捕捉或建構(gòu)幾何模型 跳躍式思維探索思路

黃本華

[摘 ?要] 新課程標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生“邏輯思維能力”改為“思維能力”，這就啟發(fā)我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力，并培養(yǎng)學(xué)生能夠在復(fù)雜的幾何圖形中捕捉或建構(gòu)幾何模型，探索解題思路.

[關(guān)鍵詞] 幾何模型;跳躍性思維;幾何圖形;直覺力

幾何模型是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者或數(shù)學(xué)教師在對(duì)幾何圖形進(jìn)行研究之后總結(jié)出的一些基本圖形，并由這些圖形得出了一些基本結(jié)論，或是求解思路. 幾何模型就如同棋譜中的定式，運(yùn)用幾何模型解題能大大縮短思維的時(shí)間，更快地接近目標(biāo)，起到化繁為簡的目的. 但是運(yùn)用幾何模型解題 ，需要有一定的跳躍性思維. 新課程標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生“邏輯思維能力”改為“思維能力”，這就啟發(fā)我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、直覺力等具有跳躍性的非邏輯思維能力[1].

中考試題也突出了對(duì)直覺力的考查，下面就以2020年江蘇省南通市中考試卷幾何綜合題第24題為例，談一談捕捉或建構(gòu)幾何模型，用跳躍性思維探索思路.

試題呈現(xiàn)

試題 矩形ABCD中，AB=8，AD=12，將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE.

（1）如圖1，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值.

（2）如圖2，若E是AB的中點(diǎn)，EP延長線交BC于點(diǎn)F，求BF的長.

思路探索

1. 知識(shí)遷移，探求思路

這道試題是矩形里含有翻折變換，我們頭腦里就會(huì)立刻聯(lián)想到勾股定理，進(jìn)而聯(lián)想到我們特別熟悉的一道題目：如圖3，矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD上一點(diǎn)，連接AE，將矩形沿AE折疊，若點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)D'處，求CE的長.

【解析】由翻折可知AD=AD′=12，在Rt△ABD′中，AB=8，所以BD′=6 ，設(shè)DE=DE′=x，CE=8-x，在Rt△CED′中用勾股定理得（8-x）2+42=x2，解得x=5，從而CE=3.

2. 是迎難而上，還是另辟蹊徑？

順著這個(gè)思路，我們也可以解決這道中考題. 如圖1，在Rt△DPC中，在我們可以得到，CP=4，因此，BP=12- 4. 在Rt△ABP中，AP==，做到這里，我們猛然發(fā)現(xiàn)此題和上題有一個(gè)很大的區(qū)別，即上題含有勾股數(shù)，計(jì)算十分簡便，而這題計(jì)算中含有根號(hào)，會(huì)越做越煩瑣. 這時(shí)我們就陷入了兩難的境地，是迎難而上，還是另辟蹊徑？若迎難而上，可能會(huì)陷入繁雜的計(jì)算中. 若另辟蹊徑，卻又有可能找不到思路.

3. 循規(guī)蹈矩，迎難而上

如果計(jì)算能力較強(qiáng)，一時(shí)又找不到其他更好的方法，可以選擇迎難而上，畢竟已經(jīng)看到了希望，接近了目標(biāo).

解法1：在Rt△DPC中，PC==4，

所以BP=12-4.

在Rt△ABP中，AP2=82+（12- 4）2 =288-96.

設(shè)AE=EP=x，在Rt△BEP中，（8-x）2+（12-4）2=x2，解得：x=18-6.

則在Rt△AED中，DE2=（18- 6）2+122=648-216.

所以===.

所以=.

在中考閱卷過程中我們發(fā)現(xiàn)，確實(shí)有很多學(xué)生就是這樣運(yùn)算的，但其中也有不少學(xué)生半途而廢. 可以想象，如此繁雜的計(jì)算，即使算到了正確結(jié)果，也一定花費(fèi)了很多的時(shí)間. 這就迫使我們思考，有沒有更簡單的方法呢？要想獲得簡單的方法，就需要我們克服思維定式，善于捕捉圖形中的幾何模型，用跳躍性的思維探索思路.

4. 思維跳躍，另辟蹊徑——捕捉K型相似模型

首先，我們最容易觀察到的幾何模型就是最熟悉的△EBP和△PCD組成的K型相似模型. 于是，求EP還可以這樣解：如圖1，易證△EBP∽ △PCD，所以=，即=，解得EP=18-6.

我們也可以借助方程思想，設(shè)EP=3x，BP=2x，則2x=12-4，所以x=6-2. 所以EP=18-6. 下面的解法同上.

可以看出，運(yùn)用了K型相似這個(gè)幾何模型之后，運(yùn)算量就降低了很多. 那么，題目中還有沒有其他的幾何模型呢？

5. 思維跳躍，另辟蹊徑——捕捉四點(diǎn)共圓模型

這里我們觀察到∠EAD=∠EPD=90°，也就是說，A，E，P，D四點(diǎn)共圓. 其中AP 是弦，DE是垂直于這條弦的直徑，這就容易聯(lián)想到垂徑定理. 弦與直徑的比，就等于弦的一半與半徑的比. 弦和直徑是兩條交叉的線段，而弦的一半和半徑再加上弦心距卻可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 因此，只要找到一個(gè)三角形和這個(gè)直角三角形相似即可.

解法2：（1）如圖4，取DE的中點(diǎn)O，連接PO，由折疊可知AM=PM，AP⊥DE，∠2=∠3.

在Rt△EPD中，點(diǎn)O為DE的中點(diǎn)，

所以DE=2PO=2EO=2DO.

所以∠3=∠OPD.

所以∠1=∠3+∠OPD=2∠3.

