王建紅
(上海立信會(huì)計(jì)金融學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,上海201209)
行列式是線性代數(shù)課程中的一個(gè)基本概念,也是解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。行列式的出現(xiàn)源于線性方程組的求解,是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。后來(lái),瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則作出了比較完整、明確的闡述,并給出了現(xiàn)在所稱(chēng)的解線性方程組的克萊姆法則[1,2]。行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、線性方程組理論和二次型理論等多方面有著重要的應(yīng)用。除了數(shù)學(xué)學(xué)科上的應(yīng)用之外,其在物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)以及其他技術(shù)學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用[3,4]。行列式的理論奠定了高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),同時(shí)也為數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛運(yùn)用提供了理論依據(jù),因此行列式的計(jì)算是線性代數(shù)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。其計(jì)算方法較多,技巧性較強(qiáng)。要想掌握好行列式的計(jì)算,首先需具體分析所求行列式的特點(diǎn)和元素的規(guī)律性,針對(duì)其特征采取適當(dāng)?shù)姆椒?。其次,通過(guò)做題不斷總結(jié),積累經(jīng)驗(yàn)。本文通過(guò)分析一些具體行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),介紹了常見(jiàn)的9種計(jì)算具體行列式的方法,給出了一些計(jì)算抽象型行列式的技巧。
定義:
其中p1,p2…p n是n階排列。
由行列式定義可知,其展開(kāi)是n!項(xiàng)之和,因此定義法基本只適合低階(二或三階)行列式和非零元素特別少的行列式(一般不多于2n個(gè))。對(duì)于有些零元素分布比較有規(guī)律,如上(下)三角形行列式和含有零塊的行列式,也可以考慮利用定義法計(jì)算。由于定義法不太常用,這里不舉例說(shuō)明。
性質(zhì):
該性質(zhì)中的行列式分別稱(chēng)為主對(duì)角線和次對(duì)角線的上(下)三角行列式。一般地,行列式自身不一定滿(mǎn)足此形式,可利用行列式的性質(zhì)將其化為該形式?;切畏ㄊ切辛惺接?jì)算中最常用的方法,特別適合于一類(lèi)爪型(或可化為爪型)行列式以及行和(列和)相等的行列式計(jì)算。所謂爪型行列式是指除首行首列和主對(duì)角線元素外其余元素均為零的行列式。
解法一:各行元素之和相等,將所有列加至第一列,再化為上三角行列式。
解法二:可將各行減去第1行,化為爪型行列式,再化為上三角行列式。
利用行列式按行(列)展開(kāi)定理或拉普拉斯定理將其降成低階行列式計(jì)算。按行(列)展開(kāi)前一般需要利用行列式的性質(zhì)將某行(列)化為只有一個(gè)非零元素的行(列)。若行列式中出現(xiàn)大片的零元素,即包含零塊,且非零的k階子式個(gè)數(shù)較少時(shí),也可利用拉普拉斯定理將行列式較快的降階。
解:該行列式第二行是同一元素,其余各行與第二行有(n-1)個(gè)元素相同,因此將其余各行減去第二行,將第一行化成只有一個(gè)非零元素,再按第一行展開(kāi)降階可得
增階法是指在不改變?cè)辛惺街档那闆r下,通過(guò)增加一特殊行和列對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算。該方法一般適合于行列式中每行或每列對(duì)應(yīng)位置元素(除對(duì)角線位置外)都相同的。增加的行和列,一般需要首行首列元素為1,首行其余元素為每行相同的元素,首列其余元素均為零。增加一階后一般可利用行列式的性質(zhì)化為爪型行列式再計(jì)算。
