陳振龍，苑偉杰，夏登峰

(1.浙江工商大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.安徽工程大學(xué) 金融工程系，安徽 蕪湖 241000)

一、 引 言

保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資問題一直是當(dāng)今保險(xiǎn)精算領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，這主要是由于再保險(xiǎn)可以有效分散巨額索賠風(fēng)險(xiǎn)，投資能使保險(xiǎn)公司有效地管理盈余，實(shí)現(xiàn)財(cái)富價(jià)值最大化。在不同的目標(biāo)函數(shù)下，學(xué)者們研究了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略。比如，Browne[1]，Yang和Zhang[2]，Wang[3]等分別通過擴(kuò)散模型、跳擴(kuò)散模型和純跳過程模型，研究了終端財(cái)富指數(shù)效用最大化下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略。Schmidli[4]，Chen等[5]和Bi和Zhang[6]研究了在不同市場(chǎng)和模型下，以破產(chǎn)概率最小化為目標(biāo)的保險(xiǎn)公司最優(yōu)策略問題。B?uerle[7]，Zeng等[8]在均值—方差準(zhǔn)則下考慮了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資問題。關(guān)于其他結(jié)果可參閱相關(guān)文獻(xiàn)[9-10]。

近年來，隨著許多學(xué)者對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)理論與投資環(huán)境的深入研究，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)率能更好地解釋股票價(jià)格的波動(dòng)率微笑、收益分布厚尾性等特征。其中，Heston[11]于1993年提出風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率應(yīng)由CIR(Cox-Ingersoll-Ross)隨機(jī)過程驅(qū)動(dòng)更符合實(shí)際金融市場(chǎng)，該模型也被稱為Heston’s SV模型。之后，Kraft[12]和Liu[13]研究了Heston’s SV模型下的最優(yōu)投資組合問題。而Li等[14]，Huang等[15]分別在不同的金融市場(chǎng)假設(shè)中，考慮了Heston’s SV模型下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和投資問題。

然而，在一般的金融市場(chǎng)假設(shè)中很少有學(xué)者考慮可違約資產(chǎn)問題。實(shí)際上，可違約公司債券雖然存在違約風(fēng)險(xiǎn)，但因?yàn)橛邢鄬?duì)較高的收益率而備受保險(xiǎn)公司投資青睞。因此，考慮保險(xiǎn)公司在可違約資產(chǎn)上的投資具有重要意義。其中，Bielecki和Jang[16]研究了具有債券、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和可違約資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合問題。Zhu等[17]研究了在可違約金融市場(chǎng)中的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資問題，而Ma等[18]在此基礎(chǔ)上考慮了可違約金融市場(chǎng)中基于CEV(Constant Elasticity of Variance)模型下的最優(yōu)投資—再保險(xiǎn)問題。此外，Zhao等[19],Zhang和Chen[20],Li和Geng[21]在均值—方差準(zhǔn)則下分別考慮了基于GBM(Geometric Brownian Motion)模型、CEV模型和Heston’s SV模型下帶有違約風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)投資—再保險(xiǎn)問題。張永濤等[22]研究了在違約風(fēng)險(xiǎn)下，同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司與再保險(xiǎn)公司利益的最優(yōu)再保險(xiǎn)與投資問題。但這些文獻(xiàn)大都研究的是模糊中性的保險(xiǎn)公司(Ambiguity Neutral Insurer，ANI)。