因?yàn)椤螦DP=∠2+∠3=2∠3，

所以∠1=∠ADP.

因?yàn)锳D∥BC，所以∠DPC=∠ADP.

所以∠1=∠DPC. 又因?yàn)椤螼MP=∠C=90°，所以△POM∽△DPC.

所以===.

所以===.

可以看出，用這種方法解題，計(jì)算量大大降低了. 類似地，也可以連接AO，證明△AOM和△DCP相似.

6. 思維跳躍，另辟蹊徑——捕捉三垂直模型

繼續(xù)觀察，圖中還有其他模型嗎？如圖5，我們還可以找到三垂直模型. 這個(gè)三垂直模型里面還含有一個(gè)母子三角形，我們易得∠1=∠2，從而△ABP∽△DAE.

解法3：因?yàn)椤螧=∠EAD=∠AMD=90°，所以易證∠1=∠2. 所以△ABP∽△DAE. 所以==.

感悟：解法如此簡便，令人嘆為觀止！幾何模型竟有如此魅力！

7. 建構(gòu)模型，迎刃而解——建構(gòu)K型相似模型

受第（1）問的啟發(fā)，在求解第（2）問的時(shí)候，我們可以建構(gòu)K型相似模型.

解法1：如圖6，過點(diǎn)P作GH∥AD交AB于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)H.

易證△EGP∽△PHD，因?yàn)?===.

設(shè)PG=x，EG=y，則DH=3x，PH=3y，由圖可知x+3y=12，

4+y=3x， ?解得x=2.4，

y=3.2.

又因?yàn)镻G∥BF，所以=，即=，解得BF=3.

當(dāng)然，我們也可以運(yùn)用勾股定理列方程解決問題. 比如，在Rt△DPH中，（12-x）2 +（3x）2=122 ，或者在Rt△EPG中，x2+（3x-4）2=42.

8. 建構(gòu)模型，迎刃而解——建構(gòu)8字全等模型

由于點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，我們聯(lián)想到平行線加中點(diǎn)，可以構(gòu)造8字全等模型，再借助角平分線定理和勾股定理，利用方程思想解決問題.

解法2：如圖7，延長FE，DA交于點(diǎn)H，易證△BFE≌△AHE，設(shè)BF=AH=x，HE=y，因?yàn)镈E平分∠HDP，所以=，即=. 又在Rt△AEH中，42+x2=y2，聯(lián)立兩個(gè)方程解得x=3，

y=5， 或者x=0，

y=4 （舍去）. 所以BF=3.

9. 正切公式，屢試不爽——如果含有角平分線或45°角（這也是模型）

如果盯住這個(gè)四點(diǎn)共圓的模型，還可以有這樣的思路：外角∠BEF=內(nèi)對(duì)角∠ADP. 因此，在△EBF中，求tan∠BEF，也就是求tan∠ADP，而∠ADP=2∠ADE，于是我們立刻聯(lián)想到正切公式.

解法3：如圖8，tanα===. 所以tan2α===. 所以=，解得BF=3.

若想避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算，也可以這樣解——

解法4：tan∠AEF=tan2∠AED===-，所以tan∠BEF=，即=，解得BF=3.

試題賞析

在解完題目之后，我們回過頭來再看這道題，發(fā)現(xiàn)這道題出得真好.

（1）試題以矩形為載體，融合了重要的基本幾何元素，如中點(diǎn)、角平分線等，結(jié)合翻折變換，給學(xué)生提供了一個(gè)思考的平臺(tái)，很好地考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

（2）第（1）問中蘊(yùn)含了多個(gè)基本圖形或幾何模型，如母子三角形、一線三等角、對(duì)角互補(bǔ)四邊形、三垂直模型等. 第（2）問又可以通過多種方法建構(gòu)幾何模型求解. 在考查學(xué)生思維能力的同時(shí)，也考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

（3）結(jié)合思路探索，試題也考查了多種數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、對(duì)稱思想、從特殊到一般思想、建模思想等.

（4）試題是課本習(xí)題的挖掘和延伸，是從全等到相似的拓展. 從全等到相似不僅是形式上的飛躍，更是思維方式上的一個(gè)突變.

如圖9，在正方形ABCD中，AF⊥DE，求證AF=DE.

上面這道題大家都很熟悉，是課本中的一個(gè)題目. 而前面那道中考題就是對(duì)該題的一種拓展. 如圖10，當(dāng)正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD以后，由于三垂直模型始終存在，于是始終有=. 顯然，全等是相似的一種特殊情況. 有了這個(gè)模型，現(xiàn)在再來看中考題的第（1）問，就覺得十分容易了.

今后打算

（1）在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的同時(shí)，突出對(duì)學(xué)生觀察力、直覺力、想象力等非邏輯思維能力及跳躍性思維能力的培養(yǎng). 大力培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、發(fā)散思維、求異思維等，要努力讓學(xué)生的頭腦活絡(luò)起來.

（2）重視對(duì)基本圖形、幾何模型的搜集、整理與滲透. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)復(fù)雜的幾何圖形進(jìn)行分解，訓(xùn)練其在復(fù)雜的幾何圖形中捕捉幾何模型或基本圖形的本領(lǐng)，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建構(gòu)幾何模型，探索解題思路.

（3）重視對(duì)初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接. 如滲透正切公式、基本不等式、角平分線定理等高中知識(shí).

（4）重視對(duì)課本習(xí)題的挖掘、研究與拓展. 特別要重視從全等到相似的變式拓展研究.

（5）重視對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，以尋求最佳的或最適合自己的解題途徑.

參考文獻(xiàn)：

[1]唐耀庭. 建構(gòu)幾何模型 ?巧妙進(jìn)行探究——2008年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)壓軸題評(píng)析[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2009（1）.

3759500589200