思維可視化助力數(shù)學(xué)建模

陳云

【摘? ?要】數(shù)學(xué)問題的解決常常是有“?！钡模凇敖！钡倪^程中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖示、表格、公式等，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言把思考方法、思考過程、思考結(jié)果表達(dá)出來，這個(gè)過程就是“思維可視化”。學(xué)生在經(jīng)歷模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立和模型分析的過程中，恰當(dāng)運(yùn)用圖解，有助于從生活中抽象數(shù)學(xué)問題、運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述發(fā)現(xiàn)，直至正確建立數(shù)學(xué)模型，并將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到需要解決的問題中去。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;模型準(zhǔn)備;模型假設(shè);模型分析

數(shù)學(xué)問題的解決常常是有“?！钡?，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中建立的這個(gè)“模”，是寬泛意義上的模式，是學(xué)生在對(duì)一類現(xiàn)實(shí)問題觀察和分析的基礎(chǔ)上，利用直觀的數(shù)學(xué)語(yǔ)言或工具，對(duì)問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)某橄?、提煉，并最終成為解決一類問題的模型。在建模的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖示、表格、公式等數(shù)學(xué)語(yǔ)言，把思考方法、思考過程、思考結(jié)果表達(dá)出來，這個(gè)過程就是“思維可視化”?！翱梢暬狈绞阶寣W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程清晰可見，助力學(xué)生對(duì)問題的分析、認(rèn)識(shí)和解決，助力學(xué)生感知力、思維力、想象力的提升，更助力數(shù)學(xué)建模的完成。

數(shù)學(xué)模型并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，小學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)建模常常要經(jīng)歷模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立和模型分析的過程，也就是結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行抽象—運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)方式描述—初步建立數(shù)學(xué)模型—應(yīng)用于需要解決的問題。下面以蘇教版三年級(jí)上冊(cè)“間隔排列”的教學(xué)過程為例，來分析思維可視化在建模過程中的重要作用。

一、模型準(zhǔn)備

在建模的準(zhǔn)備過程中學(xué)生需要了解問題的實(shí)際背景，掌握對(duì)象的各種信息，特別是提煉出問題的精髓，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述問題。在“間隔排列”的教學(xué)過程中，當(dāng)呈現(xiàn)教材主題情境圖之后，教師首先引導(dǎo)學(xué)生用生活語(yǔ)言表述：小兔和小兔之間有一個(gè)蘑菇、木樁和籬笆一個(gè)接一個(gè)……接著進(jìn)一步要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問題，提示學(xué)生關(guān)注“數(shù)”的信息和“量”的特質(zhì)，并選擇合適的方式呈現(xiàn)出來。然后教師與學(xué)生一起，用表格的方式將信息進(jìn)行整理。

使用表格便于信息的集中、觀察和比較，是一種有數(shù)學(xué)特色的可視化“語(yǔ)言”，學(xué)生一看就知道接下來應(yīng)該是會(huì)進(jìn)行數(shù)量上的觀察與比較。確實(shí)，建模的準(zhǔn)備過程需要對(duì)大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以尋求規(guī)律，這就需要啟發(fā)學(xué)生選擇合適的“可視化”方式，把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)的信息，凸出“量”的特質(zhì)，再輔以關(guān)鍵詞，讓學(xué)生對(duì)問題的把握一目了然。當(dāng)然，問題的特點(diǎn)決定著采用什么樣的“可視化”方式，靜態(tài)的表格、圖示，動(dòng)態(tài)的場(chǎng)景重現(xiàn)、電化手段等，都不失為好方法。

二、模型假設(shè)

有了充分的準(zhǔn)備，教師要根據(jù)實(shí)際問題的特征和建模的目的，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用個(gè)性化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)?！伴g隔排列”的教學(xué)中，學(xué)生觀察了兩種物體的數(shù)量，內(nèi)心對(duì)兩種物體的數(shù)量關(guān)系有了朦朧的認(rèn)識(shí)，此時(shí)教師便可以啟發(fā)學(xué)生提出模型的初步假設(shè)：能把你的發(fā)現(xiàn)寫出來或者畫出來嗎？在問題驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生有了多種表達(dá)方式，有用文字表述的：一個(gè)物體的數(shù)量=另一個(gè)物體的數(shù)量+1;有用字母抽象的：a=b+1;有用圖形代替的：+1……多元的表達(dá)方式，是學(xué)生對(duì)問題個(gè)性化的理解。

