鄧紫琳

[摘? 要] 當(dāng)前數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用主要體現(xiàn)在解題上，因此解題能力的培養(yǎng)就成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重. 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想，面向初中學(xué)生，以基本圖形為研究對象，并將其作為提升學(xué)生解題能力的載體，符合初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，能收到較好的效果.

[關(guān)鍵詞] 初中學(xué)生;數(shù)學(xué)解題能力;基本圖形;感悟

在諸多學(xué)科中，數(shù)學(xué)學(xué)科可能是對思維要求最高的了. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維能力主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)知識的建構(gòu);二是數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用. 當(dāng)前數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用主要體現(xiàn)在解題上，因此解題能力的培養(yǎng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.

作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，可以說數(shù)學(xué)教師的主要精力就在解題上. 梳理與初中生數(shù)學(xué)解題相關(guān)的文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，提升初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的策略極多，進(jìn)一步比較則發(fā)現(xiàn)，更多的策略研究往往集中在題型分類上，而沒有去尋找更加根本的東西. 在筆者看來，基本圖形就是“根本”之一.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想，面向初中學(xué)生，以基本圖形為研究對象，并將其作為提升學(xué)生解題能力的載體，符合初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，能收到較好的效果. 下面就這一話題談?wù)劰P者探究的收獲.

基本圖形對提升初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的作用

之所以選擇基本圖形作為提升初中學(xué)生解題能力的載體，是因?yàn)楣P者看到了基本圖形發(fā)揮的作用. 基本圖形屬于幾何范疇，數(shù)學(xué)教師都知道，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的思維能力的一門科學(xué)，數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科，它是數(shù)學(xué)中最基本的研究內(nèi)容之一. 在幾何學(xué)科中，學(xué)生會(huì)遇到數(shù)不清的圖形，這些圖形不可能完全進(jìn)入學(xué)生的長時(shí)記憶，這是因?yàn)槿说挠洃浫萘坑邢?，而教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及解題經(jīng)驗(yàn)也表明，其實(shí)很多復(fù)雜圖形都是從基本圖形演繹而來的，因此研究基本圖形可以對學(xué)生的解題能力培養(yǎng)起到固本培元的作用.

上面提到的初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，這里想詳細(xì)闡述一下. 眾所周知，初中學(xué)生以形象思維為主，而形象思維的對象就是表象，那表象從哪里來呢？從認(rèn)知心理學(xué)的角度看，這取決于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的思維加工對象. 如果在學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生重點(diǎn)加工基本圖形，那么這些基本圖形就可以在學(xué)生的大腦中形成比較清晰的表象，從而為解決更加復(fù)雜的圖形做準(zhǔn)備.

舉一個(gè)例子，在相似三角形的教學(xué)中，有這樣一個(gè)圖形（如圖1），在這個(gè)圖形當(dāng)中，有∠C=∠ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)能得到AB2=AD·AC. 這個(gè)關(guān)系式在很多問題的解決中都會(huì)用到，相應(yīng)地，有些題目的圖形也是根據(jù)這個(gè)圖形轉(zhuǎn)變而來的，因此以此圖為基本圖形，并以之為“母圖”，將其他演繹出來的圖形稱為“子圖”. 如果“母圖”越基本，“子圖”越豐富，那實(shí)際教學(xué)中學(xué)生就能更好地基于“母圖”，借用其中的等量關(guān)系，解決與之相關(guān)的其他問題.

還有一點(diǎn)值得注意，那就是，基本圖形的獲得，不一定全部是教師的工作，讓學(xué)生在解題的過程中進(jìn)行總結(jié)與提煉，讓他們尋找基本圖形，本身就是一個(gè)分析與綜合的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生的解題品質(zhì).

利用基本圖形提升初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力案例

在實(shí)際教學(xué)中，利用基本圖形來提升初中學(xué)生的解題能力，這樣的實(shí)踐案例教師積累得越豐富越好，而且在此過程中要講究策略. 有研究指出，這樣的一些策略可能是有效的：滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng);提煉基本圖形，提高學(xué)生思維水平;利用一題多解，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展;利用變式訓(xùn)練，將知識融會(huì)貫通;利用開放性試題，發(fā)散學(xué)生思維;解題后進(jìn)行反思，綜合提升能力. 筆者在實(shí)踐中也發(fā)現(xiàn)，利用一定的策略去研究基本圖形，可以讓學(xué)生的解題能力提升變得事半功倍.

