杜先云 任秋道

【摘要】函數(shù)的不定積分是與函數(shù)導(dǎo)數(shù)（微分）相反的問題，本文給出了利用導(dǎo)數(shù)（微分）來計(jì)算不定積分的方法，同時(shí)推廣了不定積分的基本公式.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);微分;不定積分

【基金項(xiàng)目】四川省教育廳基金資助（16ZB0314）

一、引 入

許多實(shí)際問題需要解決與求導(dǎo)問題相反的問題，即已知某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求這個(gè)函數(shù)，也就是求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使它的導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù).由此引出了原函數(shù)和不定積分的概念.反的問題比正的問題更加難于理解.例如，學(xué)生理解反函數(shù)就比較困難.不定積分比導(dǎo)數(shù)更難理解，不易入門，為此筆者歸納總結(jié)了如下內(nèi)容.

二、不定積分的概念

定義1 設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù).如果存在區(qū)間I上的一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)F（x），使得對(duì)任意的x∈I均有

F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx，

那么函數(shù)F（x）稱為f（x）（或f（x）dx）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).也就是說，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是已知函數(shù)的原函數(shù).

原函數(shù)的存在問題 如果f（x）在某區(qū)間I上連續(xù)，那么f（x）在該區(qū)間上一定有原函數(shù)，即一定存在區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)F（x），使得任意x∈I，都有

F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx.

原函數(shù)的一般表達(dá)形式 如果f（x）一旦存在原函數(shù)，它的原函數(shù)就不唯一，那么這些原函數(shù)之間有什么差異呢？能否寫成統(tǒng)一的表達(dá)式呢？對(duì)此，有如下結(jié)論：

定理1 若函數(shù)F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則F（x）+C是f（x）的全部原函數(shù)，其中C為任意常數(shù).

證明 若f（x）有一個(gè)原函數(shù)F（x），則有F′（x）=f（x），且對(duì)于任意常數(shù)C，

[F（x）+C]′=F′（x）+C′=f（x） （x∈I），

即函數(shù)F（x）+C也是f（x）的原函數(shù).也就是說，如果f（x）有一個(gè)原函數(shù)F（x），那么就有無窮多個(gè)原函數(shù).

另一方面，設(shè)G（x）是f（x）的另一個(gè)原函數(shù)，即G′（x）=f（x），下面證F（x）與G（x）之間只相差一個(gè)常數(shù).事實(shí)上，由于

[F（x）-G（x）]′=F′（x）-G′（x）=f（x）-f（x）=0 （x∈I），

根據(jù)拉格朗日中值定理的推論：在一個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)為常數(shù)，

所以

F（x）-G（x）=C0（C0為某一個(gè)常數(shù)），

或者G（x）=F（x）+C0.

因此，對(duì)于任意常數(shù)C，表達(dá)式F（x）+C

就可以表示f（x）的任何一個(gè)原函數(shù).

f（x）的全體原函數(shù)所構(gòu)成的集合是一個(gè)函數(shù)族，記為

{F（x）+C|-∞

為了書寫方便，簡(jiǎn)記為F（x）+C.

定義2 如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有原函數(shù)，那么f（x）在I上的全體原函數(shù)所組成的集合稱為f（x）在區(qū)間I上的不定積分.也就是說，函數(shù)f（x）在區(qū)間I上含有任意常數(shù)的原函數(shù)（即F（x）+C）是f（x）在區(qū)間I上的不定積分，記為∫f（x）dx，

其中符號(hào)∫叫作積分符號(hào)，x叫作積分變量，f（x）叫作被積函數(shù)，f（x）dx叫作被積表達(dá)式.

三、利用微分理解不定積分

不定積分是導(dǎo)數(shù)（微分）的逆問題，導(dǎo)數(shù)（微分）運(yùn)算與積分運(yùn)算是互逆運(yùn)算，因此常常借助于導(dǎo)數(shù)（微分）運(yùn)算來計(jì)算不定積分.

定理2 函數(shù)的不定積分與微分（導(dǎo)數(shù)）的關(guān)系：

ddx∫f（x）dx=f（x），d∫f（x）dx=f（x）dx，

∫F′（x）dx=F（x）+C，

∫dF（x）=F（x）+C.

證明 設(shè)F′（x）=f（x），有∫f（x）dx=F（x）+C.

