黃敏

[摘? 要] 提出核心素養(yǎng)之后，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)成為指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的新的指導(dǎo)方針. 而數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素之一. 在認(rèn)知視角下形成的對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，可以使教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)更深刻.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;認(rèn)知視角

數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的受重視程度常因外界環(huán)境的變化而變化. 二十世紀(jì)八九十年代，包括數(shù)學(xué)學(xué)科在內(nèi)的學(xué)科建模一度非常流行;課程改革之后，教師的興趣更多地集中在教學(xué)方式的變化之上，數(shù)學(xué)建模一定程度上被邊緣化. 近幾年，隨著核心素養(yǎng)概念的提出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)成為指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的新的指導(dǎo)方針，而數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素之一. 在這樣的背景之下，數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行了重新認(rèn)識(shí)與實(shí)踐，顯然這是一個(gè)好的現(xiàn)象.

在這一背景之下，思考初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模，有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義. 這不僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，還因?yàn)閿?shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著承上啟下的作用. 學(xué)生不僅可以通過數(shù)學(xué)建模更好地歸納自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以通過數(shù)學(xué)建模為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育奠定基礎(chǔ). 需要特別注意的是，數(shù)學(xué)建模不只是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型建立的過程，對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)要避免就事論事，有效的數(shù)學(xué)建模過程應(yīng)該是科學(xué)認(rèn)知下的產(chǎn)物，而這個(gè)科學(xué)認(rèn)知應(yīng)當(dāng)是學(xué)習(xí)心理視角下的認(rèn)知. 因此，本文從認(rèn)知視角談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)建模的理解與實(shí)踐.

認(rèn)知視角下認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模的必要性

在認(rèn)知視角下認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模是非常必要的，因?yàn)楫?dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的習(xí)慣容易讓人誤認(rèn)為數(shù)學(xué)建模就是引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型. 但事實(shí)并非如此簡(jiǎn)單. 在教育發(fā)達(dá)的國(guó)家，數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)研究重點(diǎn)，也是一個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn). 比較研究發(fā)現(xiàn)，鑒于數(shù)學(xué)建模具有強(qiáng)大的教育功能，美、英等國(guó)近二十年來已將數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)的重要課程. 回到我國(guó)初中教學(xué)的實(shí)際，引導(dǎo)教師超越數(shù)學(xué)建模概念的本身，然后從認(rèn)知的視角來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模，可以形成如下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

一，對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)，要認(rèn)識(shí)其內(nèi)涵與外延. 從最狹義的角度來看，數(shù)學(xué)建模就是建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型;從廣義的角度來看，這個(gè)數(shù)學(xué)模型不只是嚴(yán)格意義上的模型，包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)解題方法在內(nèi)的內(nèi)容，都可以視作數(shù)學(xué)模型，而生成這些數(shù)學(xué)模型的過程，可以理解為數(shù)學(xué)建模的過程. 這樣的數(shù)學(xué)建模外延理解，涵蓋了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知的大半過程，因而具有一定的代表性.

二，數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)認(rèn)知過程. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的6個(gè)要素當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模被認(rèn)為是綜合性最強(qiáng)的一個(gè). 一個(gè)數(shù)學(xué)模型的得出，往往是學(xué)生認(rèn)知心理中注意、動(dòng)機(jī)、思維，以及抽象、概括的結(jié)果. 只有經(jīng)歷了這些過程，并且最終用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述結(jié)果，數(shù)學(xué)模型才算真正建立了起來，這樣一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知心理活動(dòng)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)建模過程的全部.

三，從認(rèn)知視角理解數(shù)學(xué)建模，可以更好地促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程遵循了認(rèn)知規(guī)律. 從廣義的角度建立的數(shù)學(xué)建模理解，與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程大多重合，因此以數(shù)學(xué)建模為抓手，可以讓數(shù)學(xué)教師更好地認(rèn)識(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理規(guī)律，從而促進(jìn)有效教學(xué)的發(fā)生，進(jìn)而讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以更好地落地.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軆?yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程

基于上述認(rèn)識(shí)，到了具體的教學(xué)過程，仍然有一個(gè)需要注意的點(diǎn)，那就是將數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知理解轉(zhuǎn)化為具體的教學(xué)實(shí)踐的策略. 筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以更好地優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程. 所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是指學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，在內(nèi)在思維活動(dòng)的參與下，通過手腦并用，借助觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得體驗(yàn)“關(guān)鍵性事件”的經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的素養(yǎng)型活動(dòng). 這里提到的“關(guān)鍵性事件”，從認(rèn)知的角度看，可以理解為數(shù)學(xué)建模過程中的核心事件，如抽象與概括等，考慮到初中生的認(rèn)知特點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以為學(xué)生的抽象與概括提供形象的思維載體，因而有著不可替代的作用.

