梁舒尹

[摘 要]二次函數(shù)的性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.采用“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式，研究二次函數(shù)的性質(zhì)，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)螺旋式上升，能發(fā)展學(xué)生抽象的邏輯思維.

[關(guān)鍵詞]問題導(dǎo)學(xué);數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù);性質(zhì)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0014-02

一、深挖教材，精準(zhǔn)解讀

教材是眾多專家集體智慧的結(jié)晶，經(jīng)過長期的使用、修改而不斷完善，日臻成熟.二次函數(shù)的性質(zhì)，在內(nèi)容上涉及的知識點(diǎn)初中大多已經(jīng)接觸并且學(xué)習(xí)過.因此，在備課時，怎樣處理教材成為一個關(guān)鍵點(diǎn).筆者認(rèn)真研讀教材，比照初中數(shù)學(xué)教材，切實(shí)把握高中數(shù)學(xué)教材對本節(jié)課內(nèi)容的內(nèi)涵及外延.在初中研究二次函數(shù)性質(zhì)，都是從具體二次函數(shù)的圖像中直接歸納得到的.比如，開口方向、對稱軸表達(dá)式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)增減性等.這樣的教學(xué)方式符合初中學(xué)生的認(rèn)知水平，讓二次函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)更為直觀、具體，學(xué)生能夠?qū)Χ魏瘮?shù)性質(zhì)有個很好的初步認(rèn)識.但是從數(shù)學(xué)學(xué)科角度而言，以這樣的方式得到的二次函數(shù)性質(zhì)顯然缺少嚴(yán)謹(jǐn)性.高中對二次函數(shù)性質(zhì)的再學(xué)習(xí)，重點(diǎn)就是要能夠?qū)ζ渲饕再|(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格的代數(shù)證明，教材在編寫時對二次函數(shù)的單調(diào)性給出了嚴(yán)格的代數(shù)證明，也說明了這一點(diǎn).高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重在發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維，進(jìn)一步提高學(xué)生的認(rèn)知水平.深挖教材，對教學(xué)內(nèi)容有一定的感悟，才能使教材在教學(xué)實(shí)際中真正做到“物盡其用”，實(shí)現(xiàn)高效課堂.

《二次函數(shù)的性質(zhì)》是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，掌握了函數(shù)單調(diào)性證明的基礎(chǔ)上展開的，是對函數(shù)及其性質(zhì)學(xué)習(xí)的深化和提高，起到承上啟下的作用.教材在第一課時已對二次函數(shù)的圖像進(jìn)行研究，本課通過配方法將一般二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，結(jié)合二次函數(shù)的圖像對其性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)的歸納，再對其單調(diào)性給出嚴(yán)格的代數(shù)證明，從“形”到“數(shù)”，又從“數(shù)”到“形”，是滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材.二次函數(shù)是一種非?；镜某醯群瘮?shù)，對其性質(zhì)的研究也為后續(xù)研究其他函數(shù)性質(zhì)提供模式.從知識應(yīng)用價值上看，二次函數(shù)是解決許多實(shí)際問題的常用數(shù)學(xué)模型，還是建立函數(shù)、方程和不等式之間的有機(jī)聯(lián)系的基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問題的常用工具.

二、以“問”導(dǎo)“學(xué)”，落實(shí)目標(biāo)

【新課引入】

問題1：為什么要研究二次函數(shù)的性質(zhì)？

設(shè)計意圖：通過“置疑”，啟發(fā)學(xué)生對研究二次函數(shù)性質(zhì)原因的思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.二次函數(shù)性質(zhì)是由函數(shù)解析式得到圖像，對函數(shù)圖像特征進(jìn)行概括出來的一些規(guī)律性的東西.知道這些性質(zhì)后，我們可以快速通過二次函數(shù)表達(dá)式得到直觀的函數(shù)圖像，進(jìn)而進(jìn)行更多的研究，函數(shù)性質(zhì)可以幫助我們認(rèn)識從“數(shù)”到“形”的規(guī)律.

