方海寧

[摘 要]學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中有明確的要求.初中數(shù)學(xué)思想方法主要有整體思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等，教師要站在初中數(shù)學(xué)知識(shí)全局的角度把握其中的思想方法體系，備課環(huán)節(jié)精心做好謀劃，有意識(shí)地把數(shù)學(xué)思想方法滲透融入教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上融會(huì)貫通，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想方法;培養(yǎng);初中數(shù)學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）17-0022-03

數(shù)學(xué)是義務(wù)教育課程體系中非常重要的一門(mén)學(xué)科，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、發(fā)展與完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有其他學(xué)科不可替代的獨(dú)特作用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常碰到學(xué)生“課堂講解題聽(tīng)得懂，課后練習(xí)解不出”的現(xiàn)象，以至于考查區(qū)分度拉開(kāi)明顯.主要癥結(jié)在于沒(méi)有真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.因此，初中數(shù)學(xué)教師既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，又要滲透融入知識(shí)體系中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，深刻分析教學(xué)中融入各知識(shí)點(diǎn)的路徑方式，引導(dǎo)學(xué)生提煉概括、在學(xué)思踐悟中融會(huì)貫通，熟練掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.

一、初中數(shù)學(xué)的思想方法

（一）數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).它是對(duì)數(shù)學(xué)理論概念、定理、公式、法則等以及數(shù)學(xué)事實(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)及其規(guī)律性的深化，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通和升華.數(shù)學(xué)思想方法可分為三個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)基本方法.如換元法、消元法、待定系數(shù)法、公式法、配方法、歸納法、反證法等，是較為常見(jiàn)的方法;二是數(shù)學(xué)思維方法.如類(lèi)比、代換、抽象、概括等，需要加強(qiáng)領(lǐng)悟才能運(yùn)用自如;三是數(shù)學(xué)思想.如方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、化歸思想、極限思想等，是更高層次的具有全局性的思想與觀點(diǎn).

（二）初中數(shù)學(xué)主要的思想方法

綜觀近年初中階段的考查，常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有整體思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等.

1.整體思想.整體思想就是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，用整體的視角，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理.整體思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用廣泛，如整體代入、幾何中的補(bǔ)形等.有的題型是局部細(xì)節(jié)難以處理或計(jì)算出結(jié)果，但作為整體處理卻能直截了當(dāng)?shù)亟鉀Q問(wèn)題.用整體思想來(lái)處理問(wèn)題，體現(xiàn)了一種著眼全局、通盤(pán)考慮的思維方式.例如，如圖1，在 [Rt△ABC]中，[∠C=90]，[AC=4]，[BC=2]，分別以[AC]、[BC]為直徑畫(huà)半圓，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留π）分析：3個(gè)陰影部分都是不規(guī)則的圖形，無(wú)法直接計(jì)算出，利用差值思想結(jié)合其他標(biāo)準(zhǔn)圖形，也不方便直接計(jì)算出，因?yàn)槠渌麍D形里又包含其他未知的不規(guī)則圖形.計(jì)算直接算各部分面積有困難，那我們先不考慮結(jié)論，先從可利用的已知條件入手.假設(shè)各部分面積分別用S1、S2、S3、a、b來(lái)表示（如圖1）.這樣，根據(jù)方程思想利用已知條件，建立起3個(gè)等式： ①[S1+S3+a=π×12/2];②[S1+S2+b=π×22/2];③[S1+a+b=2×4/2].列出這三個(gè)等式之后，很容易就想到將[S1+S2+S3]作為整體來(lái)處理.①+②-③得到[S1+S2+S3=5π/2-4].由本題可見(jiàn)，求某些關(guān)系的和、乘等關(guān)系，并不一定要具體算出其中某個(gè)部分的具體值，而是當(dāng)作整體來(lái)計(jì)算.當(dāng)然，這里的方程思想也是至關(guān)重要的，設(shè)置了5個(gè)未知數(shù)，卻只列出了3個(gè)等式，就到達(dá)了我們的目的.

