例談解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想

【摘要】解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個跨時代的發(fā)現(xiàn)，其出現(xiàn)在數(shù)學(xué)史上具有至關(guān)重要的意義，并蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想.本文主要從了解解析幾何的歷史背景開始，探索解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想，主要探討數(shù)形結(jié)合思想中幾何問題代數(shù)化的思想、幾何圖形方程化的思想以及代數(shù)方程圖形化的思想.剖析解析幾何的數(shù)學(xué)思想有助于提升教師在解析幾何教學(xué)方面的素養(yǎng)，提高解析幾何的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想

【基金項目】重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目（KJQN201901312）;重慶文理學(xué)院2019年度校級教學(xué)改革一般項目（190214）

一、引言

解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課程，該課程通過建立標(biāo)架，研究圖形與方程間的關(guān)系，是對中學(xué)平面解析幾何及立體幾何課程的進(jìn)一步擴(kuò)展與延伸，同時，它也是微分幾何等后續(xù)幾何課程的基礎(chǔ).該課程與代數(shù)學(xué)、分析學(xué)息息相關(guān)，注重培養(yǎng)學(xué)生利用代數(shù)工具解決幾何問題的能力，通過代數(shù)方程作出幾何圖形的能力，提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.

數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何中的主要數(shù)學(xué)思想，其主要利用笛卡爾標(biāo)架，建立數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系.本文將對解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想做一些探索，主要從幾何學(xué)的歷史背景與解析幾何的數(shù)形轉(zhuǎn)換思想（幾何問題代數(shù)化思想、幾何圖形方程化思想與代數(shù)方程圖形化思想）出發(fā)做一些探索，旨在提升教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高教師的教學(xué)水平，同時激發(fā)學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)興趣、研究興趣，啟發(fā)學(xué)生自主探索學(xué)習(xí).

二、主要內(nèi)容

（一）解析幾何歷史簡介及歷史意義

我國科學(xué)家傅鷹曾說：“一種科學(xué)的歷史是那門科學(xué)最寶貴的一部分.科學(xué)只給我們知識，而歷史給我們智慧.”幾何學(xué)擁有漫長的歷史，內(nèi)容更是豐富多彩.在課程學(xué)習(xí)前向?qū)W生介紹幾何學(xué)的歷史，可以幫助學(xué)生形成完整的知識體系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在大約公元前300年，歐幾里得編寫了《幾何原本》，這便意味著幾何學(xué)的第一本著作誕生了.《幾何原本》里的幾何被稱為歐氏幾何，其包含了現(xiàn)今中小學(xué)的大部分幾何知識，如三角形內(nèi)角和為180°、勾股定理等.在《幾何原本》出現(xiàn)后，接近2000年的時間，幾何學(xué)基本沒有大的變動，直到17世紀(jì)笛卡爾建立了坐標(biāo)系，開創(chuàng)了解析幾何，建立了幾何對象與代數(shù)對象的一一對應(yīng)關(guān)系，從而促使了幾何問題與代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)換.解析幾何的出現(xiàn)是具有劃時代意義的，在其出現(xiàn)之前，幾何與代數(shù)是分開的，幾何的問題只能通過幾何的方法解決，如作輔助線等，方法十分有限，那時一個難度一般的幾何問題，很有可能難住一位幾何學(xué)家，而解析幾何的出現(xiàn)，給了我們代數(shù)的方法，這讓很多幾何難題迎刃而解，可見解析幾何的出現(xiàn)對整個數(shù)學(xué)的發(fā)展具有里程碑式的意義.此外，解析幾何誕生不久，在解析幾何的推動下，微積分于17世紀(jì)下半葉產(chǎn)生了.舉微積分中兩個經(jīng)典的例子，曲線在某點處的切線問題及曲邊梯形面積問題，都是在笛卡爾標(biāo)架建立之后，利用微積分的方法解決的，由此可見解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要地位.

