趙賢芳

【摘 要】 “數(shù)學理解”作為一種研究新動向越來越受到大家的關注，為此筆者結合自己的教學談談如何立足“數(shù)學理解”改進的小學數(shù)學概念教學。從教育心理的角度看，基于數(shù)學理解的概念教學就是要建立有關概念的內在心理表征并使之構成能自動轉化的網(wǎng)絡。而從教學實際來看，就是把握概念的內涵與外延，能從文字角度領會，能舉實例來說明，能在實際運用中不斷拓展與升華對它的本質認識。我們把概念教學從“數(shù)學理解”的角度設計為四步曲：從生活中感知—從反思中歸納—從探析中明確-從聯(lián)系中定位。

【關鍵詞】 小學數(shù)學? 數(shù)學理解? 概念教學? 操作? 反思? 圖式

什么是“數(shù)學理解”？教育學家布魯納認為：如果一個數(shù)學概念一旦成為個體心理表征網(wǎng)絡的一部，那么數(shù)學知識就被理解了。這里所謂的“表征”包括動作、表象、書面符號、口頭語言與現(xiàn)實情境共五個類別，正是因為學生用不同的表征方式來表達數(shù)學概念并實現(xiàn)這些表征方式內部的轉化，所以學生就獲得了數(shù)學理解。據(jù)此筆者可以打個比方，假如有學生能夠準確畫出一個三角形，并在頭腦中建立鮮明的表象，而且能用書面符號表示它，能用口語說出他的核心特征，并能在許多圖形中準確地指出哪一個是三角形，這就說明他能從不同的知覺通道實現(xiàn)信息的轉化，從而形成三角形的認知網(wǎng)絡，那么他就完全理解了什么是三角形。

由上可見，從教育心理的角度看，基于數(shù)學理解的概念教學就是要建立有關概念的內在心理表征并使之構成能自動轉化的網(wǎng)絡。而從教學實際來看，就是把握概念的內涵與外延，能從文字角度領會，能舉實例來說明，能在實際運用中不斷拓展與升華對它的本質認識。從學習的層面分析，數(shù)學概念的理解就是要在多元智能理論的基礎上，發(fā)揮不同智能類型學生的特長，讓他們在自己擅長的領域中首先表達對概念的理解，然后又從其它感官通道切入深化理解，最終打通這些不同渠道的理解從而實現(xiàn)對概念的理解。過去我們認為學生對數(shù)學概念的理解應該準確劃一，而事實上不同的學習個體對概念進行內在心理表征的切入角度不全相同，正是這種差異為相互交流與探究提供了契機，也使得合作學習成為有價值的學習方式。所以基于數(shù)學理解的小學數(shù)學概念教學需要我們對傳統(tǒng)的師生與生生關系進行重新組構，這樣才能在與時俱進中實現(xiàn)對陳舊僵化式教學的顛覆。

一、源于生活的操作，感知概念意義

數(shù)學概念具有抽象難懂的特點，但它與學生的生活實際緊密相連，所以概念教學的首要環(huán)節(jié)應該是設置真實的生活情境，讓學生從生活情境中感受概念的屬性，同時要指導學生動手操作、動腦思考與動口表達，讓學生在真實感知的基礎上加深認識，為最終形成對概念本質的認識服務。

1. 運用合適的操作材料

教師要根據(jù)數(shù)學概念所涉及的生活實際選擇操作材料，考慮材料是否適合概念教學的需求，所選操作材料必須有一定的可操作性，能在課堂上比較便捷地進行操作，并能在操作中逼近與得出相關數(shù)學概念。比如對于乘法的意義——代表幾個相同加數(shù)的和，教師通過畫圖呈現(xiàn)3組蘋果，每組各5個，讓學生由此從加法轉化為乘法，然后讓學生也同樣畫一畫4組蘋果、每組3個，通過對加法的再認識逐步轉化而成為乘法運算，但如果不用畫圖的方式，那最好用小棒來代表蘋果，這樣操作起來更為方便?？梢?，操作材料并不一定需要是真實的，也可以是虛擬的，但必須是能便捷地幫助學生達成概念。

2. 選擇適宜的操作方式

操作方式的好壞與能否構建概念的意義密切相關，操作方式的選擇要有助于調動學生思考的積極性，形成對概念的直觀感受。操作方式不僅包括學生動手操作，還包括演示操作以及對圖形的觀察、比較與具體的計算。上邊乘法的意義教學中，教師首先進行演示操作，然后讓學生自行畫圖操作，充分考慮到學生操作的難度而實行由扶到放的策略，這種操作方式顯然是可取的。