2.轉(zhuǎn)化思想.轉(zhuǎn)化也稱(chēng)化歸，就是在已有簡(jiǎn)單具體的知識(shí)基礎(chǔ)上，把未知化為已知、陌生化為熟悉、復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、一般化為特殊、抽象化為具體，最終獲得問(wèn)題解決的一種方法，它是數(shù)學(xué)中最常用的思想.解決任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都有一個(gè)由繁化簡(jiǎn)、由大化小、由難化易、由新化舊的過(guò)程，不過(guò)所使用的轉(zhuǎn)化手段、轉(zhuǎn)化方法及所經(jīng)歷的轉(zhuǎn)化過(guò)程還是有區(qū)別的，轉(zhuǎn)化思想是研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種普遍思想.例如在有理數(shù)中，減法可以通過(guò)相反數(shù)轉(zhuǎn)化為加法，除法可以通過(guò)倒數(shù)轉(zhuǎn)化為乘法，乘方也可以轉(zhuǎn)化成乘法，這些都體現(xiàn)了由難到易的轉(zhuǎn)化思想.

在初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，新舊知識(shí)間有著相當(dāng)緊密的聯(lián)系，可用由新化舊的思想方法，使新知識(shí)得到簡(jiǎn)化，以便更容易地接受和理解，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力打下基礎(chǔ).如在多項(xiàng)式的乘法中對(duì)于[（m+n）（a+b）]的多項(xiàng)式乘法，可以利用以前所學(xué)的乘法分配律[c（a+b）=ac+bc]的方法，在這里我們就需要把[m+n]看作一個(gè)整體“c”做進(jìn)一步的計(jì)算.這樣，不僅可減小理解上的難度，也使得學(xué)習(xí)內(nèi)容變得簡(jiǎn)單化，這里用到的就是轉(zhuǎn)化思想.

3.方程思想.方程思想是通過(guò)設(shè)未知數(shù)、列方程（或方程組）、解方程（或方程組），研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，達(dá)到求值目的的解題思路和策略.方程思想主要運(yùn)用于公式的變形中，就是指將公式（即等式）中的某個(gè)字母看作未知數(shù)，公式就是關(guān)于這個(gè)未知數(shù)的方程，通過(guò)解方程得到所需要的公式變形，它是解決各類(lèi)計(jì)算問(wèn)題的基本思想.善于根據(jù)已知條件、尋找等量關(guān)系列方程，是這個(gè)思想的關(guān)鍵所在.在已知方程的根求方程中字母系數(shù)時(shí)，也運(yùn)用了方程思想，根據(jù)方程根的定義，把方程的根代入方程，得到關(guān)于字母系數(shù)為未知數(shù)的方程，通過(guò)解方程求得字母系數(shù)的值.可見(jiàn)，方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系，構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決問(wèn)題.

4.數(shù)形結(jié)合思想.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，通過(guò)幾何基本知識(shí)的學(xué)習(xí)并掌握其思想方法，并利用數(shù)形結(jié)合的基本方法，實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.在利用坐標(biāo)化的方法解決問(wèn)題時(shí)，常用到利用距離公式證明線段相等或不等.形與數(shù)的結(jié)合和轉(zhuǎn)化是相互的，幾何的代數(shù)化是其中的一個(gè)方面，而代數(shù)的幾何化是另一個(gè)方面.

在初中實(shí)數(shù)部分的學(xué)習(xí)中，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容較多，在學(xué)習(xí)中要初步了解數(shù)形結(jié)合思想.在不等式中，一元一次方程以及在一元一次不等式的應(yīng)用中也應(yīng)用到這種思想.在實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合主要通過(guò)數(shù)軸來(lái)實(shí)現(xiàn)，數(shù)軸的引入，為學(xué)習(xí)有理數(shù)及其大小比較、相反數(shù)、絕對(duì)值等知識(shí)提供了直觀的工具，呈現(xiàn)了典型的數(shù)形結(jié)合思想.例如，在有理數(shù)大小的比較中，有題目“用‘>號(hào)把-3，2/3，2.4，0，1，-1/2，3，-0.3，2連接起來(lái)”，這個(gè)問(wèn)題由于涉及的數(shù)字較多，容易出現(xiàn)遺漏或排錯(cuò)的現(xiàn)象，那么可以利用數(shù)軸把這些點(diǎn)一一描出來(lái)，然后根據(jù)“數(shù)軸右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)”來(lái)排列它們的大小位置關(guān)系.