【概念形成】

問題2：請用配方法將下列二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，它們的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？

（1）[y=2x2-4x+3].

（2） [y=-x2+4x-5].

（3）[y=12x2+x+12].

問題3：畫出函數(shù)圖像，觀察它們的單調(diào)區(qū)間.最值分別是什么.

設(shè)計意圖：聯(lián)系前面所學(xué)二次函數(shù)性質(zhì)相關(guān)的知識，引導(dǎo)學(xué)生對具體的二次函數(shù)圖像進(jìn)行觀察，得到具體二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，為后面將性質(zhì)推廣到一般二次函數(shù)的教學(xué)做好鋪墊.

問題4：為什么要將一般式化為頂點(diǎn)式？

設(shè)計意圖：通過頂點(diǎn)式可以直觀地得到二次函數(shù)的性質(zhì)，知道其圖像特征，畫出函數(shù)圖像，進(jìn)行再研究，這是一個從“數(shù)”到“形”的過程.

問題5：如何研究函數(shù)[y=ax2+bx+c]的性質(zhì)呢？

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，它是二次函數(shù)嗎？讓學(xué)生注意到當(dāng)[a≠0]，[y=ax2+bx+c]才是二次函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生先將一般式化為頂點(diǎn)式[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]，從頂點(diǎn)式知道開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像特征，歸納單調(diào)區(qū)間、最值.

設(shè)計意圖：從特殊到一般，從“形”到“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)圖像的特征，從而用數(shù)學(xué)語言抽象概括出函數(shù)的性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想.根據(jù)[a]的正負(fù)，開口方向、單調(diào)區(qū)間、最值都不同，滲透分類討論的思想.

【概念深化】

問題6：從頂點(diǎn)式[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]中，[a，-b2a]，[4ac-b24a]你可以知道二次函數(shù)的哪些性質(zhì)？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式，直接得到其主要性質(zhì)，并思考二次函數(shù)各主要性質(zhì)之間的聯(lián)系.

問題7：為什么當(dāng)[a>0]時，二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]在[-∞，-b2a]單調(diào)遞減，如何證明？

聯(lián)系前面所學(xué)知識，用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.取值、作差變形、定號、判斷.作差變形為[f（x2）-f（x1）=（x2-x1）a（x2+x1）+b].判斷其與0的大小是個難點(diǎn).將問題等價于判斷式子[a（x2+x1）+b]的正負(fù).分析已知[a>0]，[x1， x2∈-∞，-b2a]后，讓學(xué)生給出解決辦法.根據(jù)學(xué)生的想法，加以引導(dǎo)，解決問題.

問題8：對稱軸為什么是直線[x=-b2a]？如何證明？

對稱軸為直線[x=-b2a]，說明圖像是軸對稱圖形，關(guān)于直線[x=-b2a]對稱.軸對稱圖形，將二次函數(shù)圖像關(guān)于直線[x=-b2a]對折能夠完全重合.引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度對這種現(xiàn)象進(jìn)行描述.在對稱軸兩邊任取兩個點(diǎn)，這兩個點(diǎn)到對稱軸距離相等，那么它們的函數(shù)值相等.用數(shù)學(xué)式子表述：設(shè)對稱軸為[t]，[?x∈R]，有[f（t+x）=f（t-x）]恒成立，代入二次函數(shù)表達(dá)式[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]，得

[a（t+x）2+b（x+t）+c=a（t-x）2+b（t-x）+c?2x（2at+b）=0]恒成立，即[t=-b2a].

設(shè)計意圖：通過“激疑”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“合理的”“直觀的”的單調(diào)性，對稱軸用代數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格的證明，這又是一個從“數(shù)”到“形”的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象邏輯思維.