例如，對(duì)于“實(shí)數(shù)”概念的建立，從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來看，實(shí)數(shù)概念是原來學(xué)生所理解的有理數(shù)概念的拓展;從數(shù)學(xué)建模的角度來看，實(shí)數(shù)其實(shí)是在有理數(shù)這一模型的基礎(chǔ)上建構(gòu)起來的新的模型. 建立這一模型時(shí)，不妨借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思路來進(jìn)行，具體的設(shè)計(jì)可以包括如下幾個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)有理數(shù)的概念，讓學(xué)生舉出有理數(shù)的例子;同時(shí)，教師講授數(shù)學(xué)發(fā)展史上“萬物皆數(shù)”的故事，讓學(xué)生對(duì)數(shù)有一個(gè)更加清晰的了解.

環(huán)節(jié)二：進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 這里的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是由動(dòng)手畫圖和提出問題兩個(gè)環(huán)節(jié)組成的. 動(dòng)手畫圖環(huán)節(jié)主要畫的是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，然后畫出其對(duì)角線;提出的問題是“對(duì)角線的長(zhǎng)度是多少”. 這里主要是向?qū)W生介紹古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)觀點(diǎn)，即“宇宙的一切事物都可以用整數(shù)或者整數(shù)之比來表示”，而正是畢達(dá)哥拉斯自己發(fā)現(xiàn)的勾股定理（可以在此先簡(jiǎn)單介紹）打破了自己的判斷. 西帕索斯，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生，他發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不可以用整數(shù)之比來表示……學(xué)生在畫出圖形之后，原本就在思考，聽到教師介紹的這段數(shù)學(xué)史之后，對(duì)產(chǎn)生了更濃厚的興趣. 這就是學(xué)生理解無理數(shù)的核心環(huán)節(jié)，是“關(guān)鍵性事件”.

環(huán)節(jié)三：引導(dǎo)學(xué)生分析與概括. 在上述兩個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)之上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)除了有理數(shù)而外，還有一類無限不循環(huán)小數(shù)，而這就是無理數(shù)……到了這一環(huán)節(jié)，實(shí)數(shù)的概念也就建立起來了.

數(shù)學(xué)建模服務(wù)于初中生的數(shù)學(xué)認(rèn)知

在上面這個(gè)案例當(dāng)中，實(shí)數(shù)概念的建立不是教師簡(jiǎn)單地說“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)”，而是讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)動(dòng)手動(dòng)腦的過程（動(dòng)手的過程雖然簡(jiǎn)單卻不可忽略，因?yàn)檫@是強(qiáng)化學(xué)生思維對(duì)象的一個(gè)環(huán)節(jié)）. 從認(rèn)知的角度來看，學(xué)生也經(jīng)歷了一個(gè)抽象之后的分析與概括過程，學(xué)生大腦當(dāng)中關(guān)于實(shí)數(shù)的理解，材料是豐富的，邏輯是清晰的，因此這樣的認(rèn)知過程自然是合理的.

反過來，從促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的角度來看，數(shù)學(xué)建模的過程可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在初中數(shù)學(xué)中，哪怕是一個(gè)最簡(jiǎn)單的概念，也是思維高度參與的結(jié)果. 而從其后的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用中，學(xué)生也可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)建模的過程中，功夫下得越扎實(shí)，用起來也就越順手.

數(shù)學(xué)認(rèn)知就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的認(rèn)知特點(diǎn)，數(shù)學(xué)認(rèn)知可以成為數(shù)學(xué)建模及其教學(xué)研究的一個(gè)重要視角. 之所以強(qiáng)調(diào)站在學(xué)生認(rèn)知的角度去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模，是因?yàn)閿?shù)學(xué)模型的建立可以認(rèn)為是認(rèn)知作用的結(jié)果，研究學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的認(rèn)知規(guī)律，并且利用這些規(guī)律，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程變得更加順利. 如果在模型建立的過程當(dāng)中激活學(xué)生的認(rèn)知，就可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力. 在能力培養(yǎng)的過程當(dāng)中，又可以通過進(jìn)一步的分析與概括，將這些能力上升為素養(yǎng). 而數(shù)學(xué)認(rèn)知將在這個(gè)過程當(dāng)中發(fā)揮不可替代的作用.

總的來說，初中數(shù)學(xué)建模的目的是為初中數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，因此數(shù)學(xué)建模必須與平常的教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，并把建模落實(shí)到培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作探究的意識(shí)過程當(dāng)中，讓數(shù)學(xué)建模真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的方法，并在數(shù)學(xué)建模中提升科學(xué)素養(yǎng). 筆者的實(shí)踐表明，在認(rèn)知視角下形成的對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，可以促進(jìn)教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有更深刻的認(rèn)識(shí)，從而在教學(xué)中能夠做到得心應(yīng)手. 同時(shí)，這樣的教學(xué)探索也可以為當(dāng)下熱門的核心素養(yǎng)培育提供非常有價(jià)值的參考.