基于AIC準(zhǔn)則的混頻數(shù)據(jù)季度GDP預(yù)測(cè)實(shí)證研究

劉 濤 楊煒明 胡瑞婷

（重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067）

一、引言

黨的十九大報(bào)告指出：“在我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)的背景下，宏觀調(diào)控牢牢把握速度變化、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、動(dòng)能轉(zhuǎn)換三大特征，不斷調(diào)適理念、調(diào)適政策、調(diào)適方法強(qiáng)化經(jīng)濟(jì)形勢(shì)監(jiān)測(cè)預(yù)測(cè)和政策措施預(yù)研儲(chǔ)備，加強(qiáng)宏觀政策組合運(yùn)用，更加注重市場(chǎng)行為和社會(huì)預(yù)測(cè)，宏觀調(diào)控各項(xiàng)指標(biāo)符合預(yù)測(cè)。”目前我國(guó)已進(jìn)入新發(fā)展階段，如何實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步發(fā)展成為國(guó)家當(dāng)前面臨的難題。這就需要對(duì)我國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，以此防范各種突發(fā)情況帶來(lái)的不確定性。而在眾多的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中又以GDP尤為重要，GDP反映一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的綜合經(jīng)濟(jì)實(shí)力和市場(chǎng)規(guī)模，是國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系中的核心指標(biāo)之一。因此對(duì)GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)于國(guó)家宏觀調(diào)控以及政策引導(dǎo)都具有重要意義。

Clements和Galvao在2005年首次將MIDAS模型應(yīng)用于宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。Marcellino和Schumacher在2007年將因子分析模型引入到MIDAS模型中，并發(fā)現(xiàn)MIDAS模型在短期預(yù)測(cè)中的預(yù)測(cè)效果良好。Clements和Galvao在2008年基于季度GDP和月度非農(nóng)就業(yè)總額，應(yīng)用MIDAS-AR模型來(lái)預(yù)測(cè)下一季度GDP增長(zhǎng)率，結(jié)果顯示MIDAS-AR模型在宏觀經(jīng)濟(jì)總量的短期預(yù)測(cè)相比傳統(tǒng)計(jì)量模型更具優(yōu)勢(shì)。Hogrefe在2008年比較單頻、混頻以及插值法在美國(guó)GDP修訂數(shù)據(jù)中的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)MIDAS模型在樣本外的預(yù)測(cè)精度最好。劉金全、劉漢等在2010年探尋MIDAS模型對(duì)中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)的實(shí)證分析中提出遇到混頻數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮使用混頻數(shù)據(jù)模型。劉漢、劉金全在2011年應(yīng)用MIDAS模型對(duì)中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)總量進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)和短期預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)MIDAS模型對(duì)中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)總量的短期預(yù)測(cè)精度較高，預(yù)測(cè)結(jié)果具有顯著的可行性和時(shí)效性。張旭和劉曉星在應(yīng)用MIDAS模型時(shí)，利用AIC信息準(zhǔn)則選取最優(yōu)模型，最終得出MIDAS在貨幣政策中的應(yīng)用是有效的，能有效提高貨幣政策估計(jì)效果。

在近十年的混頻數(shù)據(jù)模型研究中，大部分混頻數(shù)據(jù)模型都是直接給定固定的滯后階數(shù)或直接選取多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)來(lái)研究不同的經(jīng)濟(jì)問題，并沒有討論滯后階數(shù)的最優(yōu)值以及最優(yōu)多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)的選取。本文選取2000年第一季度至2017年第四季度的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，選取2000年第一季度至2017年第二季度的數(shù)據(jù)構(gòu)建MIDAS模型，應(yīng)用混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（MIDAS）預(yù)測(cè)中國(guó)2017年第三季度和第四季度GDP，在給定滯后階數(shù)范圍（k從3到10）并賦予高頻解釋變量不同的多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)來(lái)討論混頻數(shù)據(jù)模型的預(yù)測(cè)精度，在AIC信息準(zhǔn)則下選取最優(yōu)的MIDAS預(yù)測(cè)模型時(shí)發(fā)現(xiàn)：AIC值最小的模型預(yù)測(cè)精度并不是最優(yōu)模型。故討論在最優(yōu)滯后階數(shù)的情況下，對(duì)比AIC最小模型和其他多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)模型的預(yù)測(cè)精度，給出預(yù)測(cè)精度最好的模型并進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。