5.分類(lèi)討論思想.在數(shù)學(xué)中，有些問(wèn)題不能按所給定的條件統(tǒng)一進(jìn)行研究，而必須在這個(gè)條件下分成若干種類(lèi)或若干種情況，再分別加以研究，這就是利用分類(lèi)討論思想.例如，一組數(shù)據(jù)5，7，7，x的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則x的值為? ? ?.

解：（1）當(dāng)[x≤5]時(shí)，中位數(shù)為6，此時(shí)[5+7+7+x4=6]，解得[x=5]

（2）當(dāng)[5

（3）當(dāng)[x>7]時(shí)，中位數(shù)為7，此時(shí)[5+7+7+x4=7]，解得[x=9]，

綜上，[x=5]或[x=9].

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的必要性

（一）數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)要求

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，被稱(chēng)為“科學(xué)的皇后”“思維訓(xùn)練的體操”，它是學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)和應(yīng)用科學(xué)知識(shí)必須的工具.可以說(shuō)，沒(méi)學(xué)好數(shù)學(xué)，就不大可能學(xué)好其他學(xué)科.“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要在傳授知識(shí)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，目標(biāo)始終圍繞更高層次的思想方法的掌握運(yùn)用，通過(guò)觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等方式，把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)特有的思維方式，培養(yǎng)邏輯思維能力，形成良好的思維品質(zhì)，進(jìn)而影響和促進(jìn)其他學(xué)科的學(xué)習(xí).

（二）數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)在要求

數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法一明一暗兩條線貫穿在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之中，數(shù)學(xué)概念、公式、法則、性質(zhì)、定理等知識(shí)，呈現(xiàn)在教材中是看得見(jiàn)的、有形的，而數(shù)學(xué)思想方法是看不見(jiàn)的、無(wú)形的，隱藏散見(jiàn)在教材各章節(jié)之中，它需要通過(guò)教師的引導(dǎo)與點(diǎn)撥，學(xué)生才能理解和把握.只有將兩者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，才能使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，將零散的知識(shí)點(diǎn)連接起來(lái)，形成完整立體、相互聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu).因此教師要立意高遠(yuǎn)，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，認(rèn)真挖掘厘清教材中所反映的數(shù)學(xué)思想方法，精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)課外作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生概括知識(shí)點(diǎn)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去分析解決具體的問(wèn)題.

（三）激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

數(shù)學(xué)知識(shí)作為課程內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的流逝和記憶力的減退，未來(lái)走向社會(huì)之后有可能被遺忘.而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，一旦理解和掌握，便是融會(huì)貫通而不輕易忘記.數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的精髓，具有高度抽象性，同時(shí)它是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，掌握數(shù)學(xué)思想方法能夠使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更容易理解和掌握.例如通過(guò)類(lèi)比，學(xué)生認(rèn)識(shí)到因式分解是由數(shù)到式的發(fā)展過(guò)程，是特殊與一般的思維體現(xiàn)，從而能真正理解、掌握和應(yīng)用因式分解.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅限于概念、公式、定理和機(jī)械地解題，還在于促進(jìn)學(xué)生由此及彼、觸類(lèi)旁通，逐步形成的思維，在于將理論與應(yīng)用相結(jié)合，才能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的思維品質(zhì).

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的思考

（一）在知識(shí)傳授中登高望遠(yuǎn)

初中數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的思想方法，需要教師在整體把握的基礎(chǔ)上逐步滲透培養(yǎng).因此，教師要更新教學(xué)理念，有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)教材進(jìn)行分析、研究，通過(guò)對(duì)教材中的思想方法體系的研讀形成自身的思想方法體系.對(duì)于各知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，不能僅是“教知識(shí)”，更應(yīng)著眼“教能力”，要做一個(gè)滲透的有心人，善于發(fā)現(xiàn)和挖掘教材內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法， 由此再進(jìn)一步謀劃設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生逐步領(lǐng)悟、理解、掌握、運(yùn)用所學(xué)的某個(gè)數(shù)學(xué)思想方法.例如在字母表示數(shù)和代數(shù)式教學(xué)中，應(yīng)站在滲透符號(hào)思想的高度來(lái)謀劃設(shè)計(jì)，尤其在總結(jié)提升階段，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并著重強(qiáng)調(diào)：數(shù)字僅表示某個(gè)確定的數(shù)，而字母則是個(gè)變量，是可變的數(shù)，還可以是某個(gè)式子，那是用數(shù)字表示數(shù)和用字母表示數(shù)的本質(zhì)區(qū)別所在.

