基于翻轉(zhuǎn)課堂的工程數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與探索

徐蓉 曹愛華 郭月玲

摘 要 “翻轉(zhuǎn)課堂”作為一種全新的教學(xué)模式，其教育理念是轉(zhuǎn)變師生角色，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體。與傳統(tǒng)教學(xué)法相比，具有兼顧學(xué)生個體差異、增強(qiáng)師生互動交流、加強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和團(tuán)體合作的優(yōu)勢。所以本文立足于翻轉(zhuǎn)課堂的工程數(shù)學(xué)教學(xué)研究，在我校電信學(xué)院2019級通信1901-02班開展實(shí)踐教學(xué)，探究該教學(xué)法的可行性，并不斷跟蹤教學(xué)過程，及時發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，從而更好的培養(yǎng)學(xué)生的自主能動性，提升課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 工程數(shù)學(xué) 教學(xué)實(shí)踐 翻轉(zhuǎn)課堂

中圖分類號：G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.03.026

Practice and Exploration of Engineering Mathematics Teaching

Based on Flipped Classroom

XU Rong， CAO Aihua， GUO Yueling

（Institute of Mathematical Science and Energy Engineering， Hunan Institute of Technology，

Hengyang， Hunan 421002）

Abstract As a brand-new teaching mode， the educational philosophy of "Flip Classroom" is to change the roles of teachers and students， so that students can become the main body of learning. Compared with the traditional teaching method， it has the advantages of taking into account the individual differences of students， enhancing the interaction between teachers and students， and strengthening students' autonomous learning and group cooperation. Therefore， this paper is based on the research of engineering mathematics teaching in flip classroom ， and carries out practical teaching in Class 1901-02， Grade 2019， School of Telecommunications， our school， explores the feasibility of this teaching method， keeps tracking the teaching process， finds problems and solves them in time， so as to better cultivate students' initiative and improve the quality of classroom teaching.

Keywords engineering mathematics; teaching practice; flipped classroom

工程數(shù)學(xué)包括線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩門課程，主要應(yīng)用于工程技術(shù)學(xué)科和管理學(xué)科的各個領(lǐng)域。目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維能力及分析問題、解決問題的能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程及進(jìn)一步提高打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。由于課時少、內(nèi)容多，教師的教課模式依然是采用傳統(tǒng)的授課方式，教師向?qū)W生灌輸書本上的公式和概念，學(xué)生被動地聽課和接受。此教學(xué)模式嚴(yán)重地束縛了學(xué)生的創(chuàng)新思維，學(xué)生在沒有獨(dú)立思考的情況下，同樣缺乏在生活中對所學(xué)知識的實(shí)際運(yùn)用和操作，不利于應(yīng)用創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。如今，互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)正在改變著學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。翻轉(zhuǎn)課堂作為一種全新的教學(xué)模式，給大學(xué)課堂帶來了新聲和活力，它不僅完全迎合了學(xué)生個性化的需求，也提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性。

近幾年來，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式發(fā)展較快，理論研究有了初步成果，但實(shí)踐研究比較少。本文結(jié)合學(xué)校實(shí)際，適時開展“工程數(shù)學(xué)”課程翻轉(zhuǎn)課堂的實(shí)踐教學(xué)，探究該教學(xué)法的可行性，旨在提升教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的終生學(xué)習(xí)和創(chuàng)新的能力。

1 工程數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂的意義

目前，我校工程數(shù)學(xué)課堂存在著課時少、內(nèi)容多、學(xué)生參與度低、學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊導(dǎo)致兩極分化等現(xiàn)象。將翻轉(zhuǎn)課堂應(yīng)用到工程數(shù)學(xué)，有以下幾點(diǎn)優(yōu)勢：（1）讓學(xué)生的學(xué)習(xí)不受時間、空間的限制，符合當(dāng)代大學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的需求。（2）教學(xué)視頻以其便捷性、可重復(fù)性等特點(diǎn)滿足了學(xué)生差異化學(xué)習(xí)的需要，很好地解決了我校部分專業(yè)文理兼招的現(xiàn)狀。（3）增強(qiáng)了學(xué)生的自主能動性，培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊(duì)合作能力。（4）多元化的綜合評價體系能鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，加強(qiáng)了師生之間的溝通與交流。

