汪元興

[摘? 要] 概念教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過(guò)程. 文章以基于APOS理論的因式分解概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述了數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，以及如何幫助學(xué)生理解概念.

[關(guān)鍵詞] APOS理論;學(xué)習(xí)過(guò)程;概念教學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

章建躍博士認(rèn)為，概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要任務(wù)，概念教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過(guò)程[1]. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，學(xué)生掌握學(xué)習(xí)知識(shí)，應(yīng)以理解為基礎(chǔ);學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程;學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過(guò)程[2]. 因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，必須重視學(xué)習(xí)的過(guò)程，這是幫助學(xué)生理解概念的基礎(chǔ).

美國(guó)教育學(xué)家杜賓斯基等人創(chuàng)立的APOS理論認(rèn)為，任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育理論都應(yīng)該致力于解決“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)的理解”這兩個(gè)問(wèn)題. APOS理論還認(rèn)為，學(xué)習(xí)者不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念，而是要透過(guò)心智結(jié)構(gòu)使所學(xué)的概念產(chǎn)生意義才能學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念. 數(shù)學(xué)概念的形成要經(jīng)過(guò)“活動(dòng)（Action）”“過(guò)程（Process）”“對(duì)象（Object）”和“圖式（Schema）”四個(gè)階段[3]，其中“活動(dòng)階段”可與其他階段相互交叉，“活動(dòng)階段”與“過(guò)程階段”不一定有明顯的界線. 文章以基于APOS理論的因式分解概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述了數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，以及如何幫助學(xué)生理解概念.

復(fù)習(xí)回顧，引入新知——活動(dòng)階段（Action）

1. 復(fù)習(xí)回顧

師：在七年級(jí)的學(xué)習(xí)中，我們知道整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，你還記得單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義嗎？（結(jié)果如圖1所示）整式乘法主要的幾種形式如圖2所示.

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生口答，教師用PPT展示整式關(guān)系圖和整式乘法關(guān)系圖.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? APOS理論的“活動(dòng)階段”的“活動(dòng)”泛指所有的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如猜想、回憶、計(jì)算、推理等，這里主要是回憶. 通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，舉例說(shuō)明多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，突出平方差公式和完全平方公式，為后面講解因式分解的概念做鋪墊.

2. 問(wèn)題引入

利用整式的乘法運(yùn)算，可將幾個(gè)整式的乘積化為一個(gè)多項(xiàng)式的形式;反過(guò)來(lái)，有時(shí)需要把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式.

問(wèn)題1：993-99能被99整除嗎？能被100整除嗎？你是怎么做的？

追問(wèn)：代數(shù)式993-99的兩項(xiàng)都含有相同的因數(shù)99，顯然能被99整除;受此啟發(fā)，能否把993-99化成含有因數(shù)100的形式，即993-99=a×100（a為整式）？

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師投屏展示兩種常見(jiàn)的解法（如圖3、圖4所示）：

小結(jié)：這里解決問(wèn)題的關(guān)鍵是把一個(gè)代數(shù)式化成幾個(gè)整式的積的形式.

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)立思考后交流展示. 教師用手機(jī)投屏展示學(xué)生兩種常見(jiàn)的解法，組織全班學(xué)生評(píng)議，總結(jié)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是什么，鼓勵(lì)學(xué)生分享思考過(guò)程，說(shuō)明992-1=9800的計(jì)算方法，為后面進(jìn)一步分解a2-1做鋪墊，同時(shí)滲透最優(yōu)方案思想.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? APOS理論認(rèn)為，概念的引入階段，要以學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)，在認(rèn)真分析所授概念的具體內(nèi)容的前提下設(shè)置合適的“活動(dòng)”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷，主動(dòng)建構(gòu)，從而直觀理解所學(xué)的概念. 這與史寧中教授所強(qiáng)調(diào)的教育教學(xué)要關(guān)注新概念引入的必要性是一致的. 這里的“活動(dòng)階段”，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧整式的相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)代數(shù)式整除問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷代數(shù)式的計(jì)算過(guò)程，直觀感知因式分解的作用，在心理上認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)因式分解這一概念的必要性.

自主探究，感知對(duì)象——過(guò)程階段（Process）

問(wèn)題2：你能?chē)L試把a(bǔ)3-a化成幾個(gè)整式的乘積的形式嗎？與同伴交流.

追問(wèn)：a2-1可以進(jìn)一步分解嗎？如何分解？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再組織學(xué)生交流展示. 類(lèi)比993-99因數(shù)分解的過(guò)程，指出字母可以表示數(shù)，根據(jù)數(shù)式通性，可以把99看作a，進(jìn)而得到a3-a=a（a2-1）;對(duì)a2-1進(jìn)一步分解，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生展示和分享思考過(guò)程.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 通過(guò)學(xué)生自主探究、合作交流，類(lèi)比993-99的分解過(guò)程，對(duì)多項(xiàng)式a3-a進(jìn)行分解，分享自己的解題思路. 教師在“過(guò)程階段”可以充分地關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生初步掌握把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式的方法，為后面歸納因式分解的概念提供具體且有一般性的例子，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)式通性，感受平方差公式的逆運(yùn)用.