但在現(xiàn)實(shí)中，由于投資者進(jìn)行最優(yōu)投資組合時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)選擇偏好和模型的選擇并不一致，且模型難免會(huì)出現(xiàn)誤差。因此，Anderson 等[23]將模糊厭惡的概念引入了Lucas模型。而Uppal和Wang[24]在此基礎(chǔ)上制定了一個(gè)允許投資者考慮模糊程度的框架。Maenhout[25]研究了帶有模糊不確定性的最優(yōu)跨期消費(fèi)問題。之后，Maenhout[26]在研究模型不確定性和隨機(jī)溢價(jià)下的最優(yōu)投資組合問題時(shí)，提出了一種度量模型不確定性定量效應(yīng)的方法。Flor和Larsen[27]在此基礎(chǔ)上采用不同的狀態(tài)偏好參數(shù)來刻畫模型不確定性的模糊度，進(jìn)一步推廣了度量模型不確定性定量效應(yīng)的方法。而Yi等[28]則考慮了模糊厭惡型保險(xiǎn)公司(Ambiguity-Averse Insurer，AAI)的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略。Sun等[29]在Zhu等[17]、Zhao等[19]的基礎(chǔ)上，考慮了GBM模型下AAI在可違約市場(chǎng)中的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略，但沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的隨機(jī)性。此外，其他相關(guān)結(jié)果可參閱文獻(xiàn)[30-34]。

本文受Sun等[29]、Zhu等[17]的啟發(fā)，在可違約金融市場(chǎng)中，將基于Heston’s SV模型研究模糊厭惡型保險(xiǎn)公司在指數(shù)效用下的穩(wěn)健最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略。該研究不僅考慮了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格波動(dòng)率的隨機(jī)性，而且考慮了擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)和跳躍風(fēng)險(xiǎn)引起的模型不確定性。此外，當(dāng)保險(xiǎn)公司的效用采用CARA效用函數(shù)時(shí)，Heston’s SV模型可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)無限的值函數(shù)(冪函數(shù)效用也有這個(gè)缺陷)。類似Yi等[28]的研究方法，可以通過在模型參數(shù)上強(qiáng)加一些技術(shù)條件來尋找一個(gè)在數(shù)學(xué)上可處理的框架。因此，在CARA效用下，AAI就可以考慮模型的不確定性，并尋求穩(wěn)健的最優(yōu)策略。本文假設(shè)金融市場(chǎng)由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、價(jià)格服從Heston’s SV模型的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和可違約債券三部分組成，對(duì)于模糊厭惡型保險(xiǎn)公司，用含狀態(tài)依賴的不同偏好參數(shù)度量模型不確定性的模糊度，通過等價(jià)鞅變換轉(zhuǎn)化為穩(wěn)健的最優(yōu)控制問題，并分別在違約前和違約后兩種情況下，針對(duì)CARA效用函數(shù)，建立HJB方程并求解，得出了最優(yōu)的再保險(xiǎn)—投資策略，最后進(jìn)行數(shù)值模擬，并給出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

本文剩余部分安排如下：第2部分主要在可違約金融市場(chǎng)中，針對(duì)AAI建立可違約金融市場(chǎng)模型，并利用Girsanov變換得到模糊厭惡型保險(xiǎn)公司的等價(jià)財(cái)富方程；第3部分在穩(wěn)健控制下，以終端財(cái)富期望效用最大化為目標(biāo)，分別給出了違約前和違約后情況下的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略；第4部分進(jìn)行數(shù)值模擬并給出經(jīng)濟(jì)解釋；第5部分對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。

二、 模型建立

(一) 保險(xiǎn)公司的盈余過程

假設(shè)保險(xiǎn)公司的索賠過程C(t)服從如下動(dòng)態(tài)方程：

dC(t)=adt-bdWR(t)，

其中，a,b>0為常量，分別表示為單位時(shí)間平均索賠額和索賠波動(dòng)率。

并假設(shè)保險(xiǎn)公司連續(xù)收取的保險(xiǎn)費(fèi)率為ζ0=(1+μ)a，其中μ>0為保險(xiǎn)公司的安全負(fù)荷。于是在無再保險(xiǎn)和投資的情況下，保險(xiǎn)公司的盈余過程為：

dR0(t)=ζ0dt-dC(t)=μadt+bdWR(t).

