基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一類三角形問題的向量解法探究

許美娟 葛文明

摘要 本文以一道三角形問題為引例，利用向量中常用的幾種方法由淺入深地衍生出一系列與之相關(guān)的問題，探求一類與三角形相關(guān)的向量數(shù)量積問題的求解通法，在層層遞進的追問設(shè)計下，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 數(shù)量積 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一、引言

2017年新課標(biāo)首次提出了數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的核心素養(yǎng)，包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。

作為高中數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和解決數(shù)學(xué)問題的核心素養(yǎng)之一，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。它的主要表現(xiàn)是建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

向量是近代數(shù)學(xué)引入的一個新概念，它兼具著代數(shù)和幾何的雙重身份，因此向量必然成為培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的完美載體，既可形思數(shù)，又可數(shù)化形，更可以兩者有機結(jié)合，充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的美，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！敝庇^想象依據(jù)幾何圖形研究平面或空間位置關(guān)系及變化規(guī)律時提供了形象思維，因此向量借助一些基本圖形可以快速準(zhǔn)確地求解相關(guān)問題。

向量數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)全新的一種運算，對學(xué)生的認(rèn)知有很大挑戰(zhàn)，學(xué)生在遇到稍微復(fù)雜點的向量數(shù)量積的時候經(jīng)常束手無策，無法找到解題的突破口。本節(jié)課選取一個案例來講述該內(nèi)容講解時可以步步為營，與學(xué)生一同創(chuàng)生出一系列動態(tài)生動的教學(xué)活動，探尋由一個具體問題逐步衍生出解決一類問題的思維方法，讓學(xué)生充分感受到由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而達(dá)到提升思維能力，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的目的。

2.關(guān)于教學(xué)過程的反思

本節(jié)課學(xué)生解決該問題的難點是如何解決關(guān)于定向量到動向量的數(shù)量積運算。事實上，老師幫助學(xué)生認(rèn)識條件中外心或動點僅僅是一個障眼法，抓住問題的本質(zhì)就掃除了這個麻煩。在師生互動過程中，老師重在幫助學(xué)生理解條件的內(nèi)涵及外延，不能只看重表象，要注意引領(lǐng)學(xué)生理解問題的本質(zhì)。以上一系列向量數(shù)量積問題得以求解本質(zhì)是平面向量基本定理：如果e₁，e₂是平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁+λ₂e₂。即所有例題和變式中的向量都轉(zhuǎn)化為基底運算，所以學(xué)生對于用三角形的鄰邊作為向量常用基底的基本圖形要有直觀感受，在分析問題時能作出快速反應(yīng)。

毫無疑問，在老師的引領(lǐng)下，學(xué)生若能經(jīng)常如此錘煉思維，就能夠?qū)ψ约旱乃季S進行理性思辨，從而提高思維深度。生生互動的過程中，學(xué)生進行激烈思辨的同時，老師善于捕捉契機，引導(dǎo)學(xué)生漸入佳境，逐步探求問題的本質(zhì)。特別是引導(dǎo)學(xué)生思考幾個問題之間的聯(lián)系，把前面所用的方法遷移到變式所用，形成思維的統(tǒng)一及方法的歸一，本質(zhì)上也是實現(xiàn)了師生互動與生生互動在不同層次、不同視域的融合。當(dāng)然，對于學(xué)生最后的突發(fā)奇想沒有認(rèn)為是節(jié)外生枝，而是及時進行了動態(tài)的呈現(xiàn)，給課堂提供了無比寶貴的教學(xué)資源，讓課堂煥發(fā)出生動的活力。

3.關(guān)于教學(xué)理念的反思

著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，“將數(shù)學(xué)作為一種活動來解釋和分析，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是讓學(xué)生‘再創(chuàng)造，即數(shù)學(xué)知識應(yīng)該由學(xué)習(xí)者本人去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，教師的任務(wù)是幫助和引導(dǎo)學(xué)生進行‘再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造，讓學(xué)生成為名副其實的學(xué)習(xí)主人?！?/p>

當(dāng)然，直觀想象的核心素養(yǎng)絕對不等同于數(shù)形結(jié)合。在對數(shù)學(xué)問題認(rèn)識的過程中，我們經(jīng)常需要借助于事例進行分析，幫助學(xué)生實現(xiàn)由直觀到抽象的理解。例如：生活中會遇到“糖水加糖甜更甜”，這就給學(xué)生一個直觀想象去研究不等式，從函數(shù)的角度理解為當(dāng)一個量在增大時，另一個量也隨之增大，函數(shù)單調(diào)遞增，這就實現(xiàn)了由特殊模型直觀想象過渡到一般模型幫助我們理解，研究的是事物的變化規(guī)律，但是并沒有圖形出現(xiàn)其中。再比如，教材列舉了細(xì)胞分裂和放射性元素的衰變規(guī)律，都是特殊的等比數(shù)列模型，針對等比數(shù)列讓學(xué)生通過實例直觀感受特殊模型，再過渡到一般模型。在直觀想象過程中沒有圖形出現(xiàn)，因此直觀想象核心素養(yǎng)相比于數(shù)形結(jié)合范疇更大。

四、結(jié)語

布魯納指出，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和更易于記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的光明之路。總之，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓。我們在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，不失時機地向?qū)W生滲透核心素養(yǎng)，學(xué)生方能在解決問題時自覺運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，提高分析問題和解決問題的能力。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)活動中逐步養(yǎng)成的。教師應(yīng)當(dāng)善于將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)活動當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生不斷提升自己的能力，深化學(xué)科核心素養(yǎng)。