問(wèn)題3：觀察下面的拼圖過(guò)程（如圖5、圖6所示），寫(xiě)出相應(yīng)的關(guān)系式.

追問(wèn)：你是怎么得到相應(yīng)的關(guān)系式的？你能用不同的方法驗(yàn)證關(guān)系式的正確性嗎？

師生活動(dòng)：教師拋出問(wèn)題，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再組織學(xué)生交流展示. 學(xué)生分享解決問(wèn)題的思考過(guò)程，師生共同回顧用幾何圖形推導(dǎo)整式乘法公式的學(xué)習(xí)過(guò)程，也可以讓學(xué)生自己動(dòng)手完成拼圖活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生既可以從拼圖前后的面積不變得到相應(yīng)的關(guān)系式（“形”的角度），也可以逆用乘法公式驗(yàn)證關(guān)系式的正確性（“數(shù)”的角度）.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? APOS理論的“過(guò)程階段”是通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)一步思考的過(guò)程，即當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)多次重復(fù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)并對(duì)其熟悉后，便會(huì)在頭腦中自主描述這些數(shù)學(xué)活動(dòng). 本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生分別從“數(shù)”與“形”的角度認(rèn)識(shí)到一個(gè)多項(xiàng)式可以化成幾個(gè)整式的積的形式. 這是學(xué)習(xí)因式分解概念的“過(guò)程階段”，一定程度上也可以看作是前面“活動(dòng)階段”的延續(xù). 一方面有利于學(xué)生加深對(duì)幾何直觀與數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí)，在心理上抽象出因式分解的本質(zhì)特征，進(jìn)入因式分解概念的定義階段;另一方面有利于學(xué)生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想、掌握等面積法，甚至為后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解法（提公因式法和公式法）打下基礎(chǔ)，有利于因式分解與提公因式法、公式法等建立聯(lián)系.

合作交流，歸納概念——對(duì)象階段（Object）

問(wèn)題4：觀察下列這幾個(gè)關(guān)系式，它們有什么共同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？

（1）a3-a=a（a+1）（a-1）;

（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）;

（3）x2+2x+1=（x+1）2.

追問(wèn)：你能用自己的語(yǔ)言把你發(fā)現(xiàn)的說(shuō)出來(lái)嗎？（合作交流后，用PPT或黑板展示出來(lái)）

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫作因式分解.

小結(jié)：理解概念要抓住關(guān)鍵詞.

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立思考后全班學(xué)生交流展示. 師生評(píng)議歸納后，教師給出準(zhǔn)確的文字語(yǔ)言描述，為因式分解下定義;隨后向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，理解概念要抓住關(guān)鍵詞，可結(jié)合關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和字面含義加深對(duì)概念的理解.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 概念學(xué)習(xí)主要依靠的是歸納思維. 學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)所得關(guān)系式的分析、比較、綜合，歸納出相同或不同關(guān)系式的共同特點(diǎn)，經(jīng)歷了從特殊到一般的學(xué)習(xí)過(guò)程，將發(fā)現(xiàn)、交流、歸納的結(jié)論準(zhǔn)確地用文字語(yǔ)言表述出來(lái)，為因式分解下定義，這符合APOS理論的“對(duì)象階段”. 同時(shí)通過(guò)對(duì)“理解概念要抓住關(guān)鍵詞”的強(qiáng)調(diào)、對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的學(xué)法指導(dǎo)，有助于學(xué)生從整體上理解概念的形成過(guò)程.

比較分析，鞏固概念——圖式階段（Schema）

問(wèn)題5：下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？為什么？

（1）（a+3）（a-3）=a2-9;

（2）m2-4=（m+2）（m-2）;

（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1;

（4）2mn+2mr=2m（n+r）;

（5）（y-3）2=y2-6y+9;

（6）ax+ay=a（x+y）.

追問(wèn)：結(jié)合問(wèn)題5，你能說(shuō)出因式分解的特征嗎？因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？（學(xué)生交流后，用PPT或黑板展示如下圖畫(huà)，如圖7、圖8所示）

師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立思考后交流展示. 學(xué)生展示時(shí)，要說(shuō)明判斷的理由;師生評(píng)議并修正，結(jié)合概念中關(guān)鍵詞的含義，共同歸納出因式分解的特征，明確因式分解與整式乘法之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 出示6個(gè)關(guān)系式，結(jié)合正反例，通過(guò)問(wèn)題辨析，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合因式分解的概念，分析概念中關(guān)鍵詞的含義，整體把握因式分解的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生明確：因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式，分解的結(jié)果是整式的積的形式;同時(shí)通過(guò)PPT或黑板展示因式分解與整式乘法的關(guān)系圖，助力學(xué)生理解“因式分解與整式乘法互為逆變形”，可以逆用乘法公式驗(yàn)證因式分解是否正確，進(jìn)而達(dá)到鞏固概念的目的，在認(rèn)知上形成心理圖式.

學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，不能依賴(lài)死記硬背，應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，而理解又以經(jīng)歷為基礎(chǔ). 基于APOS理論的“概念學(xué)習(xí)四階段”進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠較好地讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的整體性，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生理解概念.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍. 數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.

[2]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]張敏，李軍，孫迪. 基于APOS理論下數(shù)學(xué)史融入一元二次方程概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（35）.