3. 給以足夠的材料與時間

在概念教學過程中，教師要為學生提供充足的操作材料，并給以足夠的操作時間，便于學生通過多方面思考達成對概念的比較全面的感知與比較充分的理解。

4. 布置恰當?shù)牟僮魅?/p>

操作任務的布置要考慮到學生的知識與能力水平，過高與過低的要求都會影響學生參與的積極性。操作任務必須以概念學習為中心，不能搞花架子，走形式主義。

二、立足過程的反思，形成概念定義

學生圍繞概念意義進行的生活化操作只能獲取感性經(jīng)驗，要想使感性經(jīng)驗理性化，那就必須進行積極的自主建構，經(jīng)過反思最終形成概念。

1. 用生活化語言描述操

教師設計一些梯度性的問題引導學生思考，讓學生用生活化語言對操作過程的感性認識進行描述與反思，有助于形成對數(shù)學概念的多角度體驗。比如在部編版《解簡易方程》的教學中，為了幫助學生建立方程的概念，教材提供了一些操作圖片，教師可以讓學生結合圖片觀察，再觀察教師的演示操作，然后用生活化的語言描述：杯子的重量是100克;一杯水的總重量與兩個大砝碼和一個小砝碼的總重量相同;小砝碼重50克，一個大砝碼重100克;杯子與水的總重量比兩個大砝碼要重，比三個大砝碼要輕……這些描述與方程似乎風牛馬不相及，而且雜亂無章，但已經(jīng)為學生從生活中抽象出方程概念提供了比較、分析的基礎。

2. 用數(shù)學化語言抽象操作

生活化語言是一種原生態(tài)的經(jīng)驗性語言，不一定符合數(shù)學語言的要求，讓學生將剛才對操作過程進行的描述與反思再進一步加工，就可能形成相對規(guī)范的數(shù)學化語言，從而為抽象出數(shù)學概念打下基礎。比如經(jīng)過上述語言表述，從中發(fā)現(xiàn)存在如下關系：杯子與水的總重量比兩個大砝碼要重;杯子與水的總重量比三個大砝碼要輕;一杯水的總重量與兩個大砝碼加上一個小砝碼的總重量相同。如果設水的重量為x克，那么就可以得出：100+x>100+100+50;100+x<100+100+100;100+x=100+100+50。這樣就通過數(shù)學符號實現(xiàn)了對生活化語言的數(shù)學轉換，而且這里已經(jīng)出現(xiàn)了不等式與方程，為最終方程概念的建立打下了基礎。

3. 提煉形成概念定義

數(shù)學化語言比生活化語言更接近概念實質，但是數(shù)學化語言還有待于進一步提煉與總結。上述等式“100+x=100+100+50”為學生提供了方程的范例，通過教師指導下的比較：①它100+x>100+100+50和100+x<100+100+100有什么區(qū)別？（它屬于等式）②100+x=100+100+50這個等式與我們以前學過的計算等式有什么區(qū)別？（它含有未知數(shù)）。于是我們可以這樣說：像100+x=100+100+50這樣含有未知數(shù)的等式叫做方程。（教材原話）至此，方程的定義終于閃亮登場，而且水到渠成。

三、基于對象的探析，明確概念要義

在操作與反思階段，數(shù)學概念是落實在過程中的，具有動態(tài)的特征，接下來我們要讓學生形成靜態(tài)的概念，把概念所屬的對象作為重點來研究以進一步架構概念的要義，這需要關注學生的最近發(fā)展區(qū)，通過有計劃的提問與舉例進一步把探究引向深入：

1. 辨析

辨析一列對象是否屬于概念所指的對象，有助學生明確概念的要義，從而進一步使概念的內涵逐漸豐富起來。比如讓學生辨別“你認為下列幾個式子中哪幾個屬于方程”，在多種不同的算式中，學生可能發(fā)現(xiàn)：有一個式子沒有等號或者用的是不等號，因為不屬于等式，所以不構成方程;有的等式中沒有未知數(shù)，所以也不是方程;有的等式含有的未知數(shù)有兩個，一個是x，一個是y，但它也屬于含有未知數(shù)的等式，所以是方程。