（二）幾何問題代數(shù)化思想

利用代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何的一個重點內(nèi)容，它需要學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，也就是利用幾何問題代數(shù)化思想，這往往是學(xué)生遇到的一個難點問題.學(xué)生在中學(xué)的幾何學(xué)習(xí)過程中，已經(jīng)接觸過平面的解析幾何及立體幾何，但是所遇到的幾何問題都已經(jīng)給出了直角坐標(biāo)系，沒有幾何問題代數(shù)化的經(jīng)驗.而解析幾何作為數(shù)學(xué)專業(yè)大一的專業(yè)基礎(chǔ)課程，在這個課程中，往往需要學(xué)生自主建立坐標(biāo)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)仔細(xì)剖析轉(zhuǎn)換過程，讓學(xué)生多做相關(guān)練習(xí)，積累經(jīng)驗.具體的，在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們往往會遇到以下方式提出的幾何問題.

例1證明：三角形每一個頂點與對邊中點所連的線段共點，且該點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.

分析首先，作出示意圖，如圖1所示.設(shè)△ABC頂點A與對邊BC的中點D的連線為AD，取點G1，使得AG1=2DG1.同理，找出其余兩點G2，G3，那么我們只需要去證明G1，G2，G3三點重合即可.換言之，若已知A，B，C坐標(biāo)，則只需要說明G1，G2，G3三點坐標(biāo)相同.因此，我們可以選取平面上適當(dāng)?shù)牡芽枠?biāo)架{A; AB，AC}，如圖2所示，則點A，B，C的坐標(biāo)分別為A=（0，0），B=（1，0），C=（0，1），由此可計算出G1=G2=G3=1/3，1/3，從而得知G1，G2，G3三點重合.

從上例中我們可以發(fā)現(xiàn)，該幾何問題以文字描述的方式提出，題干并未建立任何坐標(biāo)系，這與中學(xué)時提出幾何問題的方式不同.在解答過程中，首先需要學(xué)生改變其描述的方式，如上例，我們將“線段共點”的描述轉(zhuǎn)換為“G1，G2，G3三點重合”，再建立適當(dāng)?shù)牡芽栕鴺?biāo)系，將幾何問題代數(shù)化，進(jìn)一步解決問題.

（三）幾何圖形方程化思想

在解析幾何中，我們將具體的幾何圖形看作具有特征性質(zhì)的點構(gòu)成的集合.所謂特征性質(zhì)，本質(zhì)上就是點在該幾何圖形上的充要條件，而幾何圖形方程化的關(guān)鍵就是要抓住特征性質(zhì).例如，平面上以原點為圓心的單位圓的特征性質(zhì)就是平面上點到原點的距離為1.對于建立幾何圖形的方程，往往需要抓住圖形的特征性質(zhì)，再建立笛卡爾坐標(biāo)系，從而得到圖形對應(yīng)的方程，這種構(gòu)建思想貫穿了整個解析幾何課程，直線、平面、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等圖形的方程都是按照此思維過程進(jìn)行建立的.教師在講授的時候應(yīng)注意剖析圖形的特征性質(zhì)，逐步引導(dǎo)學(xué)生找到圖形的特征性質(zhì)，著重強(qiáng)調(diào)圖形到方程的建立過程.下面，我們以直線和柱面方程的建立過程為例進(jìn)行分析.

例2求過點M0且與向量v 平行的直線方程.

分析根據(jù)之前的思想，想要建立該直線方程，首先需要找到該直線的特征性質(zhì)，也就是找到點在該直線上的充要條件.注意到若空間中任意一點M在該直線上，那么向量MM0與向量 v 平行，反之，如果點M不在該直線上，那么向量MM0與向量 v 不平行.這說明了該直線的特征性質(zhì)為：對于空間中任意一點M，有MM0平行于 v.建立笛卡爾坐標(biāo)系，設(shè)M=（x，y，z），M0=（x0，y0，z0），v=（X，Y，Z），由直線的特征性質(zhì)，有 MM0 平行于 v，即可得到該直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例3設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程為 Γ：F1（x，y，z）=0，F(xiàn)2（x，y，z）=0，母線方向為v=（X，Y，Z），求該柱面的方程.

分析對于曲面方程的建立，首先我們需要找到該柱面的特征性質(zhì).根據(jù)分析，若空間中任意一點M在該柱面上，那么過M點作平行于方向（X，Y，Z）的直線必定與準(zhǔn)線 Γ 相交于點M1，如圖3所示.反之，若點M1∈Γ，則過點M1作平行于方向（X，Y，Z）的直線，該直線上的點必定在柱面上.因此，柱面的特征性質(zhì)可描述為：設(shè)點M1（x1，y1，z1）∈Γ，且MM1平行于向量（X，Y，Z）.從而該柱面的特征性質(zhì)等價于以下方程描述：

注意到所建立的方程為4個方程，因此可消去參數(shù)x1，y1，z1，從而得到關(guān)于x，y，z的方程： F（x，y，z）=0，即為柱面方程.

