胡能其

【摘要】以“任意角的三角函數(shù)”教學設(shè)計為例，教師通過設(shè)計合理的問題為學習支架引導(dǎo)學生積極思考，體會知識的發(fā)展和生成過程，理解知識的本質(zhì)，從而提升學生的學科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)定義;核心素養(yǎng);問題支架;教學過程設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）教學內(nèi)容

高中數(shù)學人教A版必修4第一章“三角函數(shù)”的第二節(jié)“任意角的三角函數(shù)”.

（2）教學內(nèi)容分析

教材地位：三角函數(shù)是一個重要的周期函數(shù)模型，它在幾何學、物理學、天文學、測量學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.任意角的三角函數(shù)定義則是整個三角函數(shù)的學習的起點，是學生進一步理解并掌握好三角函數(shù)知識的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學生數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)的重要載體.

教學任務(wù)：本節(jié)課的教學任務(wù)是將學生原認知下的直角三角形模型下的銳角三角形函數(shù)定義擴展到直角坐標系下任意角的三角函數(shù)的定義，讓學生體會到將初中銳角三角函數(shù)用邊的比值定義到高中用終邊上點的坐標的比值定義再到單位圓上的點的坐標定義的合理性和必要性，并在定義的基礎(chǔ)上理解和掌握三角函數(shù)的符號的判定以及特殊角的三角函數(shù)值的求解.

蘊含的數(shù)學思想：三角函數(shù)的定義從初中的銳角到高中的任意角，從平面幾何到解析幾何，蘊含著數(shù)學建模思想和數(shù)形結(jié)合思想.

教學重點：任意角的三角函數(shù)的定義.

二、目標和目標解析

（1）目標

① 經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng);

② 理解任意角的三角函數(shù)的終邊定義法和單位圓定義法兩種定義;

③ 掌握任意角的三角函數(shù)的符號;

④ 初步體會三角函數(shù)的周期性.

（2）目標解析

① 學生能在原有的銳角三角函數(shù)的認知的基礎(chǔ)上，明確任意角三角函數(shù)的定義擴展的必要性和合理性，體會從直角三角形模型到直角坐標系模型的建模過程，并能抽象出任意角的三角函數(shù)定義，從而達到對學生數(shù)學建模和數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng);

② 學生能理解任意角的三角函數(shù)的終邊定義法和單位圓定義法及它們的聯(lián)系，并且能利用定義求出特殊角的三角函數(shù)值，從而達到對學生邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng);

③ 學生能夠根據(jù)定義得出任意角的三角函數(shù)的值在各個象限的符號;

④ 學生能夠根據(jù)定義初步體會三角函數(shù)周而復(fù)始的特性.

三、教學問題診斷分析

雖然學生在初中已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)的定義，有了一定的學習起點，但由于初中的銳角三角函數(shù)定義是在直角三角形的模型下建立的，而在將銳角放到直角坐標系下時，一開始仍然要以初中的直角三角形模型為起點引入，這樣就造成學生在對其他象限角的三角函數(shù)的定義進行理解時很難脫離直角三角形模型而轉(zhuǎn)為點的坐標比值定義，這應(yīng)該是本節(jié)課教學遇到的一個難點.另外，為了學生能更好地理解三角函數(shù)的定義和今后能更好地學習三角函數(shù)相關(guān)知識，教材引入了單位圓定義法，而沒有提及終邊定義法.事實上，兩種定義法是一致的，但也各具優(yōu)點，所以就需要教師做好權(quán)衡.筆者建議兩種定義都傳授給學生，但側(cè)重單位圓定義法.

四、教學支持條件分析

（1）在初中，學生已經(jīng)學習了銳角三角函數(shù)的定義，且明白銳角三角函數(shù)的值與直角三角形的大小無關(guān)，這都為本節(jié)課的學習提供了很好的學習起點.

（2）教師可利用幾何畫板軟件，讓學生直觀體會任意角三角函數(shù)的定義與終邊上點（不與原點重合）的位置無關(guān)，也可以讓學生通過直觀演示體會三角函數(shù)周而復(fù)始的重要屬性.

五、教學過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1 復(fù)習回顧，激發(fā)興趣

問題1 初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？

師生活動：

（1）由學生寫出初中銳角三角函數(shù)的定義.

（2）教師追問：如果在不改變角的大小的前提下將直角三角形的三邊都擴大或者縮小，銳角所對應(yīng)的三角函數(shù)值會改變嗎？

設(shè)計意圖：回顧初中銳角三角函數(shù)定義，并讓學生明確對于每個銳角它所對應(yīng)的三角函數(shù)值是唯一的，突出函數(shù)概念的特征，為學生學習任意角的三角函數(shù)定義做準備.

教師追問：5π3的正弦、余弦和正切值分別是多少呢？

師生活動：明確按照初中的銳角三角函數(shù)定義是沒有辦法求5π3的正弦、余弦和正切值的.

設(shè)計意圖：激發(fā)學生學習新知的興趣.

環(huán)節(jié)2 問題支架，構(gòu)建新知

問題2 根據(jù)初中銳角三角函數(shù)的定義用點P的坐標寫出銳角α的三角函數(shù)值.

如圖1所示，設(shè)銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊在第一象限，在銳角α的終邊上任取一點P（a，b），它

與原點的距離r=|OP|=a2+b2>0，過點P作x 軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長度為a， 線段MP的長

度為b.求：

sin α=.

cos α=.

tan α=.