dR(t)=ζ0dt-q(t)dC(t)-ζ1dt

其中，λ=μ-η。

(二) 金融市場(chǎng)的模型假設(shè)

假設(shè)金融市場(chǎng)存在一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種可違約債券，且無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S0(t)滿足如下過程：

dS0(t)=r0S0(t)dt,

(2.1)

式中，常數(shù)r0>0表示無風(fēng)險(xiǎn)利率。

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S1(t)服從Heston’s SV模型：

(2.2)

其中，常數(shù)ξ>0為波動(dòng)溢價(jià)，V(t)是CIR過程。S1(0)=s1>0，V(0)=v0>0，k>0為V(t)的均值回歸率，θ>0為V(t)的長(zhǎng)期均值，σ>0為V(t)的波動(dòng)率。我們需要2kθ≥σ2，以確保V(t)是非負(fù)的。假設(shè){WS(t)}、{WM(t)}線性相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為ρ0∈[-1,1]，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)高斯線性回歸，{WM(t)}、{WS(t)}有如下關(guān)系 ：

ρ0dWS(t)+ρdWV(t)=dWM(t)，

下面本文將考慮一個(gè)到期日為T1的可違約零息債券，ζ∈[0,1]是債券的損失率，非負(fù)的隨機(jī)變量τ是違約時(shí)刻，在大多數(shù)基于強(qiáng)度的模型中，τ表示強(qiáng)度為hp的泊松過程第一次跳的時(shí)刻。對(duì)于t≥0，定義一個(gè)違約示性函數(shù)過程Z(t)=I{τ≤t}，記D(t)=σ{Z(u),0≤u≤t}和G(t)=Ft∨D(t)，則G={G(t),t≥0}是包含τ的最小σ域流。則根據(jù)Bielecki和Jang[16], 違約過程可以定義為：

則該違約過程在(P,G)上是一個(gè)鞅。記Q是與P等價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)中性鞅概率測(cè)度，根據(jù)無套利原理，當(dāng)違約時(shí)，債券持有者可以得到(1-ζ)EQ[e-r(T1-τ)]，通過Girsanovs定理(Bielecki和Jang[16]引理2)，則在Q測(cè)度下的違約強(qiáng)度hQ=hP/Δ，其中1/Δ為違約事件的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，則由文獻(xiàn)Bielecki和Jang[16]引理3可得如下引理：

引理2.1對(duì)于利率r0>0，在P測(cè)度下的可違約公司債券的動(dòng)態(tài)價(jià)格過程為：

其中，δ=ζhQ表示風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的債券息差。

(三) 財(cái)富過程

在本部分，本文構(gòu)造保險(xiǎn)公司的財(cái)富方程。首先，假設(shè)保險(xiǎn)公司在自融資情況下進(jìn)行再保險(xiǎn)—投資，其投資策略可以由一個(gè)三維隨機(jī)過程π={q(t),π1(t),π2(t),t∈[0,T]}來表示，其中q(t)表示風(fēng)險(xiǎn)暴露值，π1(t)表示在t時(shí)刻投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資金額，π2(t)表示在t時(shí)刻投資于可違約債券的資金額，剩余的資金投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。本文假設(shè)公司債券在違約后不進(jìn)行交易,且投資期限為[0,T],T

(2.3)

其中，Xπ(0)=x0為初始財(cái)富。與文獻(xiàn)Sun等[29]、Zhao等[19]、Ma等[18]、Yi等[28]相比較而言，本文在保險(xiǎn)公司的財(cái)富方程構(gòu)造中，不僅考慮了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格波動(dòng)率的隨機(jī)性，而且考慮了現(xiàn)實(shí)投資環(huán)境中存在的可違約資產(chǎn)。

(四) 穩(wěn)健的最優(yōu)控制問題

假設(shè)保險(xiǎn)公司追求終端財(cái)富指數(shù)效用最大化，其CARA效用函數(shù)如下：

(2.4)

