陳建會(huì)

(河北省滄州市海興縣中學(xué) 061200)

一、結(jié)合奇偶性確定函數(shù)類型

分析結(jié)合冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù)，且在(0，+∞)上遞減，利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)確定參數(shù)α所滿足的條件，進(jìn)而結(jié)合題目中參數(shù)給出的已知值，求出相應(yīng)α的值，得以正確確定冪函數(shù)的類型.

點(diǎn)評(píng)結(jié)合函數(shù)的奇偶性來(lái)確定函數(shù)的基本類型問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象與性質(zhì)，特別要注意的是對(duì)應(yīng)的參數(shù)值與相應(yīng)的性質(zhì)之間的關(guān)系.

二、結(jié)合奇偶性確定參數(shù)值

例2(2019·全國(guó)Ⅱ卷理·14)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-eax.若f(ln2)=8，則a=____.

分析結(jié)合函數(shù)的奇偶性確定f(-ln2)的值，并借助對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式建立相應(yīng)的關(guān)系式，通過(guò)求解方程來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值.

解析由于f(x)是奇函數(shù)，則知f(-ln2)=-f(ln2)=-8.又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-eax，則有f(-ln2)=-e-aln2=-8，即-aln2=ln8，得a=-3，故填答案：-3.

點(diǎn)評(píng)結(jié)合函數(shù)的奇偶性來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題條件，利用函數(shù)的奇偶性建立起相應(yīng)的方程或?qū)?yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而通過(guò)求解相應(yīng)的方程或?qū)?yīng)的關(guān)系式來(lái)達(dá)到確定參數(shù)值的目的.

三、結(jié)合奇偶性確定解析式

例3(2019·全國(guó)Ⅱ文·6)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=ex-1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=( ).

A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1

分析結(jié)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義得到f(-x)=-f(x)，通過(guò)已知解析式的轉(zhuǎn)化加以確定當(dāng)x<0時(shí)f(x)的解析式問(wèn)題，進(jìn)而得以正確判斷.

解析由于f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，可得f(-x)=e-x-1=-f(x)，即f(x)=-e-x+1，故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義以及不同條件下函數(shù)的解析式問(wèn)題來(lái)確定相應(yīng)的解析式問(wèn)題，關(guān)鍵是正確掌握函數(shù)的奇偶性及其關(guān)系.解決此類問(wèn)題特別要注意解析式中的符號(hào)，不要產(chǎn)生混淆.

四、結(jié)合奇偶性確定函數(shù)圖象

分析結(jié)合函數(shù)的解析式以及函數(shù)奇偶性的定義判斷已知函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，進(jìn)而利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)排除相關(guān)的選項(xiàng)；再結(jié)合f(4)、f(6)的特殊取值情況繼續(xù)排除相關(guān)的選項(xiàng)，從而得以正確判斷.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)結(jié)合函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷函數(shù)圖象問(wèn)題，往往通過(guò)函數(shù)的解析式并結(jié)合奇偶性的定義先確定其奇偶性，從而確定函數(shù)圖象的對(duì)稱性，再結(jié)合函數(shù)的其他基本性質(zhì)、特殊點(diǎn)處的取值情況等來(lái)分析與判斷.

五、結(jié)合奇偶性與單調(diào)性交匯

例5(2019·全國(guó)Ⅲ卷理·11；文·12)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞減，則( ).

分析結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性加以轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是通過(guò)奇偶性把對(duì)應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到判斷代數(shù)式的大小關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性交匯來(lái)處理函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，經(jīng)常借助指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)的指數(shù)冪運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算等相關(guān)內(nèi)容，融合“函數(shù)”與“圖象”加以數(shù)形結(jié)合，是高考中比較熱點(diǎn)的一類常見(jiàn)題型.

六、結(jié)合奇偶性與周期性交匯

例6(2018·全國(guó)Ⅱ文·12；理·11)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

分析結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性與已知函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)變形與轉(zhuǎn)化來(lái)確定函數(shù)的周期性，再綜合利用奇偶性與周期性的交匯知識(shí)，先確定一個(gè)周期內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值，再結(jié)合周期性特征來(lái)解決相應(yīng)的函數(shù)值的求解問(wèn)題.

解析由于f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，可得f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，則知函數(shù)f(x)的周期為T=4.由f(x+1)=-f(x-1)，及f(1)=2，可得f(3)=-f(1)=-2.又f(2)=f(-2)=-f(2)，則有f(2)=0，可得f(4)=-f(2)=0.那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2，故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性交匯知識(shí)來(lái)綜合考查函數(shù)的求值問(wèn)題，破解問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙綜合利用奇偶性及周期性進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化與變換，進(jìn)而將所求解的函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)來(lái)分析與求解.

歷年高考都對(duì)函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)考查，往往都離不開(kāi)函數(shù)的奇偶性，此類考題經(jīng)常冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等為背景，綜合基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及相關(guān)的運(yùn)算，有時(shí)單獨(dú)考查奇數(shù)性問(wèn)題，有時(shí)綜合考查奇偶性與其他相關(guān)性質(zhì)的交匯問(wèn)題，這一類試題出現(xiàn)在小題(選擇題或填空題)中，難度屬于較易型或中等型.