開展“一題一課”，追求“少慢精深”

朱月鳳

我國著名數(shù)學家李大潛院士在復旦大學數(shù)學科學學院新生迎新大會上的講話中提到學好數(shù)學要做到“少慢精深”，而不是刷題式的貪多求快。筆者在中考復習備考期間以“一題一課”進行解題教學，積極實踐李院士提出的“少慢精深”數(shù)學學習理念，取得較好的教學效果。筆者結(jié)合本地區(qū)一道新定義幾何中考題開展“一題一課”教學，現(xiàn)將教學過程整理成文，并闡釋教學立意。

一、考題呈現(xiàn)及說明

定義：我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點。過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形，若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫作這個三角形的“內(nèi)似線”。

（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為 ;

（2）如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內(nèi)似線”;

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內(nèi)似線”，求EF的長。

說明：這是2017年的南通中考第27題，不少學生在問題求解時遇到困難，有些是構(gòu)圖不當，有些是缺少一些鋪墊式問題的輔助思考，沒有順利貫通思路，筆者決定通過“一題一課”的形式來幫助學生掌握這類問題的求解方法。

二、“一題一課”教學過程

教學環(huán)節(jié)一：引例熱身

引例1：思考與直角三角形內(nèi)心有關(guān)的問題。

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，請你說說怎樣找到△ABC的內(nèi)心。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，圍繞△ABC的內(nèi)心，你能得到哪些結(jié)論？

預設(shè)：直角三角形的兩直角邊是3和4，則內(nèi)心到三邊的距離是1。通過開放式問題，復習三角形內(nèi)心的概念，尋找三角形內(nèi)心的途徑以及與三角形內(nèi)心有關(guān)的結(jié)論。

設(shè)計意圖：引例1起到熱身的目的，組織學生有效復習了直角三角形的內(nèi)心，然后特殊化為“3，4，5”的直角三角形。學生通過議論、對話和交流，對這個圖形下的性質(zhì)有較為全面的認識和思考。

引例2：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是邊AC上一點，且滿足AD=3，你能在邊AB上找一點E，使得△ADE與△ABC相似嗎？

教學記錄：如圖3、圖4，請學生到前面來展示作圖方法，說說具體作法，寫寫相似，強調(diào)對應，總結(jié)模型。

在學生畫出圖3、圖4之后，先圍繞圖3這種基本圖形（“A型”相似），可預設(shè)以下問題：如圖3，在這個基本圖形中，DE與BC在位置上有什么樣的關(guān)系？DE與BC之間的距離是多少？內(nèi)心O到邊BC的距離是多少？線段DE經(jīng)過內(nèi)心O嗎？你能求出DE的長度嗎？（以上系列“問題串”可以漸次呈現(xiàn)，可結(jié)合學情相機給出，如果學情很好，還可鼓勵學生自主提出一些問題。）

接著再引導學生觀察圖4，圍繞圖4這種基本圖形（“反A型”相似），預設(shè)以下問題：如圖4，你能求出DE的長度嗎？

在此基礎(chǔ)上，將圖4中DE所在的直線向下平移（如圖5），使其經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，與邊AC、BC所在的直線分別交于D'、E'。引導學生思考：點D'在邊AC上嗎？若在，求出D' E'的長度。

解后反思：對比圖3和圖5中的DE與D' E'，這兩條線段具有哪些共同特征？

教學意圖：引導學生回顧三角形相似的知識，滲透A型與反A型相似的印象，為后面新問題的分類討論以及如何求內(nèi)似線的長度設(shè)好鋪墊。圍繞基本圖形，進行一系列的變式研究，特別是對經(jīng)過內(nèi)心的直線截三角形兩邊得到的三角形與原三角形相似時，如何分析對應邊之比，并利用相似比求出相應線段的長度，這樣的問題經(jīng)過充分探究之后，可以對本課將要研究的新定義考題的最后一問達成較好的鋪墊作用，實現(xiàn)鋪平墊穩(wěn)的設(shè)計目標。

教學環(huán)節(jié)二：考題講評

呈現(xiàn)2017年南通中考第27題，刪除基礎(chǔ)問，只保留第（3）問。

教學過程：學生獨立思考5分鐘后，圍繞題意，請同學們談?wù)剬σ阎獥l件有什么樣的認識;受到“引例2”中求D' E'長度的啟示，看看可以從哪里著手解決此題。嘗試添加輔助線。接下來進行思路突破與解法交流。限于篇幅，不再給出具體的解法示意。

學生講評之后，進行必要的小結(jié)或解后反思，提煉一些關(guān)鍵步驟，然后安排相關(guān)學生復述（“再說一遍”）。最后可給出一道變式拓展題如下：

【拓展思考】該直角三角形中，你能找到幾條內(nèi)似線？都能求出它們的長度嗎？

教學過程：針對2017年南通中考新定義考題的第（3）問，學生獨立思考之后，快速獲得思路的學生先在小組內(nèi)交流討論，然后大組匯報，在進展到關(guān)鍵步驟時，教師讓其他學生復述思路，這樣可以讓更多的學生的思維被充分卷入解題思路中。

三、教學立意的進一步闡釋

第一，較難題教學備課要追求深度思考。

每份練習都有少數(shù)較難題，教師往往把課堂教學時間花在這些較難題上，但是講評后卻總感覺效果不好，仍然只有少數(shù)優(yōu)秀學生能跟得上講評節(jié)奏。這時，教師可反思講評的用力點是否精準，如果按照所謂參考答案的解答方式“順流而下”，可能就是備課的功夫不足，沒有想清辨明備課用力點。我們認為，教師在講評這些較難題之前，自己要對考題的關(guān)鍵步驟、主要難點、易錯點想清悟透，然后針對這些關(guān)鍵步驟、主要難點或?qū)W生可能的障礙預設(shè)一些教學環(huán)節(jié)進行難點突破。比如上文的課例中，我們設(shè)計了兩個“引例”，就幫助了更多學生進行“熱身訓練”，再出示那道較難題時，學生就能獲得思路啟示，進而快速想到思路并解答成功。

第二，較難題教學要重視關(guān)鍵步驟處理。

教師在較難題教學時要十分重視一些關(guān)鍵步驟的處理，比如充分解讀題意，特別是針對本文課例中關(guān)注到的新定義問題，可先引導學生深入理解新定義的本質(zhì)或內(nèi)涵，必要時要讓學生畫圖并結(jié)合圖形在小組內(nèi)交流各自對新定義本質(zhì)的理解，然后再迎難而上，各個擊破。在碰到較難題時，組織學生善于排除干擾，分析并“暴露”出問題的求解目標，有時這種“暴露”目標的解析工作也是解題征途中的關(guān)鍵步驟，要讓學生學會這種解題技術(shù)。還有，在處理某些關(guān)鍵步驟時，可能會遇到對一些經(jīng)典問題或拓展變式的處理，這時如果學生沒有能及時想到這些經(jīng)典問題或拓展變式的解法思路，教師可通過必要的鋪墊式問題（如本文課例的兩個“引例”），讓學生先做好必要的熱身復習，再迎難而上，往往就能順利地攻克較難題。學生經(jīng)歷這樣的解題教學過程，不但能解出這一道較難題，而且能悟出今后如何分析較難題。這也就是實現(xiàn)了從“授人以魚”到“授人以漁”的教學追求。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）

本文系江蘇省南通市規(guī)劃辦“十三五”課題“‘學材再建構(gòu)的初中數(shù)學課例研究”（編號：2020007）階段性研究成果。