通過上面直線與柱面的例子可以發(fā)現(xiàn)，在解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，能否抓住圖形的特征性質(zhì)是幾何問題代數(shù)化的關(guān)鍵.因此，在解析幾何建立圖形方程的教學(xué)中，除了注重提高學(xué)生利用代數(shù)方法解決幾何問題的能力外，還應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生認(rèn)識圖形、理解圖形的特征性質(zhì)，提升學(xué)生對圖形特征性質(zhì)的推導(dǎo)能力.

（四）代數(shù)方程幾何化思想

在解析幾何中，通過笛卡爾標(biāo)架可建立幾何圖形與代數(shù)方程間的對應(yīng)關(guān)系.上面我們討論了幾何圖形方程化的過程，反之，我們將討論根據(jù)給定方程畫出幾何圖形的一些探索，如畫出橢球面、雙曲面、拋物面的圖形.關(guān)于代數(shù)方程幾何化，這里我們采用二維到三維的推廣形式來進(jìn)行探討.

例4畫拋物線 y=x2 的函數(shù)圖形.

分析在中學(xué)函數(shù)的教學(xué)中，我們通過描點的方式畫出了函數(shù)的圖形.對于拋物線函數(shù) y=x2，分別取x=-3，-2，-1，0，1，2，3，得到對應(yīng)的y值，再通過連線畫出函數(shù)大致圖形.

例5畫出方程x2a2+y2b2+z2c2=1所代表的圖形.

分析由例4出發(fā)，從幾何角度來看，當(dāng)取x=-3，-2，-1，0，1，2，3時，它所代表的幾何圖形是平面上與y軸平行的直線.換言之，例4的操作過程可以看作用平行于 y 軸的直線截取函數(shù) y=x2 的圖形得到的交點，再連接交點，從而畫出圖形.推廣這種方法到三維空間曲面的方程中，采用平行于坐標(biāo)面的平面去截取例5中方程所代表的空間圖形，如取x=x0（-a≤x0≤a），即平行于坐標(biāo)面yOz的平面，可以得到：

y2b2+z2c2=1-x20a2，

這是一組橢圓，從而可畫出例5中的方程所表示的圖形——橢球面.當(dāng)然，還可以取平行于xOy，xOz 的坐標(biāo)面去截取圖形，這樣不僅可以畫出圖形，還可以加深學(xué)生對圖形及方程的認(rèn)識.這里采用了二維到三維推廣的形式，由淺入深地講解，有助于加深學(xué)生對圖形的印象，并有利于提高學(xué)生對幾何的研究興趣.

三、后記

綜上所述，解析幾何蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，與代數(shù)學(xué)關(guān)系密切，除此以外，解析幾何也可以與微積分的內(nèi)容聯(lián)系起來.

例6考察平面直線的參數(shù)方程r1（t）=（t，t） 與方程r2（t）=（t3，t3），t∈R.

分析從整體圖形的角度來看，在笛卡爾直角坐標(biāo)系下，這兩個方程所表示的直線是同一條平面直線 y=x，但兩個參數(shù)方程卻不相同.若換個角度看參數(shù)方程，比如將此直線看作是動點運(yùn)動的軌跡，參數(shù)t為時間參數(shù)，那么當(dāng)t=1時，有r1（1）=（1，1），r2（1）=（1，1），當(dāng)t=2時，有r1（2）=（2，2），r2（2）=（8，8）.這說明在t=1到t=2這個時間段內(nèi)，第二個參數(shù)方程所表示的點運(yùn)動的平均速度更快.由于瞬時速度是平均速度的極限值，可以計算兩方程的微分，得到動點在某時刻的瞬時速度.此時，解析幾何便與微積分等相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來.

解析幾何內(nèi)涵豐富，不僅蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思想，也推動著分析學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，它與代數(shù)學(xué)、分析學(xué)聯(lián)系緊密.教師在教學(xué)過程中應(yīng)將這些思想融入具體教學(xué)中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的密切聯(lián)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.與此同時，再融入相關(guān)歷史背景，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)及研究興趣.

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