例如，圖2是四邊形中的一個(gè)基本圖形，其中的基本關(guān)系是AP·BP=AD·BC. 對這個(gè)基本圖形進(jìn)行概括，可以用一句話——一線三垂直，這個(gè)特征必須讓學(xué)生記住，因?yàn)檫@是基本圖形的“基本”所在. 在這個(gè)基本圖形的基礎(chǔ)之上，教師可以通過變式向?qū)W生提供其他習(xí)題，如：將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在AB的中點(diǎn)處，記作C′，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′，C′D′與AD交于點(diǎn)M，如圖3. 試用AB和BC表示AM的長.

通常情況下，學(xué)生遇到折疊類試題時(shí)，會(huì)感覺十分頭疼，這是因?yàn)閷W(xué)生的想象能力不足以支撐這么復(fù)雜的變換. 當(dāng)學(xué)生感覺頭疼的時(shí)候，實(shí)際上就是學(xué)生思維加工出現(xiàn)困難的時(shí)候，此時(shí)如果引導(dǎo)學(xué)生分析，就可以找到這個(gè)復(fù)雜的圖形中其實(shí)存在著“一線三垂直”特征——可以讓學(xué)生自己尋找. 事實(shí)表明，當(dāng)學(xué)生有了這一發(fā)現(xiàn)之后，他們就找到了解題思路，也就是會(huì)找到圖中相似的兩個(gè)三角形——△AC′M和△BFC′，其后的求解過程就比較順利了.

此時(shí)讓學(xué)生去總結(jié)，他們就會(huì)更加清晰地認(rèn)識到前面那個(gè)基本圖形的作用，同時(shí)會(huì)在學(xué)生的大腦中強(qiáng)化一個(gè)認(rèn)識，即解圖形類試題時(shí)，自己大腦中一定要儲存一定量的基本圖形，因?yàn)檫@些基本圖形是解決更復(fù)雜問題的工具. 一旦學(xué)生有了這個(gè)認(rèn)識，并且能落到實(shí)處，那學(xué)生的解題能力自然能得到提升.

基本圖形的構(gòu)建本質(zhì)上是擴(kuò)充學(xué)生的知識組塊

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，之所以高度重視基本圖形的作用，其中一個(gè)很重要的原因是，這一策略符合初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn). 關(guān)于這一點(diǎn)，前面已經(jīng)有所強(qiáng)調(diào)，這里想進(jìn)一步表明的是，在幾何教學(xué)中，將同種類型的問題進(jìn)行合理歸納、梳理，進(jìn)而形成一個(gè)基本圖形，對提高課堂效率和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力有很重要的作用. 這種作用發(fā)揮的機(jī)制在于，學(xué)生大腦中的基本圖形越豐富，他們在解題的時(shí)候能夠運(yùn)用的工具就越多，而且能更加得心應(yīng)手. 但記憶規(guī)律表明，人的記憶容量是有限的，學(xué)生不可能將大量的圖形儲存在大腦當(dāng)中，而要有效地面對復(fù)雜的圖形以及題目，學(xué)生唯一有效的選擇就是基本圖形.

很顯然，如果這些基本圖形儲存不夠，那學(xué)生在解決復(fù)雜問題的時(shí)候，就一定會(huì)捉襟見肘，這自然不利于解題能力的提升. 當(dāng)研究并儲存了基本圖形之后，尤其是基本圖形之間能夠發(fā)生有益的聯(lián)系時(shí)，學(xué)生的知識組塊就會(huì)變得更大，而知識組塊越大，這些基本圖形在學(xué)生解題能力提升的過程中所能發(fā)揮的作用自然就越大.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要高度重視基本圖形的作用，要幫助學(xué)生積累基本圖形，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本圖形，只要做到這些，學(xué)生解題能力的提升便水到渠成.