二、研究方法及模型簡(jiǎn)介

混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（MIDAS）由Ghysels在2004年首次提出，加入高頻解釋變量后能有效提升時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度，并在2013年利用MIDAS模型來(lái)預(yù)測(cè)下一季度的GDP。MIDAS模型源于分布滯后模型，基本思想為：按變量出現(xiàn)的頻率將變量歸類為高頻變量和低頻變量，通過多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)對(duì)高頻變量和低頻變量建立回歸模型，在非線性最小二乘法估計(jì)的情況下，對(duì)低頻數(shù)據(jù)變量進(jìn)行解釋和預(yù)測(cè)。

本文先介紹單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型，在單變量的基礎(chǔ)上，衍生到多變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型。

（一）單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型

單變量MIDAS模型是MIDAS模型中最簡(jiǎn)單的一種形式，該模型是針對(duì)一個(gè)高頻數(shù)據(jù)變量和一個(gè)低頻被解釋變量之間使用多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)來(lái)建立回歸模型，應(yīng)用非線性最小二乘法對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)高頻數(shù)據(jù)變量對(duì)低頻被解釋變量的預(yù)測(cè)。

單變量MIDAS（m，k）模型基本表達(dá)式如下：

在目前的理論研究中，存在四種不同的參數(shù)化多項(xiàng)式函數(shù)，分別為Beta、Almon、指數(shù)Almon和步函數(shù)四種多項(xiàng)式函數(shù)。Ghysels曾在2007年給出以上四種權(quán)重多項(xiàng)式函數(shù)的形式，具體表達(dá)式如下：

1.Beta多項(xiàng)式：

2.Almon滯后多項(xiàng)式：

3.指數(shù)Almon滯后多項(xiàng)式：

4.步函數(shù)多項(xiàng)式：

（二）混頻抽樣自回歸模型

由于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的指標(biāo)數(shù)據(jù)往往存在慣性，并且時(shí)間序列中前一期數(shù)據(jù)和后一期數(shù)據(jù)也存在自相關(guān)關(guān)系，因此我們?cè)诨祛l數(shù)據(jù)抽樣模型中加入自回歸項(xiàng)。在MIDAS模型中引入一階自回歸項(xiàng)的h步預(yù)測(cè)的AR-MIDAS模型表達(dá)式如下：

（三）多元混頻數(shù)據(jù)抽樣（M（n）-MIDAS）模型

在單變量MIDAS模型基礎(chǔ)之上，引入多個(gè)高頻解釋變量，擴(kuò)展為多元MIDAS模型，表達(dá)式如下：

（四）多元混頻數(shù)據(jù)抽樣自回歸（M（n）-MIDASAR）模型

當(dāng)考慮到低頻被解釋變量可能存在自相關(guān)性時(shí)，那么在M（n）-MIDAS模型中引入自回歸因子，則M（n）-MIDAS-AR模型表達(dá)式如下

其中，n為高頻解釋變量的數(shù)量，p為滯后階數(shù)，對(duì)于解釋變量xi（m）應(yīng)單獨(dú)設(shè)定其多項(xiàng)式函數(shù)形式和參數(shù)變量 θi來(lái)估計(jì) β1i。

（五）MIDAS模型的估計(jì)方法

Ghysels在2004年提出混頻數(shù)據(jù)模型時(shí)就嘗試使用NLS（非線性最小二乘估計(jì)）方法估計(jì)單變量和多變量MIDAS模型中的參數(shù)，假定在參數(shù)變量為θ的情況下，通過NLS可以得出：

其中，xt-h（θ）=[1，W（L1/m；θ）xt-h（m）]，β=（β0，β1）'在優(yōu)化前需要給出約束條件：θ1≤300，θ2≤0，再通過給參數(shù)θ設(shè)定不同的取值來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化過程和初始取值之間相互獨(dú)立。

（六）hah_test及AIC信息準(zhǔn)則

hah_test是測(cè)試滯后項(xiàng)和權(quán)重函數(shù)對(duì)MIDAS回歸系數(shù)的約束是否成立。給出MIDAS模型的約束：

檢驗(yàn)以下約束成立的原假設(shè)為：θ=g（h，λ），h=0，1，…，K，K+1，…，m

AIC信息準(zhǔn)則用于體現(xiàn)估計(jì)模型的復(fù)雜度和數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)良性，在當(dāng)下研究中主要作為衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)度的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。通常情況下：

