微分中值定理的證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

張?zhí)谷?/p>

摘 要 微分中值定理是一元微分學(xué)中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。本文討論微分中值定理的相關(guān)證明中，所需要的輔助函數(shù)的常用構(gòu)造方法。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 微分中值定理 輔助函數(shù)

中圖分類號：O172 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.03.019

The Construction Method of Auxiliary Function in the Proof of

Differential Mean Value Theorem

ZHANG Tanran

（School of Mathematical Science， Soochow University， Suzhou， Jiangsu 215006）

Abstract Mean Value Theorem is an important learning object in the singular variable calculus. In this paper， we discuss the common constructing method of auxiliary functions during the proof of Mean Value Theorem.

Keywords advanced mathematics; differential mean value theorem; auxiliary function

1微分中值定理

（1）羅爾定理。若函數(shù)在閉區(qū)間[]上連續(xù)，在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)且在區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值相等，即，則至少存在一點，使得。

（2）拉格朗日中值定理。若函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)， 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點，滿足等式。

（3）柯西中值定理。若函數(shù)和均在上連續(xù)， 在（）內(nèi)間可導(dǎo); 且對任意有;則至少存在一點，使得。

2輔助函數(shù)的構(gòu)造

2.1 積分因子法

積分因子法的原理， 是構(gòu)造一個原函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)中含有所要證明的結(jié)論中的式子。若需要證明的等式中含有中值，先移項，使要證等式的一邊為0， 將含有的另一邊記為。而的原函數(shù)有時不易找到，這時我們需要構(gòu)造輔助函數(shù)，使得'（）的表達(dá)式中含有這一項， 這就是積分因子法。也就是說， 積分因子法的思想是， 等式=0的兩邊同乘一個函數(shù)， 使得剛好是某一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)即為積分因子。這種方法一般適用于要證的結(jié)論中僅含有的情況。

例1 設(shè)在[0，1]上連續(xù)， 在上可導(dǎo)， 且。 求證： 至少存在一點， 使。

分析? 希望證明的等式移項去分母后得。 將換成， 則需構(gòu)造輔助函數(shù)， 使， 或者的表達(dá)式中含有這一項。這就想到積分因子選取為， 輔助函數(shù)為。

證明 令

因， 故在[0，1]上連續(xù)， 在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)， 且（0）=（1）。由羅爾定理知， 存在一點， 使 ，所以， 即。證畢。

例2? 設(shè)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)， 在（0，1）上可導(dǎo)， 且 。求證： 至少存在一點， 使。

分析 要證的結(jié)論中僅含有，將寫成后移項得， ， 左邊的原函數(shù)不容易找到， 故考慮使用積分因子法。 注意到

則即為所需的積分因子。 所以令，在區(qū)間[0，1]上連續(xù)， 在（0，1）上可導(dǎo)， 且， 則由羅爾定理即可得證。證明略。

2.2 原函數(shù)法

原函數(shù)法， 是需要構(gòu)造的輔助函數(shù)剛好是某函數(shù)的原函數(shù)。這是一類比較基本的輔助函數(shù)構(gòu)造方法， 它可以看作是積分因子法的特例。在積分因子法中， 移項之后我們需要構(gòu)造輔助函數(shù)， 使得要證等式的其中一邊是'（）的一部分; 而有時的原函數(shù)容易找到， 這時令為的一個原函數(shù)即可， 這就是原函數(shù)法。這種方法一般適用于要證的等式中移項后一邊的原函數(shù)容易找到的情況。

例3? 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)， 在（0，b）上可導(dǎo)， =0。 求證： 至少存在一點， 使。

證? 將要證明的結(jié)論中寫成， 則結(jié)論變?yōu)?/p>

顯然上式左邊有一個原函數(shù)為， 記其為， 故在[0，b]上連續(xù)， 在（0，b）上可導(dǎo)， 且。則由羅爾定理知，存在一點， 使， 即。證畢。

注? 例3的結(jié)論中能夠分離出兩個不同函數(shù)， 故還有以下使用柯西中值定理的方法。

證明 將要證明的結(jié)論寫為

由柯西中值定理即得證。證畢。

2.3 值法

值法， 適用于要證的結(jié)論中含有某點的函數(shù)值的情況， 這里屬于所考慮的閉區(qū)間。 值法首先在待證等式中分離出只含有的常數(shù)， 整理得到一個含有的等式且其一邊為0;然后在這個等式中不為0的一邊將換成， 從而得到需要的輔助函數(shù)。 值法是一種比較靈活的構(gòu)造方法， 很多帶有高階導(dǎo)數(shù)的問題可以使用它來證明。上面的例3即有如下證法。

例3的證明 將要證明的結(jié)論寫為

將不含的那一邊記作常數(shù)，

即。 把換成， 令

，其中，

則有。故由羅爾定理知，存在一點， 使， 即。證畢。

例4? 設(shè)，在[a，b]上存在三階導(dǎo)數(shù)。 求證：存在，使

分析? 將要證的式子移項， 注意到

， 有

記上式右邊為， 則由值法知道輔助函數(shù)的形式可構(gòu)造為的低次項。結(jié)論中出現(xiàn)了三階導(dǎo)數(shù)，考慮使用三次羅爾定理，因此需要， 即得的形式。

證明 令

，

其中。則在上存在三階導(dǎo)數(shù)， 且。 由羅爾定理知， 分別存在， ， 使得， 。又因為， 由羅爾定理知， 分別存在， ， 使得， 。再由羅爾定理知， 存在， 使得， 即， 整理即得所要證的結(jié)論。證畢。

注：

（1）此題輔助函數(shù)的形式較為復(fù)雜， 因此也可以先證且的情況，再令即可。（2）若使用達(dá)布定理和泰勒展開式， 本題證明可以大大簡化， 即以下證法。

方法二

證明? 因在上存在三階導(dǎo)數(shù)， 在點處有泰勒展開式

其中， 介于和之間。 分別令， ， 代入有

其中， 。上兩式聯(lián)立， 整理后得

將上式右端記為。若，令，得即為要證的結(jié)論。若，則和中必有一個小于， 另一個大于。這時由達(dá)布定理可知， 必存在，使。證畢。

由例4可知，有時通過值法構(gòu)造的輔助函數(shù)很復(fù)雜， 這就需要考慮其他的方法。

基金項目：2019年江蘇省高等教育教改立項研究課題（2019JSJG335）

參考文獻

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊[M]. 北京：高等教育出版社，2014：137-143.

[2] 嚴(yán)亞強.高等數(shù)學(xué)：上冊[M].北京：高等教育出版社，2019：132-136.