利用導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則可得：

ddx∫f（x）dx=[F（x）+C]′=F′（x）+C′=f（x），

d∫f（x）dx=d[F（x）+C]=dF（x）+dC=f（x）dx，

∫F′（x）dx=∫f（x）dx=F（x）+C，

∫dF（x）=∫F′（x）dx=F（x）+C.

積分與微分的關(guān)系表明：符號(hào)∫表示積分運(yùn)算，d表示微分運(yùn)算.當(dāng)積分運(yùn)算∫與微分運(yùn)算d結(jié)合在一起（它們中間沒有任何函數(shù)）時(shí)，相互抵消，或者抵消后剩余一個(gè)常數(shù).因此，在忽略任意常數(shù)的基礎(chǔ)上，積分與微分互為逆運(yùn)算.與加減乘除四則運(yùn)算類似，要求逆運(yùn)算積分，開始的時(shí)候常常要借助順運(yùn)算微分.不定積分∫f（x）dx是一個(gè)整體記號(hào)，也可以拆開來理解，符號(hào)∫表示積分運(yùn)算，dx可以看作變量x的微分，而f（x）dx則表示一個(gè)函數(shù)的微分.計(jì)算∫f（x）dx就是尋找原函數(shù)的微分，即求出dF（x）.也就是

∫f（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C.

例如，

∫dx=x+C，∫dsin x=sin x+C，∫de2x=e2x+C.

此外，我們也要理解公式： ∫F′（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C.如，

∫kdx=∫（kx）′dx=kx+C，

∫sec2xdx=∫（tan x）′dx=tan x+C，

∫11-x2dx=∫（arcsin x）′dx=arcsin x+C.

例 已知（1）f′（sin2x）=cos2x，（2）∫f（x）dx=ex+cot x+C，分別求f（x）.

解 （1）因?yàn)閒′（sin2x）=cos2x=1-sin2x，

所以f′（x）=1-x，

因而f（x）是1-x的原函數(shù).由定理2，可得

f（x）=∫（1-x）dx=x-x22+C.

（2）根據(jù)定理2，可得

f（x）=ddx∫f（x）dx=（ex+cot x+C）′=ex-csc2x.

四、基本積分公式及推廣

因?yàn)榉e分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，所以由導(dǎo)數(shù)公式可以相應(yīng)地得出基本積分公式.基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，其他函數(shù)的不定積分常常經(jīng)過運(yùn)算變形后最終都?xì)w結(jié)為運(yùn)用基本積分公式求解.直接利用基本積分公式與線性性質(zhì)來求解不定積分的方法常常被稱為直接積分法.

下面推廣基本積分公式.我們知道，基本積分公式有時(shí)不能很好地解決大量初等函數(shù)的原函數(shù)問題，需要加以推廣.有下面定理：

定理3 如果∫f（x）dx=F（x）+C，u=φ（x）是x的任一可導(dǎo)函數(shù)，則

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=[F（u）+C]u=φ（x）.

證明 由∫f（x）dx=F（x）+C，知F′（x）=f（x），

又u=φ（x）是x的可導(dǎo)函數(shù)，則有u′=φ′（x），從而F[φ（x）]可導(dǎo)，并且利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得

ddxF[φ（x）]=dFdu·dudx=F′[φ（x）]φ′（x）=f[φ（x）]φ′（x）.

因此，F(xiàn)[φ（x）]是f[φ（x）]φ′（x）的一個(gè)原函數(shù)，從而∫f[φ（x）]φ′（x）dx=F[φ（x）]+C.

根據(jù)微分的意義，有φ′（x）dx=du，可得

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=[F（u）+C]u=φ（x）.

定理3表明：如果F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，u=φ（x）是任一可導(dǎo)函數(shù)，則有

∫f（u）du=F（u）+C，即∫f[φ（x）]φ′（x）dx=F[φ（x）]+C.

也就是說，在不定積分的等式中，將積分變量換成任一可導(dǎo)函數(shù)等式仍然成立.因此，在基本積分公式中，把自變量x換成任一可微函數(shù)u=φ（x）后，公式仍成立.如，

∫ex2dx2=ex2+C，u=x2;

∫11+xd（1+x）=ln|1+x|+C，u=x+1;

∫11+x2d（1+x2）=ln（1+x2）+C，u=x2+1;

∫1cos xd（cos x）=ln|cos x|+C，u=cos x.

這個(gè)定理極大地豐富了基本積分公式的內(nèi)容，也擴(kuò)大了其使用范圍.

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