其中，常數(shù)m>0為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。

在傳統(tǒng)再保險(xiǎn)—投資模型中，保險(xiǎn)公司一般假設(shè)為模糊中性的，其目標(biāo)函數(shù)為：

(2.5)

然而，本文主要考慮的對(duì)象是模糊厭惡型保險(xiǎn)公司，由于此類保險(xiǎn)公司對(duì)于模型的模糊性是厭惡的，故而他們更愿意接受穩(wěn)健的再保險(xiǎn)—投資策略，進(jìn)而以降低因隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型的參數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤而造成的風(fēng)險(xiǎn)。本文根據(jù)Anderson等[23]和Yi等[28]文獻(xiàn)的方法,通過考慮替代模型和保險(xiǎn)公司的偏好參數(shù)來解決此問題。下面本文將按照這種方法來構(gòu)造模型不確定性下的相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。首先,本文記Θ為所有與概率測(cè)度P等價(jià)的替代模型概率測(cè)度P*的集合：

在此基礎(chǔ)上，可行策略集的定義如下：

定義2.1策略π={q(t),π1(t),π2(t),t∈[0,T]}稱為可行策略，假如它滿足:

則Λ(t)是一個(gè)P-鞅，且EP[Λ(T)]=1。在概率測(cè)度P*∈Θ下，上式中的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為：

對(duì)于AAI保險(xiǎn)公司需要選擇一個(gè)模型來考慮穩(wěn)健的再保險(xiǎn)—投資策略，而參考模型是保險(xiǎn)公司根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和檢驗(yàn)給出的，雖仍存在模糊性，但能很好地描述真實(shí)模型，具有參考價(jià)值。所以保險(xiǎn)公司會(huì)懲罰任何偏離參考模型的模型，且懲罰隨著偏差的增加而增加。本文為了考慮替代模型和參考模型之間的差異，引入相對(duì)熵來度量測(cè)度P和P*之間的偏差，其相對(duì)熵為：

根據(jù)Flor和Larsen[27],Sun等[29]，為了減少替代模型與參考模型的偏離程度，需要引入一個(gè)懲罰項(xiàng)，當(dāng)替代模型偏離參考模型的時(shí)候，效用函數(shù)就會(huì)得到一個(gè)懲罰來糾正偏差，則添加懲罰項(xiàng)后，式(2.5)可被修正為穩(wěn)健性控制問題：

(2.6)

對(duì)非負(fù)數(shù)φi(t)≥0,i=1,2,3,4分別表示AAI對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率過程、保險(xiǎn)商盈余過程以及可違約債券價(jià)格過程的風(fēng)險(xiǎn)偏好參數(shù)。φi(t)越大，偏離參考模型的懲罰就越小，保險(xiǎn)公司對(duì)參考模型的信心就越低，AAI滿意的最壞情況模型就越偏離參考模型。

三、 最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資控制策略

在本節(jié)中，本文主要利用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，分別在違約前z=0和違約后z=1兩種情況下，獲得了AAI的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略。首先，為了求解式(2.6)的最優(yōu)穩(wěn)健控制問題，本文利用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，定義值函數(shù)如下：

其中，inf表示保險(xiǎn)公司對(duì)模型的模糊性是厭惡的，sup表示模糊厭惡型保險(xiǎn)商在穩(wěn)健的概率測(cè)度下找到最優(yōu)的再保險(xiǎn)—投資策略。本文在穩(wěn)健控制下，以終端財(cái)富期望效用最大化為目標(biāo)，尋找最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略π*∈Π，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，可得到值函數(shù)滿足的HJB方程為：

(3.1)

其中，邊界條件為：J(T,x,v,z)=-e-mx/m。上式中Jt，Jx，Jv，Jxv，Jxx，Jvv分別為值函數(shù)對(duì)時(shí)間t，財(cái)富x及波動(dòng)率v的一階、二階偏導(dǎo)及混合偏導(dǎo)。

