花新礦

[摘? ?要]數(shù)學課堂教學的高效源于“問題”的解決.以“問題”為主線，從多方面、多角度引導學生自主探究解決問題的方法，可以拓寬學生解題思路，開闊學生思維.

[關(guān)鍵詞]問題導學;高效課堂;高中數(shù)學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0025-02

一、問題的提出

題目：在雙曲線[x23-y2=1]上，求一點P，使它和兩焦點[F1、 F2]的連線互相垂直.

教師：本題是課本中一道具有代表性的習題，可以說它是圓錐曲線問題的典例之一，涉及探究曲線上特殊點問題.通過對該問題的探究，讓學生掌握此類問題的解決辦法，進而歸納出問題解決的通法，對變式問題的探究具有指導意義.

問題一：請同學們想一想，本題有幾種解題方法？（開門見山，提出學習任務）

二、解題方法的探究

教師悉心引導學生思考問題，并按要求寫出解題過程.為了合作學習，教師特地請幾位學生代表口述其解法，分享研究成果，教師板書.

解法一：[a=3]，[b=1]，[c=2]，設(shè)[Px0 ， y0]，[F1-2， 0]，[F22， 0]，由[PF1⊥PF2]得，[k1k2=-1]，即[y0x0+2?y0x0-2=-1?x20+y20=4.]又[x203-y20=1]，解方程組[x20+y20=4，x203-y20=1，]得[x20=154，y20=14，]所以滿足題意的點P共有4個，即

[P1152，? 12] ，[P2152，-12] ，[P3-152，? 12] ，[P4-152，-12].

解法二：由[PF1⊥PF2]可知，點P是在以[F1F2]為直徑的圓上，且[F1F2=2c=4]，[x20+y20=4].又[x203-y20=1]，以下解題過程同上.（略）

解法三：由[PF1⊥PF2]得，[PF1?PF2=0]，[PF1=-2-x0，-y0]，[PF2=2-x0，-y0]，由[PF1?PF2=0]得[-2-x0?2-x0+y20=0]，即[x20+y20=4].以下解題過程同上.

解法四：因為[PF1=ex0+a]，[PF2=ex0-a]，其中[e=23]，[a=3]，所以[PF1=23x0+3]，[PF2=23x0-3]，由[PF12+PF22=F1F22]，[23x0+32+23x0-32=4]，解得[x20=154].又[x203-y20=1]，所以[y20=14].以下解題過程與解法一相同.

解法五：設(shè)[PF1=m]，[PF2=n]，則由[PF1⊥PF2]得[m2+n2=16]，不妨設(shè)[m>n]，則由雙曲線定義可知，[m-n=23]，[F1F2=4]，由方程組[m2+n2=16，m-n=23，]得[mn=2].設(shè)[△PF1F2]的面積為S，則[S=12mn=1].又[S=12F1F2×y0=2y0]，所以[y0=12].以下解題過程同上.

教師針對以上五種解法，可提出下面的問題.

問題二：你能說說以上解法的理論依據(jù)嗎？

解法一是根據(jù)平面解析幾何中當兩條直線的斜率之積為-1時，它們才互相垂直.

解法二是利用點P是直徑為[F1F2]的圓上的移動點，又知點P在已知曲線上，可以根據(jù)點P滿足的方程組解出其解.

解法三是根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算公式和兩向量互相垂直的充要條件解決問題.

解法四是巧妙地應用二次曲線的焦點半徑公式來解決問題，簡化了操作過程.

解法五是利用雙曲線的定義和勾股定理計算出[mn=2]，然后用三角形面積公式進行變換，進而求出點P的坐標.

問題三：通過上述解法，你有什么收獲？

學生甲：解法一是常規(guī)方法，容易想到，不足之處是運算量比較大;解法二是不容易想到用圓的性質(zhì)來解題，這種方法技巧性比較強.

學生乙：解法三還是比較容易想到的，可操作性合理，而且解題思路很清晰，容易理解.解法四是利用雙曲線的焦半徑公式解題使得運算過程簡單化.

學生丙：對于解法一至解法四，我與以上兩位同學的想法是一致的.解法五是將問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形問題，難度比較大，原因是所用的公式變形不易，技巧性較大，涉及許多知識點，如三角形面積公式、勾股定理、完全平方公式以及雙曲線定義等.因此這種方法難以接受.在這五種解法中，本人更加傾向于解法一、解法三和解法四.