2. 模仿

概念所屬的對象有很多，都包括在概念的外延之中，讓學生模仿寫出更多屬于概念的對象并加以辨析，有助于進一步明確概念的外延范圍。

3. 變式

上述辨析過程中可能已經(jīng)涉及方程的變式，比如方程也可以有超過1個的未知數(shù)，還可以是分數(shù)形式的等式，未知數(shù)可以用x來表示，還可以用a表示，甚至可以用Δ來表示……在保留概念本質屬性不變的情況下盡可能更換非本質屬性，變式訓練的方法將使學生對概念要義的把握更為精煉而周到。

四、打造圖式的網(wǎng)絡，凸顯概念功能

經(jīng)過上述環(huán)節(jié)，學生會把新學到的概念與原有的心理圖式進行整合，逐漸形成新的知識體系。此時，以內在圖式的整合為目標，教師的任務在于幫助學生構建相關概念間的聯(lián)系。

1. 構建縱向聯(lián)系

概念的縱向聯(lián)系指的是同一知識框架中思維內容有關聯(lián)的概念間的聯(lián)系。比如“任意三角形——等邊三角形——等腰三角形”是以邊的長度關系來區(qū)分的一組三角形的概念，而“直角——銳角——鈍角”則是以角的大小來區(qū)分的三個角的概念?？v向聯(lián)系的概念在教學時間上一般較近，也有較遠的，比如：“三角形——四邊形——多邊形”，它們都從屬于“線段首尾相連組成的封閉圖形”。

構建概念的縱向聯(lián)系時需要注意聯(lián)系在形式的區(qū)別，否則就可能出現(xiàn)內涵與處延的失誤，比如從屬于三角形的概念有：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形、任意三角形、等腰三角形、正三角形。前三個概念是三角形按角分的結果，而后邊三個則是按邊長來分的三角形的概念。我們不能把三角形分成上述六類，因為有重疊，另外正三角形只是等腰三角形的一個特例，不能認為他們是互為獨立的兩個概念。所以我們可以用思維導圖表示如下：

2. 拓展橫向聯(lián)系

橫向聯(lián)系是新概念與不同知識框架內的其它概念間的聯(lián)系。比如“除法、分數(shù)、比”這三個概念，除法代表一種運算，分數(shù)代表一個數(shù)，而比則是比較兩個量的特殊算式，他們不但在數(shù)學邏輯上完全不同，而且在具體應用場合也不全相同，但是他們有著重要的聯(lián)系：比值與分數(shù)值在計算時運用的就是除法。所以除法所具有的性質在分數(shù)與比中也存在，比如商不變的性質，再比如“被除法與除數(shù)交換位置后所得商與原來的商互為倒數(shù)”這對分數(shù)、比來說也存著同樣的對應關系、再比如“數(shù)學中沒有除法分配律，但是如果把被除數(shù)拆成兩數(shù)之和，那么除法的運算結果等于這兩個數(shù)分別除以除數(shù)所得商之和。這些都可以在分數(shù)與比中進行類似拓展。

經(jīng)過上述縱橫聯(lián)系，概念在頭腦中形成的圖式就形成了網(wǎng)絡，而網(wǎng)絡中的概念圖式是有序的，它們在數(shù)學知識大廈中各就各位、各司其職，便于學習者進行理解、記憶與提取。

綜上所述，我們把概念教學從“數(shù)學理解”的角度分成四步，其過程可以簡要概括為“從生活中感知-從反思中歸納-從探析中明確-從聯(lián)系中定位”，這四步要解決達到的結果是“見識過了——說得出了——明白了——找得到了?！奔偃绨褦?shù)學概念體系看作一個平面直角坐標系，每一個數(shù)學概念作為坐標系中的一個點，它的屬性包括他所在的象限、所對應的縱坐標與橫坐標等，如何找到這個特殊的點呢？“見過了”就會有印象，但往往不知道怎么去找，“說得出”可能也認得出，但還是不知道他的位置，“明白了”所在位置的特征也只是獲取了尋找這個點的線索，“找得到了”才是真正有價值的結果。

盡管“數(shù)學理解”可以為小學數(shù)學概念教學注入新鮮血液，然后真正要實現(xiàn)教學的自由、和諧與高效，還需要教師不斷深入學習基礎數(shù)學教學理論，才能引領學生站得更穩(wěn)、走得更遠。

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