2 工程數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)過程

2.1 課前準(zhǔn)備

（1）項(xiàng)目組成員在超星學(xué)習(xí)通開設(shè)了可共享的工程數(shù)學(xué)（線性代數(shù)）和工程數(shù)學(xué)（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）在線資源。每小節(jié)內(nèi)容包括學(xué)習(xí)目標(biāo)、教學(xué)課件、教學(xué)微視頻、本節(jié)自測、知識拓展、討論;章節(jié)后附有章節(jié)測試、Matlab程序、考研專輯。

（2）建立班級QQ群，便于線下交流、答疑解惑。告知學(xué)生本學(xué)期翻轉(zhuǎn)課堂的學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)為視頻發(fā)放、課前網(wǎng)上自主學(xué)習(xí)、課堂講授和討論、課后練習(xí)和鞏固、課外知識拓展等環(huán)節(jié)。

（3）此次試點(diǎn)班級為通信1901-02班，由學(xué)委征求個人意見后分為10組，每組設(shè)組長一名。

（4）結(jié)合專業(yè)的特點(diǎn)及本教學(xué)班學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，合理地安排好適合翻轉(zhuǎn)的內(nèi)容，如二三階行列式、矩陣的概念和運(yùn)算、逆矩陣的計(jì)算、方陣的特征值和特征向量、二次型的概念和應(yīng)用、古典概型、幾何概型、期望和方差。

2.2 翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)及能力目標(biāo)（見表1）

3 工程數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)實(shí)踐與探索——以逆矩陣為例

3.1 教學(xué)內(nèi)容及要求

教學(xué)內(nèi)容：普通高等學(xué)?！笆濉币?guī)劃教材、北京大學(xué)出版社、譚瓊?cè)A主編的線性代數(shù)的第二章第三節(jié)《矩陣的逆》。

教學(xué)目標(biāo)： 掌握矩陣的逆以及其存在的充要條件和計(jì)算方法。

教學(xué)重點(diǎn)：逆矩陣的概念和伴隨矩陣的計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：求逆矩陣公式的推導(dǎo)。

3.2 發(fā)布任務(wù)

在學(xué)習(xí)通發(fā)布通知，要求學(xué)生完成的任務(wù)點(diǎn)2.3，主要是觀看視頻、完成微練習(xí)，并記錄疑難問題。

3.3 翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)實(shí)踐

3.3.1 課前預(yù)習(xí)反饋

先由三組的同學(xué)代表將本節(jié)視頻學(xué)習(xí)和微練習(xí)中記錄的問題反饋給教師，從學(xué)生的反饋中發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)為逆矩陣公式法的推導(dǎo)及伴隨矩陣的求法。

3.3.2 課中知識內(nèi)化

教師無須像傳統(tǒng)教學(xué)法那樣滿堂灌，而是有針對性地給予學(xué)生答疑解惑。

本節(jié)重點(diǎn)在于伴隨矩陣的計(jì)算，特別是每個元素的符號及在矩陣中的位置應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，然后運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生從拉普拉斯定理的推論上推導(dǎo)出逆矩陣的公式，讓學(xué)生真正明確伴隨矩陣元素的行列標(biāo)為何要互換及逆矩陣存在的充要條件。在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，教師講解典型例題，布置難度適宜的課堂練習(xí)，個別輔導(dǎo)。

接下來課堂的主要任務(wù)是知識遷移、理論聯(lián)系實(shí)際、分組討論，團(tuán)結(jié)協(xié)作。結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，教師可以采用案例教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)逆矩陣在生活中的應(yīng)用。如保密通信是目前非常重要的一門技術(shù)，許多科技工作者做了大量的工作，提出了許多有效的保密通信模型，其中基于加密技術(shù)的保密通信模型就是其中一種：發(fā)送方采用某種算法將明文數(shù)據(jù)通過密鑰加密轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)發(fā)送給接受方，接收方則可以采用對應(yīng)的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密轉(zhuǎn)換成明文數(shù)據(jù)。一種加密技術(shù)是否有效，關(guān)鍵在于密文能否還原成明文。設(shè)為明文矩陣，為可逆矩陣（即加密密鑰），為密文矩陣，若加密算法為，則解密算法為，這就是有效的加密方式。

依據(jù)上述應(yīng)用背景，同學(xué)們分組討論以下問題：芳芳的朋友給她發(fā)了一封密信，它是一個三階方陣。約定1：密鑰為，約定2：消息的每個英文字母用一個整數(shù)表示，數(shù)字1-26分別對應(yīng)著26個英文字母，0表示“.”，試求芳芳的朋友發(fā)來的密碼內(nèi)容？