“可視”的數(shù)量關(guān)系式使問題的主要方面凸顯了出來，一方面表明學(xué)生已經(jīng)在嘗試用抽象的方式進(jìn)行建模，另一方面也暴露出學(xué)生對(duì)“間隔排列”方式認(rèn)識(shí)的單一性。在分析完問題后，學(xué)生會(huì)帶著自己的認(rèn)識(shí)，對(duì)存在的問題進(jìn)行假設(shè)，嘗試運(yùn)用抽象法，把復(fù)雜的研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的模式，經(jīng)合理簡(jiǎn)化后，建立起數(shù)學(xué)關(guān)系式（或方程式），以揭示研究對(duì)象定量的規(guī)律性。這既是數(shù)學(xué)建模中很關(guān)鍵的一步，也是比較困難的一步，運(yùn)用“可視化”的方式更利于呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，找到學(xué)生在問題認(rèn)識(shí)上的得與失。

三、模型建立

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)一步利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫各變量、常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如，學(xué)生對(duì)“間隔排列”的模型有了初步假設(shè)之后，需要進(jìn)一步對(duì)自己公式中的各個(gè)符號(hào)進(jìn)行解釋：這里的a和又表示什么？如何便于相互間的溝通？為什么會(huì)出現(xiàn)一個(gè)物體比另一個(gè)物體多1的現(xiàn)象？生活中的“間隔排列”現(xiàn)象都符合這個(gè)規(guī)律嗎？隨著生活中大量間隔排列現(xiàn)象的引入、比較、抽象，學(xué)生嘗試更完整地把研究過程和研究結(jié)果呈現(xiàn)出來（如圖1）。

有了這樣直觀工具的幫助，學(xué)生明白了同樣是的間隔排列，兩端物體是否相同決定了兩種物體的數(shù)量是否相同。于是就有了“首尾相同”和“首位不同”的第一次模型分類。為了進(jìn)一步幫助學(xué)生理解間隔排列中兩種物體之間的數(shù)量關(guān)系，教師借助“一一對(duì)應(yīng)”的思想，引導(dǎo)學(xué)生圈一圈（如圖2）。

至此，模型得以建立：

首尾相同：兩端物體數(shù)量=另一種物體數(shù)量+1;

首尾不同：物體a的數(shù)量=物體b的數(shù)量。

從這里可以看到，圖形、公式都是重要且簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用這些“可視化”工具，能讓學(xué)生的思維從抽象到具象再到抽象的過程有所依托，學(xué)生充分發(fā)揮想象力，借抽象的工具對(duì)自己的思路進(jìn)行詳細(xì)闡釋，當(dāng)模型與現(xiàn)實(shí)還沒有完全契合時(shí)，會(huì)有其他同學(xué)思路的補(bǔ)充和完善，以充分考慮各種可能性，最終完成模型的建立。

四、模型分析

對(duì)所建立模型的思路進(jìn)行闡述之后，學(xué)生還需將模型與生活實(shí)際聯(lián)系起來，對(duì)所得的模型進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析和檢驗(yàn)，這是模型的運(yùn)用過程，也是其數(shù)學(xué)價(jià)值的體現(xiàn)。在“間隔排列”模型建立之后，教師給學(xué)生提供了這樣的生活情境：“體育課上，男生女生是間隔排列的，已知男生有18人，這個(gè)班最多多少人？最少多少人？”男女生的“間隔排列”會(huì)出現(xiàn)哪些情況？很多學(xué)生能像圖1那樣用圖形或文字代替男生、女生，逐一排列。當(dāng)然也會(huì)有同學(xué)用更簡(jiǎn)潔的分析方式進(jìn)行闡述（如圖3），這雖然只是跨出了一小步，卻可以看出學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題抽象、提煉的建模能力得到了有效提升。

對(duì)模型的分析要分為兩部分進(jìn)行考慮，模型有哪些優(yōu)點(diǎn)，又有什么缺點(diǎn)？很顯然，完成圖3這樣的分析是對(duì)模型的直接運(yùn)用，是模型優(yōu)點(diǎn)的展示。事實(shí)上，“間隔排列”可能出現(xiàn)的狀況還有很多，譬如這里的學(xué)生圍成一個(gè)圓會(huì)是多少人呢？如果不是排成一列，而是排成兩列或三列呢？等等。當(dāng)然對(duì)于模型的這些缺點(diǎn)該怎么改進(jìn)，并不需要三年級(jí)學(xué)生立即去解決，但隨著學(xué)生今后學(xué)習(xí)的深入，再遇到“間隔排列”問題時(shí)，就可以利用自己豐富的聯(lián)想和想象對(duì)原有的模型進(jìn)行改進(jìn)和完善，以期更好地去解決實(shí)際問題，這正是模型評(píng)價(jià)的基本目的和方向。

學(xué)生用“可視化”的方式對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)信息的加工、重組、抽象和提煉，這種將思維過程形象化、具體化的呈現(xiàn)方式，可以助推學(xué)生把知識(shí)資源轉(zhuǎn)化為知識(shí)資本，這是解決問題的重要基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)建模的必要途徑。

（南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?215133）