高中數學探究性問題案例的教學思考

蘭鑫

探究性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結論不完備，要求解答者自己去探究并結合已有條件，進行觀察、分析、比較和概括。解決探究性數學問題對學生的數學思想、數學意識及綜合運用數學的能力有極大的促進作用，它有利于培養(yǎng)學生探索、分析、歸納、判斷等方面的能力，使學生經歷一個發(fā)現問題、研究問題、解決問題的全過程。

類型一：由已知條件向結論探究型

這類問題的基本特征是：針對一個結論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件。

本題為條件探索型題目，其結論明確，需要完備使得結論成立的充分條件，可將題設和結論都視為已知條件，進行演繹推理推導出所需尋求的條件。這類題要求學生變換思維方向，有利于培養(yǎng)學生的逆向思維能力。

類型二：由結論向條件探究型

這類問題有條件而無結論或結論的正確與否需要確定。解決這類問題要先探索結論而后去論證結論。在探索過程中可先從特殊情形人手，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結論，再就一般情形去認證結論。

例2某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數控機床;并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收人為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利額為y萬元。

（1）寫出y與x之間的函數關系式;

（2）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）;

（3）使用若千年后，對機床的處理方案有兩種：

①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床;

②當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問方案處理較為合算？請說明你的理由.

解：本例兼顧應用性和開放性，是實際工作中經常遇到的問題。

故10年后，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元。

解答函數型最優(yōu)化實際應用題，二、三元均值不等式是常用的工具。

類型三：存在與否判斷型

這類問題要判斷在某些確定條件下的某一數學對象（數值、圖形、函數等）是否存在或某一結論是否成立。

由此，可以知道，性質②能夠推廣。

總之，探究性問題對學生的數學思想、數學意識及綜合數學能力提出了較高的要求。它有利于培養(yǎng)學生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的數學能力，使學生經歷一個發(fā)現問題、研究問題、解決問題的全過程。