K為參數(shù)變量的數(shù)量，L為模型的極大似然函數(shù)。AIC準(zhǔn)則假設(shè)模型誤差是服從獨(dú)立正態(tài)分布，研究表明增加變量個(gè)數(shù)可以達(dá)到提高模型擬合精度的效果，AIC信息準(zhǔn)則是在保證數(shù)據(jù)擬合良好的情況下盡量避免出現(xiàn)過度擬合的情況，所以優(yōu)先考慮AIC值最小的模型。AIC信息準(zhǔn)則是用來(lái)尋找最少的自由參數(shù)同時(shí)具有最優(yōu)解釋數(shù)據(jù)的模型。

三、實(shí)證分析

當(dāng)下的宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展系統(tǒng)中，有眾多影響季度GDP的指標(biāo)。劉漢、劉金全2011年發(fā)表的中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)總量的實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)與短期預(yù)測(cè)，李正輝、鄭玉航2015年發(fā)表的基于混頻數(shù)據(jù)模型的中國(guó)經(jīng)濟(jì)周期區(qū)制檢測(cè)等研究文章，提出固定資產(chǎn)投資、出口額、社會(huì)消費(fèi)品零售總額、規(guī)模以上工業(yè)增加值、稅收總額、居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)以及貨幣供應(yīng)量等指標(biāo)對(duì)季度GDP的影響效果最為顯著。古典經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為GDP主要由投資、出口、消費(fèi)“三駕馬車”共同影響。根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局和中國(guó)經(jīng)濟(jì)信息網(wǎng)公布的信息，GDP按季度發(fā)布，而固定資產(chǎn)投資、出口、社會(huì)消費(fèi)品零售總額等指標(biāo)按月度發(fā)布。由于以上數(shù)據(jù)的頻率不同并且公布時(shí)間也各不相同，導(dǎo)致無(wú)法對(duì)目前實(shí)際的GDP增長(zhǎng)狀態(tài)和未來(lái)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展形勢(shì)做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)和判斷。因此，本文采用國(guó)家統(tǒng)計(jì)局最新公布的高頻月度數(shù)據(jù)，應(yīng)用Ghysels提出的MIDAS混頻數(shù)據(jù)模型，并通過構(gòu)建不同的滯后項(xiàng)多項(xiàng)式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)GDP總額的短期預(yù)測(cè)并對(duì)預(yù)測(cè)精度進(jìn)行比較。

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源及處理方法

本文選取季度GDP作為低頻被解釋變量，選取固定資產(chǎn)投資、社會(huì)消費(fèi)品零售總額和出口額作為影響季度GDP總額的高頻解釋變量。使用2000年第一季度至2017年第四季度的實(shí)際GDPμ以及2000年1月至2017年12月的社會(huì)消費(fèi)品零售總額x1，t、出口額x2，t和固定資產(chǎn)投資總額x3，t來(lái)構(gòu)建混頻數(shù)據(jù)模型。本文對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行了取對(duì)數(shù)、差分等平穩(wěn)化處理。

本文首先采用單變量MIDAS（m，k）分別構(gòu)建季度GDP，μ 與單個(gè)解釋變量 xi，t（i=1，2，3） 的混頻數(shù)據(jù)模型，選取2000年第一季度至2017年第二季度的數(shù)據(jù)構(gòu)建MIDAS模型，預(yù)測(cè)2017年第三季度和第四季度的GDP，在AIC最小準(zhǔn)則下確定最優(yōu)滯后階數(shù)K，再加入不同的多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)并比較分析。其次，構(gòu)建多變量 M（n）-MIDAS（m，K，h）模型，選取不同權(quán)重函數(shù)對(duì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)并對(duì)比。最后，引入低頻變量的自回歸項(xiàng)，構(gòu)建多變量的M（n）-MIDAS（m，K，h）-AR（p）模型，在 AIC準(zhǔn)則下賦予高頻解釋變量最優(yōu)的滯后階數(shù)，對(duì)比不同多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)的情況下 M（n）-MIDAS（m，K，h）-AR（p）模型在當(dāng)前數(shù)據(jù)內(nèi)的預(yù)測(cè)精度。

（二）單變量MIDAS模型及預(yù)測(cè)

