余弦級(jí)數(shù)的斂散性

杜先云 任秋道

(1.四川省成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 610225;2.四川省綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 621000)

一、引入

目前《高等數(shù)學(xué)》與《數(shù)學(xué)分析》教材中，對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的內(nèi)容涉及少，而大量級(jí)數(shù)的斂散需要確定.我們通過數(shù)列收斂方法來判定級(jí)數(shù)收斂.從新的角度去認(rèn)識(shí)收斂數(shù)列的漸進(jìn)性：當(dāng)n無限增大時(shí)，可以認(rèn)為收斂數(shù)列{yn}相鄰兩項(xiàng)的差所構(gòu)成的數(shù)列{yn-yn-1}(n>2)，無限接近一個(gè)公差為0的等差數(shù)列，從而給出了利用yn-yn-1趨于0來判斷數(shù)列收斂的方法.這說明了收斂數(shù)列各項(xiàng)變化的微小性.本文給出了任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)判定定理，討論了一些余弦級(jí)數(shù)的斂散性.

二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定

引理設(shè){yn}為一個(gè)有界數(shù)列.?ε>0，?N∈Z+，當(dāng)n>N時(shí)，不等式|yn-yn-1|<ε恒成立，則數(shù)列{yn}收斂.

一個(gè)收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成級(jí)數(shù)仍然收斂，其逆命題不成立.但是有下面的定理：

(a1+a2+…+an1)+(an1+1+an1+2+…+an2)+…+(ank+1+ank+2+…+ank+1)+…,

|Sn|=|bn1+bn2+…+bnk0+(ank0+1+ank0+2+…+an)|

從而該級(jí)數(shù)有界.利用引理的推論可得結(jié)論.證畢.

這個(gè)定理推廣了交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲定理，可以說給出了判定級(jí)數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)便方法.

證明當(dāng)k=1時(shí)，容易知道結(jié)論成立.設(shè)Z[0]={2i|i∈Z},Z[1]={2i+1|i∈Z}.當(dāng)k=2s,s≥1時(shí)，根據(jù)二項(xiàng)式定理可得

(n+1)2s-n2s-1∈Z[0]，[nk+(n+1)k]∈Z[1].

同理可得[nk-(n+1)k]∈Z[1].當(dāng)k=2s+1,s≥1時(shí)，有同樣的結(jié)論.因此，