教師：這三位同學分析得非常好，我很贊同.下面我就以上解法談談自己的看法.本題考查“垂直”問題，可以從直線方程入手，考慮兩直線的位置關(guān)系，兩條線之間的垂直關(guān)系當且僅當[k1k2=-1]，通過點坐標代入即可.當然也可以從平面向量方面著手，利用[PF1?PF2=0]和相關(guān)公式即可求解.另外，還可以把問題轉(zhuǎn)化為解三角形，利用雙曲線定義、勾股定理、完全平方公式以及三角形面積公式等知識解題.以上這些方法的特點是通過“轉(zhuǎn)化”的思想方法來解題.這也是我們解題需要具有的一種基本的技能和方法.

三、問題升華，總結(jié)規(guī)律

問題四：在上面解法五中，應用面積公式計算得到[S△PF1F2=1]，請同學們思考一下，這個結(jié)果是否有一定的規(guī)律性？（教師在黑板上寫上雙曲線方程[x23-y2=1]，引起學生的注意）

學生?。豪蠋?，我認為三角形的面積是[S△PF1F2=b2]，其中b是雙曲線的虛半軸長.

教師：為什么？你能推理你的研究成果嗎？

學生?。汉玫?

題目：已知點P在雙曲線[x2a2-y2b2=1]上，焦點是F1和F2，且[∠F1PF2=α]，求[△PF1F2]的面積.

解析：設(shè)[PF1=m]，[PF2=n]，不妨設(shè)[m>n]，則[m-n=2a]，由余弦定理得

4c2 = m2 + n2 - 2mncos [α]=（m-n）2+2mn（1-cos [α]）=4a2+2mn（1-cos [α]）

即[mn=2b21-cos α]，[S△PF1F2=12mnsinα=b2·sin α1-cos α=b2tanα2]，特別地，當[α=90°]時，[S△PF1F2=b2].

教師：這位同學推理很完美.老師還有這樣的疑惑，如果把題目進行變式，你能解嗎？

變式題：已知點P在雙曲線[x2a2-y2b2=1]左支上，焦點為F1和F2，且[∠PF1F2=θ]，求[△PF1F2]的面積.

此時教室里安靜下來，學生認真演算.過了五分鐘，學生乙舉手示意，教師叫他上黑板板書.

解析：設(shè)[PF1=r1]，[PF2=r2]，且[r2>r1]，則[r2-r1=2a]，由余弦定理得[r22=r21+4c2-4r1ccosθ]，將[r2=r1+2a]代入可得[r1=b2a+ccos θ]，

[S△PF1F2=12r1·2c·sinα=b2csin θa+ccos θ]，特別地，當[θ=90°]時，[S△PF1F2=b2ca].

四、總結(jié)歸納

本題多種解法中，我們應用了哪些重要的數(shù)學思想方法？你得到哪些收獲？

【課例評析】

下面就本課例談談教師課堂教學的體會.

1.“問題的提出”是課堂教學的首要條件，問題設(shè)計的合理性直接影響教學效果.教師所選的題目很好，原因有二：一是從特殊點入手，符合事物的發(fā)展規(guī)律（特殊到一般）;二是對通解通法的總結(jié)、歸納.

2.解題方法的探究，也就是平常說的“通法”.所謂“通法”，即對一類問題的共同特征進行處理的通用策略.教師課堂教學的開放性為學生提供了廣闊的研究空間，把學習的主動權(quán)還給學生，讓他們自主研究問題，做到提出問題、分析問題和解決問題.更為重要的是，學生在教師的精心引導之下，知識面得到了拓寬，完善自我，豐富了他們認識事物的內(nèi)涵.

3.學生通過自主探究改善知識結(jié)構(gòu)，總結(jié)出解決問題的新方法.本節(jié)課里，教師大膽地把問題進行變式，讓學生探索.變式問題使得題目難度加大，讓學生嘗試不同條件下的問題解決方法.同時，學生在“問題”的探索中成長，不斷提高自己.

4.高效課堂教學要有歸納、總結(jié)，這個環(huán)節(jié)不能忽視.在本節(jié)課中，教師所設(shè)計的問題，不僅提供解決問題的方法，而且還對方法進行歸納、總結(jié)，這樣有助于優(yōu)化學生的知識結(jié)構(gòu)，提高他們的解題速度，提升他們解決問題的能力.

總之，構(gòu)建有效課堂是教學改革的一個重要任務，這種課堂要求“為學而教”，學生團結(jié)互助，共同學習，共同進步，教學效果是高效的.構(gòu)建高效的課堂，最終目標將轉(zhuǎn)移到學生的全面發(fā)展上.因此，構(gòu)建高效課堂是一個漫長而有意義的過程，需要不懈的努力.

（責任編輯 黃桂堅）