MIDAS模型在預(yù)測(cè)時(shí)須先確定高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)K和最優(yōu)權(quán)重多項(xiàng)式函數(shù)。最新的理論研究表明，選擇的滯后階數(shù)越長(zhǎng)越能體現(xiàn)信息的完整性，估計(jì)模型的顯著性越高，預(yù)測(cè)的精度更好。但是高頻解釋變量的滯后階數(shù)太長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)的損失，長(zhǎng)滯后階數(shù)在高頻金融數(shù)據(jù)中相對(duì)更具有可行性，但是宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的滯后長(zhǎng)度都較短，如果也取較長(zhǎng)的滯后階數(shù)，會(huì)導(dǎo)致用于MIDAS模型的樣本數(shù)據(jù)減少，反而會(huì)影響到模型的估計(jì)值和預(yù)測(cè)精度。并且不同的權(quán)重多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)模型的估計(jì)不同，Almon多項(xiàng)式函數(shù)在金融市場(chǎng)波動(dòng)的預(yù)測(cè)中使用較多，指數(shù)Almon和Beta多項(xiàng)式函數(shù)在宏觀經(jīng)濟(jì)分析和預(yù)測(cè)中應(yīng)用較多，不同多項(xiàng)式函數(shù)的MIDAS模型預(yù)測(cè)的精度也各不相同。本文在選擇高頻解釋變量的滯后階數(shù)和權(quán)重多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，滯后階數(shù)從3階一直取到10階，權(quán)重函數(shù)分別取 beta、Almon、指數(shù) Almon，并通過 AIC信息準(zhǔn)則，取出最優(yōu)滯后階數(shù)K和最優(yōu)的多項(xiàng)式函數(shù)，并對(duì)比最優(yōu)滯后階數(shù)K下最優(yōu)多項(xiàng)式和其余多項(xiàng)式函數(shù)模型的預(yù)測(cè)精度。

1.單變量MIDAS（m，k）模型的估計(jì)與預(yù)測(cè)

首先，本文分別建立季度GDPμ與單個(gè)解釋變量xi，t（i=1，2，3）的混頻數(shù)據(jù)模型，混頻數(shù)據(jù)圖形見圖1。

圖1 MIDAS模型中的混頻數(shù)據(jù)圖形

然后列出所有模型的AIC.restricted、AIC.unrestricted、BIC.restricted、BIC.unrestricted以及hah_test等參數(shù)值，通過AIC.restricted曲線確定最小值，從而確定季度GDP和社會(huì)消費(fèi)品零售總額、出口額和固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)滯后階數(shù)和最優(yōu)權(quán)重函數(shù)，圖2為AIC趨勢(shì)圖。

圖2 AIC趨勢(shì)圖

遵循AIC最小準(zhǔn)則，我們篩選出單變量MIDAS對(duì)應(yīng)的最優(yōu)模型。

表2 AIC準(zhǔn)則下的最優(yōu)滯后階數(shù)

社會(huì)消費(fèi)品零售總額x1，t的最優(yōu)滯后階數(shù)K1=5，最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon函數(shù)。hah_test的值大于臨界值 0.05，為 0.189，說明模型約束充分；出口額 x2，t的最優(yōu)滯后階數(shù)K2=5，最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為beta函數(shù)，hah_test值為0.380，大于臨界值，表明模型約束充分；固定資產(chǎn)投資x3，t的最優(yōu)滯后階數(shù)K3=6，最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon函數(shù)，hah_test值為0.945，模型約束充分。

在最優(yōu)滯后階數(shù)確定的情況下，本文分別選取指數(shù)almon、almon以及beta等多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)對(duì)比預(yù)測(cè)精度，選取2000—2017年的數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本內(nèi)估計(jì)，對(duì)2017年的第三季度和第四季度GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)，再給出各自模型的預(yù)測(cè)值以及樣本內(nèi)樣本外MASE和MAPE等參數(shù)，發(fā)現(xiàn)通過AIC信息準(zhǔn)則確定的模型預(yù)測(cè)精度并不是最好的。單變量混頻數(shù)據(jù)模型的估計(jì)結(jié)果如表3—表5所示，其中：EW表示基于特征值加權(quán)組合后的預(yù)測(cè)值；BICW：BIC信息準(zhǔn)則加權(quán)后的預(yù)測(cè)值；MSFE：均方誤差加權(quán)組合的預(yù)測(cè)值；DMSFE：基于MSFE組合的預(yù)測(cè)值。

