在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生公理化思想

楊國(guó)俊 丘文斯

【摘要】? 我國(guó)現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)及初中數(shù)學(xué)教材對(duì)公理化思想方法的教學(xué)要求相對(duì)較低，初中數(shù)學(xué)教材也鮮有對(duì)公理化方法的直接描述，但處處體現(xiàn)了公理化思想.筆者認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)中重要的思想方法，公理化思想方法不應(yīng)該被淡化處理.本文以人教版初中數(shù)學(xué)“三角形全等的判定”一節(jié)為例，嘗試改進(jìn)“圖形與幾何”部分的教學(xué)，探究如何在教學(xué)過程中更好地培養(yǎng)學(xué)生的公理化思想.

【關(guān)鍵詞】? 公理化思想;初中教學(xué);初中數(shù)學(xué)

一、引言

所謂公理化方法就是從盡可能少的、未定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的命題（基本公理）出發(fā)，利用純邏輯推理的原則，把一門數(shù)學(xué)建立成為演繹系統(tǒng)的一種方法.在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中嚴(yán)格的公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到巨大的推動(dòng)作用.

在我國(guó)現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材中，“圖形與幾何”的內(nèi)容是公理化思想方法最直接的體現(xiàn).考慮到學(xué)生的年齡特點(diǎn)、接受能力等方面的情況，教材對(duì)該部分內(nèi)容做了改編，所呈現(xiàn)的并非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓硐到y(tǒng).筆者認(rèn)為，公理化思想方法作為數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)該有適當(dāng)?shù)奶幚矸绞剑荒苤苯影凑諊?yán)格的公理系統(tǒng)進(jìn)行教學(xué)，但也不應(yīng)該被簡(jiǎn)單地淡化處理.

二、現(xiàn)行初中教材中的幾何公理系統(tǒng)

（一）現(xiàn)階段的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)公理化思想的教學(xué)要求相對(duì)較低

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)有明確的要求：合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論.相較于《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（2001年）的要求有所降低.

（二）根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)修改幾何公理

從嚴(yán)格意義上來說，數(shù)學(xué)的論證必須是滴水不漏或是無可置疑的.從這個(gè)角度來看，數(shù)學(xué)對(duì)論證的要求比思辨性學(xué)科要高.但考慮到中學(xué)生在心理特點(diǎn)、知識(shí)基礎(chǔ)和智力水平上的差異，我國(guó)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材幾乎都對(duì)涉及公理化思想方法的內(nèi)容進(jìn)行了改編，刪繁就簡(jiǎn)，縮短學(xué)程，局部或有限地使用了公理化方法.這樣的改編為提高教學(xué)質(zhì)量創(chuàng)造了良好的條件.

（三）幾何知識(shí)中滲透公理化方法的思想

初中數(shù)學(xué)教材所呈現(xiàn)的雖然不是嚴(yán)格、完整的公理體系，卻處處體現(xiàn)了公理化思想方法.初中教材中的幾何公理體系是對(duì)現(xiàn)實(shí)空間性質(zhì)的直接反映，有著實(shí)際內(nèi)容做支撐，現(xiàn)實(shí)世界的種種具體現(xiàn)象為幾何概念的引入與命題的論證提供了生動(dòng)、直觀的形象.

（四）初中幾何公理化系統(tǒng)的不足之處

教材中，有些概念沒有被定義，或者雖然定義了卻不夠精確;沒有明確提出順序公理和運(yùn)動(dòng)公理，卻常常借助這些概念來論述問題，或者在論證過程中默認(rèn)地使用;沒有明確提出連續(xù)公理，卻“想當(dāng)然”地運(yùn)用了直線和圓周的連續(xù)性質(zhì).