問題9：[y=ax+b2a2+4ac-b24a（a≠0）]與[y=ax2+bx+c（a≠0）]比較有什么優(yōu)點(diǎn)？

設(shè)計意圖：學(xué)生討論分析，體會二次函數(shù)頂點(diǎn)式在研究二次函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)圖像上的直觀性.

問題10：在研究二次函數(shù)性質(zhì)的過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？

從特殊到一般：通過對具體二次函數(shù)性質(zhì)的研究推廣到對一般二次函數(shù)性質(zhì)的研究，得到二次函數(shù)的主要性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、單調(diào)區(qū)間、最值.

數(shù)形結(jié)合：在研究二次函數(shù)的單調(diào)性過程，對函數(shù)圖像特征進(jìn)行觀察，再歸納概括函數(shù)性質(zhì)，還對單調(diào)性、對稱軸加以嚴(yán)格證明，這就是“形”與“數(shù)”結(jié)合的過程.這種方法經(jīng)常用來研究函數(shù)，對今后的學(xué)習(xí)非常重要.

分類討論：表達(dá)式[y=ax2+bx+c]，當(dāng)[a=0]為一次函數(shù)，當(dāng)[a≠0]為二次函數(shù)，研究二次函數(shù)性質(zhì)時需要分開討論[a>0]，[a<0]兩種.

三、課堂育人，立德樹人

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個非常重要思想方法.二次函數(shù)的性質(zhì)是滲透數(shù)形結(jié)合思想非常重要的素材.在研究二次函數(shù)性質(zhì)過程中，基于學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)習(xí)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)這三個主要函數(shù)性質(zhì)學(xué)情，引導(dǎo)畫出函數(shù)草圖，觀察、歸納單調(diào)性與最值，這是從“數(shù)”到“形”，又從“形”到“數(shù)”的過程.在“概念深化”環(huán)節(jié)中，運(yùn)用嚴(yán)格的代數(shù)語言對單調(diào)性、對稱軸表達(dá)式進(jìn)行證明，也是一個從“數(shù)”到“形”的過程.對二次函數(shù)性質(zhì)的再研究，突出函數(shù)“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系.數(shù)形結(jié)合思想貫穿整節(jié)課教學(xué).

教學(xué)設(shè)計采用問題導(dǎo)學(xué)法.在“新課引入”環(huán)節(jié)中，以問題“為什么要研究二次函數(shù)的性質(zhì)？”引發(fā)學(xué)生討論，激發(fā)學(xué)生求知欲.函數(shù)的性質(zhì)反映了函數(shù)的特征，建立起函數(shù)“數(shù)”與“形”密切的聯(lián)系.在“概念形成”環(huán)節(jié)中，通過問題串引導(dǎo)學(xué)生，從對特殊的二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究推廣到對形如[y=ax2+bx+c（a≠0）]一般二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.將研究的主動權(quán)交給學(xué)生，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，幫助其掌握推理的基本方法.在研究過程中，提出“為什么要將二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式？”的問題，讓學(xué)生體會用頂點(diǎn)式研究二次函數(shù)性質(zhì)的合理性.在“概念深化”環(huán)節(jié)中，以問題“為什么當(dāng)[a>0]，[y=ax2+bx+c（a≠0）]，在[x∈-∞，-b2a]單調(diào)遞減？”“為什么[y=ax2+bx+c（a≠0）]圖像的對稱軸是直線[x=-b2a]？”對二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸表達(dá)式進(jìn)行質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)知識，對從圖像上看覺得“顯然”的東西進(jìn)行嚴(yán)格證明，從而達(dá)到“釋疑”的目的.在教學(xué)過程中，培育學(xué)生的理性精神，引領(lǐng)其追求真理，實(shí)事求是.整個教學(xué)設(shè)計，以“問”導(dǎo)“學(xué)”，用問題引領(lǐng)學(xué)生，從每個問題的提出到每個問題的解決，有條不紊地推進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生不畏困難、勇于探索的堅韌品質(zhì).

（責(zé)任編輯 黃桂堅）