng)，又完成了解決問題的目的，完善了提出——分析——解決問題的過程，給學(xué)生深刻的體會(huì)。并利用信息技術(shù)監(jiān)測(cè)學(xué)生答題規(guī)范情況，適時(shí)提醒與點(diǎn)撥。

7.歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

假如把我們這節(jié)課當(dāng)成一次旅游，哪些景點(diǎn)給你印象最深？從知識(shí)——方法——思想——感悟幾個(gè)角度分別說說。

【活動(dòng)】學(xué)生先歸納思考，再交流分享學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲和感受。

【設(shè)計(jì)意圖】小結(jié)反思，利于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

8.作業(yè)

（1）必做

①課本題（略）;

②若對(duì)任意x，x（x{#x），都有【f（x）-f（x）】/（x-x，）》0，問y=f（x）單調(diào)性如何？

（2）選做

研究y=x+1/x（x》0）的單調(diào)性，并畫出函數(shù)的草圖。

【活動(dòng)】課后繼續(xù)完成探究。

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)分層設(shè)置，彈性要求，必做作業(yè)讓所有學(xué)生鞏固所學(xué)基本知識(shí)與技能，選做作業(yè)則是讓基礎(chǔ)厚的拔尖學(xué)生得到充分的思維鍛煉，培養(yǎng)他們不畏艱難、勇于挑戰(zhàn)的意志品質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

【1】王可亮.課堂問題的設(shè)計(jì)與解決應(yīng)凸顯知識(shí)本質(zhì)【J】.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（10）.

【2】涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建【M】.北京：科學(xué)出版社，2018.

（作者單位：廣西桂林市第十八中學(xué)）