三、教學(xué)實(shí)例——人教版初中數(shù)學(xué)“三角形全等的判定（第一課時(shí)）”

根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況改編初中教材中的公理系統(tǒng)，降低對(duì)公理化思想方法的要求是存在一定合理性的，但這樣的改編會(huì)導(dǎo)致學(xué)生所學(xué)知識(shí)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，也不利于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng).因此，筆者以人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十二章“全等三角形”的“三角形全等的判定（第一課時(shí)）”為例，嘗試改進(jìn)傳統(tǒng)的“圖形與幾何”部分的教學(xué)方法，探究如何在教學(xué)過程中更好地展現(xiàn)公理化思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

（一）“三角形全等的判定（第一課時(shí)）”的教材呈現(xiàn)

1.教材呈現(xiàn)過程

舊知識(shí)引入

根據(jù)三角形全等的定義，得出全等三角形三邊、三角分別相等;思考能否在只滿足上述六個(gè)條件中的部分條件的情況下，判定兩個(gè)三角形全等

探究新知

探究1：用先畫出一個(gè)△ABC，再畫出一個(gè)與其全等的△A′B′C′，嘗試探究需要滿足哪些條件才能保證兩個(gè)三角形全等.

探究2：畫出兩個(gè)三邊分別相等的三角形，再用剪裁對(duì)比的方法判斷兩個(gè)三角形是否全等，得到“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”這一基本事實(shí).

例題鞏固

以一道典型例題將新知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中

拓展應(yīng)用

將新知識(shí)應(yīng)用到全等三角形的作圖中

習(xí)題鞏固

略

2.教材呈現(xiàn)過程存在的問題

（1）人教版初中數(shù)學(xué)教材中明確呈現(xiàn)了“正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫作定理”“一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能做出判斷”，而本小節(jié)在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”這一結(jié)論后，卻沒有用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒右宰C明.

（2）將“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”看作了基本事實(shí)，即為了方便學(xué)生的理解而將公理看作定理，但教材擴(kuò)大了公理的范疇，卻沒有加以說明，一定限度上不利于學(xué)生公理化思想的培養(yǎng).

總的來說，本課時(shí)的這種編排有利于學(xué)生快速接受知識(shí)，但不利于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維的建構(gòu).

（二）改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握“SSS”判定定理，初步應(yīng)用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等.

（2）經(jīng)歷探索三角形全等的判定過程，通過操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力及發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)問題的能力.

（3）會(huì)根據(jù)“SSS”定理用尺規(guī)作出全等的三角形.

2.教學(xué)重難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：“SSS”判定三角形全等的條件，會(huì)用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等.

（2）難點(diǎn)：探索三角形全等條件的過程.

3.教學(xué)方法

講授法，自主探究法、小組討論法.

4.教學(xué)準(zhǔn)備

擴(kuò)展材料1：前置學(xué)習(xí)任務(wù)單（由學(xué)生課前自主完成）.

擴(kuò)展材料2：課外閱讀材料，包含定理“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”的證明過程（略）.

5.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

?6.教學(xué)創(chuàng)新

（1）本節(jié)課有大量需要學(xué)生自主探究的部分，且邏輯上環(huán)環(huán)相扣，因此，教師在教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了一連串問題，用問題引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，啟迪學(xué)生思維，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的過程中獲取知識(shí)，收獲方法，提升推理能力.

（2）引導(dǎo)學(xué)生回憶命題、定理、證明部分的內(nèi)容，構(gòu)建新知與舊知的聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)公理化思想方法的認(rèn)識(shí)，將學(xué)生由直觀的數(shù)學(xué)思維逐步引向抽象化的數(shù)學(xué)思維.

（3）本節(jié)課的內(nèi)容相對(duì)較多，也比較難以理解，筆者嘗試以課外材料的形式拓展本節(jié)課內(nèi)容.一方面，以“前置學(xué)習(xí)任務(wù)單”的方式使學(xué)生提前對(duì)所學(xué)內(nèi)容有所了解，減輕課堂上的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān);另一方面，以“課外閱讀材料”的形式對(duì)書本內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充，讓學(xué)生課后選擇性地閱讀，使教材知識(shí)系統(tǒng)更加完整.

四、結(jié)語

我國(guó)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中所呈現(xiàn)的公理系統(tǒng)是經(jīng)過多方面考量的結(jié)果，有可取之處，也有不足之處.本文以人教版初中數(shù)學(xué)教材中“全等三角形的判定”的內(nèi)容為基礎(chǔ)，嘗試探究更有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方法，希望能對(duì)讀者有所啟發(fā)，也期盼能有更多行之有效的教學(xué)方法幫助我們提升教學(xué)質(zhì)量.

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