表3 基于單變量MIDAS模型的預(yù)測(cè)值

表4 各自模型的EW、BICW、MSFE和DMSFE預(yù)測(cè)值

表5 單變量MIDAS模型樣本內(nèi)和樣本外的MSE、MAP值

在AIC信息準(zhǔn)則下，x1最優(yōu)多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon，根據(jù)表5可知，x1在指數(shù)almon多項(xiàng)式權(quán)重下樣本外的均方誤差（MSE）為12.154，平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）為41.106%，而x1在多項(xiàng)式almon權(quán)重函數(shù)下，樣本外的MSE值為10.522，MAPE為38.294，預(yù)測(cè)精度優(yōu)于指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)；x2在指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)下，樣本外MSE為9.665，MAPE為36.195，預(yù)測(cè)精度也優(yōu)于通過AIC信息準(zhǔn)則確定的beta權(quán)重函數(shù)；x3在almon權(quán)重函數(shù)中樣本外MSE值為14.435，MAPE為44.802，也比指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)的預(yù)測(cè)精度更好。并且單變量MIDAS的MAPE值都比較大，預(yù)測(cè)的精度并不理想，故下一步使用多變量MIDAS預(yù)測(cè)季度GDP，看預(yù)測(cè)精度會(huì)不會(huì)更優(yōu)。

（三）多變量MIDAS模型估計(jì)及預(yù)測(cè)

在單變量MIDAS模型預(yù)測(cè)精度不理想的情況下，我們引入多變量MIDAS模型，將3個(gè)高頻解釋變量一起納入混頻數(shù)據(jù)模型中，再對(duì)我國(guó)季度GDP進(jìn)行實(shí)證研究。本文為估計(jì)精度的需要，在AIC信息準(zhǔn)則選取的最優(yōu)模型基礎(chǔ)上，還使用不同權(quán)重函數(shù)來(lái)估計(jì)多變量MIDAS模型的精度，模型估計(jì)、樣本預(yù)測(cè)以及樣本內(nèi)外所需要的數(shù)據(jù)均與上述單變量MIDAS模型保持一致，下文不再贅述。

1.多變量M（n）-MIDAS模型估計(jì)結(jié)果及預(yù)測(cè)

在多變量的條件下，滯后階數(shù)k是從3取到10，多項(xiàng)式函數(shù)取指數(shù)almon、almon和beta，故多變量模型一共存在6965種不同組合的模型，通過AIC最小準(zhǔn)則，我們篩選出最優(yōu)滯后階數(shù)和權(quán)重函數(shù)分別為：社會(huì)消費(fèi)品零售總額x1，t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)；出口額x2，t為滯后5階的beta權(quán)重函數(shù)；固定資產(chǎn)投資x3，t為滯后8階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)，AIC值最小為398.305，模型的hah_test=0.9667，模型約束充分，然后對(duì)比最優(yōu)模型和最優(yōu)滯后階數(shù)下其他模型的預(yù)測(cè)精度。因模型滯后階數(shù)以及多項(xiàng)式函數(shù)選取的不同，本文選取具有代表性的五種組合模型，模型及估計(jì)結(jié)果如表6、表7、表8所示。

表6 多變量組合模型命名

表7 多變量MIDAS模型在h=1和h=2的預(yù)測(cè)值

表8 多變量MIDAS模型樣本外及樣本內(nèi)的MSE、MAPE值

在多變量MIDAS模型中，通過對(duì)比樣本外的MSE和MAPE值可知，AIC最小的模型并不是預(yù)測(cè)精度最好的模型，在各自高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)下，當(dāng)x1取almon加權(quán)函數(shù)，x2取almon加權(quán)函數(shù)，x3取beta加權(quán)函數(shù)時(shí)，模型在樣本外的MSE值最小，為3.864，MAPE值為23.181%。相比單變量MIDAS模型，引入更多高頻解釋變量能有效提升模型的預(yù)測(cè)精度，但是模型的MAPE值還是較大，若能進(jìn)一步降低MAPE的值，模型預(yù)測(cè)精度將進(jìn)一步提升。

2.自回歸多變量 MIDAS（AR-M（n）-MIDAS）模型估計(jì)及預(yù)測(cè)