（二）在教學(xué)實(shí)踐中學(xué)思踐悟

初中數(shù)學(xué)教材知識(shí)點(diǎn)眾多，其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法交織貫穿，層層遞進(jìn)，需要學(xué)生在初中三年的日積月累中學(xué)習(xí)和掌握.教師要善于在教學(xué)一線中不斷琢磨，深入挖掘、揭示教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法.首先，在概念教學(xué)中滲透.概念教學(xué)不應(yīng)只是簡(jiǎn)單地給出定義，而是要引導(dǎo)學(xué)生感受及領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想.例如利用“數(shù)軸”這一直觀形象的圖示工具來(lái)揭示絕對(duì)值這個(gè)概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生既學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的概念，又滲透了數(shù)形結(jié)合思想.其次，在定理和公式教學(xué)中融入.例如圓周角定理中，從特殊度數(shù)與圓弧關(guān)系的發(fā)現(xiàn)到證明，體現(xiàn)了由特殊到一般、分類(lèi)討論、化歸以及歸納的數(shù)學(xué)思想方法.最后，在例題講解過(guò)程中揭示.讓學(xué)生參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)嘗試解題的思路、不斷修正思考問(wèn)題的切入點(diǎn)，充分暴露解題思維過(guò)程，再點(diǎn)撥揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法.比如“三角形內(nèi)角和定理的證明”中，在一個(gè)角的一邊上構(gòu)造一個(gè)平角，再利用平行線把另外兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到平角處，掌握化歸方法，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)運(yùn)用化歸思想處理三角形問(wèn)題的一般策略.

（三）在學(xué)生學(xué)習(xí)中撥云見(jiàn)日

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，形成數(shù)學(xué)思想，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題.因此，教師要避免滿堂灌的教法，留出學(xué)生思考和練習(xí)的時(shí)間，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下進(jìn)行探索研究活動(dòng)，通過(guò)解題訓(xùn)練，歷經(jīng)不斷試錯(cuò)、糾錯(cuò)、碰壁糾偏后，使他們?cè)谥R(shí)學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決、靈活運(yùn)用的過(guò)程中學(xué)會(huì)舉一反三，系統(tǒng)培養(yǎng)演算、空間想象和邏輯思維能力，領(lǐng)悟與體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的形成，并逐步內(nèi)化于心.及時(shí)小結(jié)復(fù)習(xí)、梳理歸納出最核心、最關(guān)鍵的東西，以強(qiáng)化刺激，讓學(xué)生在腦海中留下深刻的印象，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍.一方面，要注重在問(wèn)題解決過(guò)程中激活.數(shù)學(xué)思想方法是幫助學(xué)生構(gòu)建解題思路、養(yǎng)成良好思維習(xí)慣的關(guān)鍵.要通過(guò)學(xué)生對(duì)解題規(guī)律的觀察，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、真正領(lǐng)悟隱含于其中的數(shù)學(xué)思想方法，給學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).另一方面，要注重在總結(jié)歸納中點(diǎn)明.數(shù)學(xué)思想方法貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)點(diǎn)中，要有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想的提煉概括過(guò)程，從而幫助學(xué)生更透徹地理解所學(xué)的知識(shí)及其相互聯(lián)系，提高獨(dú)立分析、解決問(wèn)題的能力.

中國(guó)科學(xué)院院士姜伯駒說(shuō)：“數(shù)學(xué)已經(jīng)從幕后走向前臺(tái)，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值.”著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué).”“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里找材料，不要只看書(shū)上的結(jié)論.”知識(shí)的記憶是暫時(shí)的，而思想方法的掌握是永久的.中學(xué)生是祖國(guó)未來(lái)的棟梁，掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)發(fā)展與完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有重要意義，同時(shí)，既是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的具體目標(biāo)，也是信息時(shí)代下素質(zhì)教育的內(nèi)在需要.

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（責(zé)任編輯 黃春香）