設(shè)計意圖：讓學生體會由直角三角形的銳角三角函數(shù)模型轉(zhuǎn)為象限角的銳角三角函數(shù)模型的建模過程，引導(dǎo)學生將角α的三角函數(shù)值由邊的比值轉(zhuǎn)為點P的坐標比值，導(dǎo)入新課.

教師追問：改變點P的位置，銳角α的三角函數(shù)值會改變嗎？為什么？

設(shè)計意圖：使學生明白每一個角對應(yīng)的三角函數(shù)值是唯一確定的，不會隨著點的位置而改變，符合函數(shù)的定義，為任意角三角函數(shù)定義的合理性提供依據(jù).

問題3 三角函數(shù)的定義由直角三角形的邊的比值變?yōu)榻K邊上的點的比值，你覺得這種定義的變化能幫我們研究非銳角的三角函數(shù)的值嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生跳出直角三角形模型，在象限角的模型下利用終邊上的點的坐標定義三角函數(shù)，為講解任意角三角函數(shù)的定義做鋪墊.

師生活動：教師結(jié)合學生對問題2和問題3的探討和學習，給出任意角的三角函數(shù)的終邊定義法的定義.

如圖2所示，設(shè)任意角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊在第一象限，在α終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離r=|OP|=x2+y2>0，則定義sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx（x≠0）.

問題4 如圖3所示，設(shè)角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊與單位圓（半徑為1）的交點為P（x，y），請同學們根據(jù)剛學過的任意角的三角函數(shù)定義寫出角α 的三角函數(shù)值，并說明它們有什么特別之處？

師生活動：教師通過探究活動，給出任意角的終邊與單位圓的交點的坐標與三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，從而利用單位圓定義三角函數(shù)的定義.

設(shè)計意圖：教師通過單位圓將三角函數(shù)的定義變得更簡潔和清晰，從而使學生掌握任意角三角函數(shù)的單位圓定義法的定義，并體會單位圓定義法其實是終邊定義法的一種特殊情況，從而發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng).

問題5 請同學們利用單位圓定義法寫出0，π2，π，3π2，2π，5π2，3π的三角函數(shù)值，并說明sin α在[0，2π）內(nèi)的大小變化規(guī)律.

師生活動：

（1）學生自主完成.

（2）教師利用幾何畫板軟件進行演示，讓學生直觀感受sin α的值的變化情況以及正弦函數(shù)周而復(fù)始的屬性.

設(shè)計意圖：讓學生進一步掌握單位圓定義法，也讓學生體會單位圓定義法的簡潔和清晰，同樣讓學生感受三角函數(shù)周而復(fù)始的特性.

問題6 根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義寫出正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域及它們在各象限的符號.

師生活動：

（1）學生自主完成.

（2）教師歸納總結(jié)三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生根據(jù)三角函數(shù)的定義得出三角函數(shù)的定義域及其符號規(guī)律，進一步掌握任意角三角函數(shù)定義的應(yīng)用.

環(huán)節(jié)3 例題分析，應(yīng)用新知

例1 完成問題1中求5π3的正弦、余弦和正切值.

例2 已知角α的終邊過點P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值.

師生活動：

（1）學生根據(jù)所學習的任意角三角函數(shù)的兩種定義選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行求解.

（2）教師根據(jù)學生的解題情況分析比較兩種定義的各自特點，并引導(dǎo)學生學會選擇合適的方法解題.

設(shè)計意圖：讓學生學會選擇合適的三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值.

例3 求證：當且僅當不等式組sin α<0，tan α>0成立時，角α為第三象限角，反之也對.

師生活動：

（1）教師先提示學生需雙向證明.

（2）學生自主完成.

（3）教師總結(jié)并對答題規(guī)范做出示范.

設(shè)計意圖：讓學生能夠根據(jù)三角函數(shù)值的符號判斷角的位置和根據(jù)角的位置判定三角函數(shù)值的符號.

環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)，提煉方法

（1）學習內(nèi)容：任意角的三角函數(shù)的兩種定義，任意角的三角函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)值的符號規(guī)律.

（2）求任意角的三角函數(shù)值的基本思路：在直角坐標系中準確畫出象限角的位置—根據(jù)所求角的特征—選擇恰當?shù)姆椒ㄇ笾?

（3）根據(jù)任意角的兩種三角函數(shù)值的符號確定角的位置的方法：先根據(jù)一種三角函數(shù)值的符號確定角可能所在的位置，再結(jié)合另一種三角函數(shù)值的符號確定角可能所在的位置，最后確定角的位置.

六、目標檢測設(shè)計

目標檢測題：

題組一：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義求7π6的三個三角函數(shù)值.

檢測目標：利用三角函數(shù)單位圓定義法求特殊角的三角函數(shù)值.

（Ⅱ）已知角α的終邊過點P0（-12，5），求角α的三個三角函數(shù)值.

檢測目標：利用三角函數(shù)終邊定義法求三角函數(shù)值.

設(shè)計意圖：根據(jù)問題的不同特點，選擇恰當?shù)姆椒ㄇ笾?

題組二：（Ⅰ）設(shè)角α是三角形的一個內(nèi)角，在sin α，cos α，tan α，tan α2中，哪些有可能取負值？

檢測目標：判定角的三角函數(shù)值的符號.

（Ⅱ）已知角α滿足sin α<0，cos α>0，則角α為第幾象限角？

檢測目標：根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號判定角的位置.

設(shè)計意圖：掌握三角函數(shù)值符號的規(guī)律.

【參考文獻】[1]章建躍.《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》“單元一課時教學設(shè)計”體例與要求[J].中學數(shù)學教學參考，2019（22）：14-16.

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