由于宏觀經(jīng)濟(jì)變量大多存在慣性，經(jīng)濟(jì)類數(shù)據(jù)大多是時(shí)間序列，具有自相關(guān)性，故我們?cè)诙嘞蛄縈IDAS的基礎(chǔ)上引入因變量的自回歸項(xiàng)，構(gòu)建AR-M（n）-MIDAS模型來(lái)檢驗(yàn)?zāi)芊襁M(jìn)一步提升模型樣本外的預(yù)測(cè)精度，模型及估計(jì)結(jié)果如表9、表10、表11所示：

表1 變量數(shù)據(jù)及來(lái)源

表9 加入自回歸項(xiàng)的多變量組合模型命名

表10 AR-M（n）-MIDAS模型在不同步長(zhǎng)值下的預(yù)測(cè)值

表11 AR-M（n）-MIDAS樣本內(nèi)外的MSE、MAPE值

圖3 多變量MIDAS模型預(yù)測(cè)誤差百分比趨勢(shì)

通過上述預(yù)測(cè)精度趨勢(shì)圖可以看出，在沒加入自回歸項(xiàng)前，多變量MIDAS模型的MSE值和MAPE值都相對(duì)較大，通過預(yù)測(cè)2017年第3季度和第4季度GDP的預(yù)測(cè)誤差來(lái)看，誤差值都偏高，短期預(yù)測(cè)效果并不理想。再加入自回歸項(xiàng)后，樣本外的MSE和MAPE值都顯著降低，說明模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)一步提升。本次自回歸多變量MIDAS模型共存在6848種不同組合的模型，通過AIC準(zhǔn)則確定最優(yōu)模型為：社會(huì)消費(fèi)品零售總額x1，t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)；出口額x2，t為滯后5階的beta權(quán)重函數(shù)；固定資產(chǎn)投資x3，t為滯后6階的指數(shù) Almon權(quán)重函數(shù)，AIC值為 398.305，hah-test值為0.966，模型的約束良好，最優(yōu)模型的MSE值為2.111，MAPE值為17.125%，模型的預(yù)測(cè)精度已經(jīng)達(dá)到不錯(cuò)的水平，但是在社會(huì)消費(fèi)品零售總額x1，t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)，出口額x2，t為滯后5階的almon權(quán)重函數(shù)，固定資產(chǎn)投資x3，t為滯后6階的指數(shù)beta權(quán)重函數(shù)的M（n）-MIDAS-AR模型中，樣本外的MSE值為0.646，MAPE值為8.581%，說明后者模型擬合和預(yù)測(cè)的效果更加良好。

四、結(jié)論及建議

在以往的文獻(xiàn)中，混頻數(shù)據(jù)模型的最優(yōu)滯后階數(shù)都是直接給出的，一般都是取 3，6，12，18，24，30 等具體數(shù)字，沒有給出一個(gè)范圍并討論范圍中的最優(yōu)滯后階數(shù)，對(duì)于學(xué)術(shù)研究而言，給出的滯后階數(shù)并不能代表最優(yōu)的滯后階數(shù)，本文在選取滯后階數(shù)時(shí)，先根據(jù)實(shí)際情況和經(jīng)濟(jì)意義給出滯后階數(shù)的范圍，然后通過AIC信息準(zhǔn)則選取最優(yōu)滯后階數(shù)再來(lái)討論模型的預(yù)測(cè)精度，力求研究的準(zhǔn)確性。當(dāng)下眾多的研究中，很多文獻(xiàn)并沒有告知最優(yōu)多項(xiàng)式如何選取，大部分多項(xiàng)式函數(shù)都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或者自己直接給定，并沒有討論高頻解釋變量會(huì)因多項(xiàng)式函數(shù)的不同而影響最終的預(yù)測(cè)精度。本文實(shí)證在AIC最優(yōu)條件下的混頻數(shù)據(jù)模型并不是預(yù)測(cè)精度最好的模型，AIC信息準(zhǔn)則可以用來(lái)確定高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)，但不能選出最優(yōu)的多項(xiàng)式函數(shù)。在最優(yōu)滯后階數(shù)的情況下，我們可以通過MSE、MAPE以及與預(yù)測(cè)誤差等指標(biāo)來(lái)確定最優(yōu)多項(xiàng)式函數(shù)，從而確定預(yù)測(cè)精度最好的混頻數(shù)據(jù)模型。對(duì)于目前的混頻數(shù)據(jù)模型而言，可以嘗試加入新的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，如采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者蒙德卡羅等方法來(lái)檢驗(yàn)混頻數(shù)據(jù)模型擬合優(yōu)劣以及預(yù)測(cè)精度等。◆