解:通過(guò)增加一行和一列可得
當(dāng)行列式某行(列)是兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和時(shí),可利用行列式的性質(zhì)將其拆成兩個(gè)或多個(gè)行列式的和再計(jì)算。但有些行列式不具備這種形式時(shí),也可以用拆項(xiàng)法簡(jiǎn)化計(jì)算,將某行(列)所有元素拆成兩項(xiàng)之和,有些項(xiàng)看成加上零元素。
解:1.若b=c,由例1可知
D n=[a+(n-1)b](a-b)(n-1)。
2.若b≠c,將最后一列中b=b+0,a=b+(a-b),得
由于b,c是對(duì)稱(chēng)的,則
數(shù)學(xué)歸納法一般適合于行列式的結(jié)論已知且結(jié)論與自然數(shù)相關(guān),尤其是關(guān)于行列式的證明題。也可以用于在計(jì)算n階行列式時(shí),先計(jì)算n=1,2的情形,找出一般規(guī)律,歸納出n階的結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。
例5.計(jì)算
解:易 知n=1,D1=cosθ;n=2,D2=2 cos2θ-1=cos 2θ因此猜想D n=cosnθ。
這時(shí)可以利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明,n=1時(shí),顯然成立。假設(shè)結(jié)論≤n-1階成立,則將D n按最后一行展開(kāi)可得
Dn=2 cosθD n-1-D n-2=2 cosθcos(n-1)θ-cos(n-2)θ=cosnθ。
若行列式的元素分布比較有規(guī)律,可以設(shè)法找出n階行列式與較低階行列式之間的遞推關(guān)系式,再解出此行列式。一般遞推關(guān)系式有以下兩種情形:
(1)若n階行列式滿(mǎn)足aD n+bD n-1+c=0,需再找出D n與D n-1的另一個(gè)關(guān)系式,聯(lián)立方程組解出D n;
(2)若n階行列式滿(mǎn)足aD n+bD n-1+cD n-2=0,則考慮特征方程ax2+bx+c=0。
1.若特征方程的判別式Δ≠0,則特征方程有兩個(gè)不相等的根x1,x2,此時(shí)可設(shè)(A,B待定),令n=1,n=2解出A,B即可。
2.若特征方程的判別式Δ=0,則特征方程有兩個(gè)相等的根x1、x2,此時(shí)可設(shè)(A,B待定),同樣令n=1,n=2解出A,B即可。
例6.計(jì)算
解:將此行列式按第一列展開(kāi)可得
所以,特征方程為x2-2ax+a2=0,有兩個(gè)相等的特征根x1=x2=a。
可設(shè)D n=(A+nB)an-1,又因?yàn)?/p>
所以D n=(n+1)an。
公式法一般是指利用范德蒙行列式的計(jì)算結(jié)果來(lái)計(jì)算某些可化為該形式的行列式。n階范德蒙行列式為:
V n=0?x i(i=1,2,…,n)中至少兩個(gè)相等。
例7.計(jì)算
解:將第一行1=ai-(a i-1),則該行列式可化為兩個(gè)范德蒙行列式
設(shè)是n階矩陣A的全部特征值(重根按重?cái)?shù)計(jì)算),則矩陣A的行列式|A|=λ1λ2…λn。所謂矩陣A的特征值λi是指滿(mǎn)足方程 |λi E-A|=0的根。由于計(jì)算特征值時(shí)需要求行列式,所以用特征值法計(jì)算行列式的方法不常用,一般可用于一些證明題中。
抽象型行列式是指不給出具體元素,往往涉及與行列式相關(guān)聯(lián)的方陣、伴隨陣、逆矩陣、分塊矩陣或用行(列)向量表示的矩陣等行列式的計(jì)算。因此,計(jì)算此類(lèi)行列式需靈活運(yùn)用矩陣和行列式的有關(guān)性質(zhì)。
(1)設(shè)A是n階方陣,k是一常數(shù),則|AT|= |A|, |kA|=k n|A|,|A*|= |A|n-1(A*是A的伴隨矩陣)
(2)若A是n階可逆方陣,則 ||A-1= ||A-1。
(3)設(shè)A,B均是n階方陣,則 ||AB= ||A||B。
(4)設(shè)A,B分別是m階和n階方陣,對(duì)于分塊矩陣,其行列式
(5)若A是n階可逆方陣,對(duì)于分塊矩陣,利用初等變換可得,兩邊取行列式得
(6)若行列式的行或列以向量及其運(yùn)算形式給出時(shí),可利用行列式的性質(zhì)計(jì)算。