此外，為了定量分析，采用Flor和Larsen[27]和Sun等[29]中的假設(shè)，選取偏好參數(shù)φi(t)的形式如下：

其中，βi≥0,i=1,2,3,4,分別是描述AAI對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率過程、保險(xiǎn)商盈余過程以及可違約債券價(jià)格過程的模糊厭惡系數(shù)。

因?yàn)閦=0或者z=1，故考慮兩種情況：

(一) 違約后

首先考慮z=1的違約后情況，此時(shí)的HJB方程為：

其邊界條件為J(T,x,v,1)=-e-mx/m。

下面本文將給出在z=1的違約后情況下，AAI的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略結(jié)果。

定理3.1設(shè)模型滿足以上假設(shè)條件，在z=1的違約后情況下，模糊厭惡型保險(xiǎn)公司最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略為：

其中，k1，k2，k3滿足式(3.5)。

證明：根據(jù)式(2.4)的指數(shù)效用函數(shù)以及邊界條件，本文猜測(cè)在z=1的違約后情況下，值函數(shù)為如下形式：

其中，A(·)和B(·)都是關(guān)于t的函數(shù)，由邊界條件J(T,x,v,1)=U(x)，可以得到A(T)=0和B(T)=0，于是J(t,x,v,1)對(duì)變量t，x，v求一階、二階偏導(dǎo)及混合偏導(dǎo)得：

Jt(t,x,v,1)=[r0mxer0(T-t)+A′(t)+B′(t)v]J(t,x,v,1)，
Jv(t,x,v,1)=B(t)J(t,x,v,1)，
Jx(t,x,v,1)=-mer0(T-t)J(t,x,v,1)，
Jvv(t,x,v,1)=B2(t)J(t,x,v,1)，
Jxx(t,x,v,1)=m2e2r0(T-t)J(t,x,v,1)，
Jxv(t,x,v,1)=(-mB(t)er0(T-t))J(t,x,v,1)．

其中，A′(t)和B′(t)是關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)。則z=1時(shí)的HJB方程可化為：

(3.2)

下面求解式(3.2)的最優(yōu)控制。對(duì)式(3.2)大括號(hào)中函數(shù)關(guān)于h，g，f求偏導(dǎo)，由一階條件可得：

(3.3)

其中，漂移項(xiàng)h*，g*，f*對(duì)應(yīng)于最壞情形，對(duì)于AAI其最優(yōu)策略是在這種情況下得出。將式(3.3)代入HJB方程(3.2)，再對(duì)策略π={q(t),π1(t),π2(t)}求偏導(dǎo)得最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略為：

(3.4)

將式(3.3)和(3.4)代入式(3.2)分離變量得到：

于是有：

應(yīng)用邊界條件A(T)=0，B(T)=0，可得：

其中，

(3.5)

于是在z=1的違約后情況下，模糊厭惡型保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略可得，證畢。

(二) 違約前

在違約前情形下，即z=0時(shí)，相應(yīng)HJB方程為：

π1σvρ0Jxv(t,x,v,0)+[J(t,x-π2ζ,v,1)-J(t,x,v,0)]jhP+

其邊界條件為J(T,x,v,0)=-e-mx/m。

下面給出引理3.1，其在違約前情形下，求解AAI的最優(yōu)再保險(xiǎn)與投資策略中起著關(guān)鍵作用。

引理3.1方程δ/ζ-hPj-(mhPjlnj)/β4=0有唯一正根j*。

下面本文將給出在z=0違約前情況下，AAI的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略結(jié)果。

定理3.2設(shè)模型滿足以上假設(shè)條件，在z=0違約前情況下，模糊厭惡型保險(xiǎn)公司最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略為：