此問題一出就激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情，課堂上大家討論得非常激烈。在明確了矩陣、、后，有些小組開始了明確的分工合作，他們將任務(wù)分為計(jì)算伴隨矩陣、行列式、矩陣乘法、翻譯明文等小模塊。幾分鐘后，在組員的團(tuán)結(jié)協(xié)作下得出了結(jié)論。然后分請兩組代表上臺講解，正確組的答案為“I miss you.”，錯誤組的結(jié)論是連不成一句英文句子。在分析錯誤組的原因后發(fā)現(xiàn)錯誤的關(guān)鍵在于矩陣和混淆。最后由同學(xué)們歸納總結(jié)出密鑰矩陣一定要是可逆矩陣，不然就不是有用的加密技術(shù)。

3.3.3 課后知識鞏固

（1）要求學(xué)生完成課后練習(xí)及學(xué)習(xí)通2.10中的相關(guān)內(nèi)容微測試。將疑難問題上傳至QQ群，大家共同探討，而后由教師在線答疑。

（2）查閱資料，了解逆矩陣的其他應(yīng)用。

（3）思考：二階及三階方陣的逆可以用公式法求，若矩陣為三階以上的矩陣還適合用公式法嗎？還有沒有其他方法求逆矩陣呢？

3.3.4 課外知識拓展

由于學(xué)生已經(jīng)從理論上掌握了逆矩陣的相關(guān)知識點(diǎn)，所以課外可由學(xué)生自學(xué)2.11節(jié)逆矩陣的Matlab程序和相關(guān)命令，不僅能解決我校數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程開設(shè)困難的問題，也能為學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。考研專輯模塊的要求是選學(xué)，很好地幫助想考研的同學(xué)及時掌握要點(diǎn)和考點(diǎn)。

3.3.5 綜合考評

課前評價：教師通過學(xué)習(xí)通布置的任務(wù)點(diǎn)查看學(xué)生在線學(xué)習(xí)情況，及時了解學(xué)生存在的問題。

課中評價：利用發(fā)布的優(yōu)質(zhì)資源，結(jié)合傳統(tǒng)的PPT+黑板的講授方法，對學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行講解，引導(dǎo)討論爭辯及課堂知識內(nèi)化。在分組討論、團(tuán)結(jié)協(xié)作的過程中，由教師、學(xué)生及組長完成師評、自評和互評，及時地得到學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的反饋。

課后評價：教師以課后作業(yè)、章節(jié)微測試等形式考核學(xué)生，一方面輔助學(xué)生完成復(fù)習(xí)鞏固，另一方面通過自動匯總的數(shù)據(jù)整體評估學(xué)生學(xué)習(xí)效果。

通過以上三種評價既可以形成多元化、開放式的綜合評價體系，又可以由統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析產(chǎn)生的原因，從而教師可以適時地調(diào)整教學(xué)安排，更好地推進(jìn)課堂教學(xué)的改革。

4翻轉(zhuǎn)課堂實(shí)踐教學(xué)中應(yīng)注意的問題

（1）翻轉(zhuǎn)課堂不是完全否認(rèn)傳統(tǒng)的教學(xué)模式，而是要根據(jù)所授知識點(diǎn)的難易程度有機(jī)結(jié)合多種教學(xué)模式適時翻轉(zhuǎn)。

（2）在翻轉(zhuǎn)過程中，教師不應(yīng)過多強(qiáng)調(diào)對錯，應(yīng)以鼓勵為主。目的是讓學(xué)生最大限度地參與課堂，開闊思維，提高創(chuàng)新能力。

（3）翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式不是一成不變的，應(yīng)根據(jù)課程的特點(diǎn)及專業(yè)特色不斷調(diào)整，在教學(xué)實(shí)踐中不斷完善。

5 結(jié)束語

工程數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂是我校工程數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)的一次新的嘗試，在教學(xué)過程中，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力、課堂參與度都有所提升。在今后的教學(xué)中，應(yīng)不斷地解決遇到的問題和挑戰(zhàn)、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，更好地提高教學(xué)質(zhì)量。

基金項(xiàng)目：湖南省2018年普通高校教學(xué)改革研究“基于翻轉(zhuǎn)課堂的《工程數(shù)學(xué)》教學(xué)改革與實(shí)踐”（AS1809）

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