其中，k1，k2,k3滿足式(3.5)，j*滿足方程(3.9)。

證明根據(jù)式(2.4)的指數(shù)效用函數(shù)以及邊界條件，本文猜測(cè)在z=0的違約前情況下，值函數(shù)為如下形式：

其中，A1(·)和B1(·)都是關(guān)于t的函數(shù)，由邊界條件J(T,x,v,0)=U(x)，可以得到A(T)=0和B(T)=0，于是J(t,x,v,0)對(duì)變量t，x，v求一階、二階偏導(dǎo)及混合偏導(dǎo)得：

其中，A′1(t)和B′1(t)是關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)。則z=0時(shí)的HJB方程可化為：

(3.6)

下面求解最優(yōu)控制，對(duì)式(3.6)大括號(hào)中函數(shù)求導(dǎo)，由一階條件可得最優(yōu)策略為：

(3.7)

將式(3.7)帶入式(3.6)中，再對(duì)式(3.6)大括號(hào)中函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)一階條件，可得對(duì)于AAI保險(xiǎn)公司滿意時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)為：

(3.8)

(3.9)

由引理3.1可知,方程(3.9)有唯一正根。將式(3.7)-(3.9)代入式(3.6)中，分離變量得:

于是有：

根據(jù)邊界條件A1(T)=0，B1(T)=0。令G(t)=A1(t)-A(t)，則由一階微分可得：

根據(jù)邊界條件G(T)=A1(T)-A(T)=0，得到上式一階微分方程的解為

根據(jù)文獻(xiàn)Zhu等[17]，非線性一階Riccati微分方程解是唯一的。則可得：

其中,k1，k2，k3滿足式(3.5)。

于是在z=0的違約前情況下，模糊厭惡型保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略可得。證畢。

通過以上分別對(duì)違約前和違約后兩種情況的討論，對(duì)于更一般的情況，模糊厭惡型保險(xiǎn)商的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略結(jié)論如下。

定理3.3設(shè)模型滿足以上假設(shè)條件，且如果參數(shù)滿足條件式(3.14)和式(3.15)。則根據(jù)定理3.1和定理3.2，本文可以得到模糊厭惡型保險(xiǎn)公司基于Heston’s SV模型下帶違約風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略為：

其中，

(3.10)

(3.11)

(3.12)

而與值函數(shù)J(t,x,v,z)相關(guān)的HJB方程(3.1)的解為：

(3.13)

推論3.4若參數(shù)滿足如下條件：

(3.14)

證明證明方法與Yi等[28]的推論4.1的證明方法類似，把φ*(t)代入Novikov條件中，根據(jù)條件式(3.14)和Taksar和Zeng[36]的定理5.1可驗(yàn)證Novikov條件成立。詳情請(qǐng)參閱文獻(xiàn)Yi等[28]。

證畢。

下面本文將驗(yàn)證上述的最優(yōu)策略(3.10)-(3.12)就是穩(wěn)健性控制問題(2.6)的最優(yōu)解，其HJB方程的解(3.13)就是相對(duì)應(yīng)的值函數(shù)。

(3.15)

(1)π*是一個(gè)可容許策略；

此外，驗(yàn)證上述三條性質(zhì)的方法與文獻(xiàn)Yi等[28]的性質(zhì)4.1和Sun[29]的定理5.1的證明方法類似，其中技術(shù)條件式(3.15)保證了模型不會(huì)產(chǎn)生一個(gè)無限的值函數(shù)。證畢。

四、 數(shù)值模擬

本節(jié)將給出數(shù)值例子進(jìn)行模擬分析，以說明各個(gè)因素對(duì)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資決策的影響，其中，本文采用Yi等[28]和Sun等[29]中的參數(shù)設(shè)置。為方便數(shù)值模擬，除另有說明外，基本參數(shù)設(shè)置如表1。

表1 基本參數(shù)表

圖1分別表示了模糊厭惡參數(shù)β1和β2單獨(dú)對(duì)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資策略的影響。由圖可知，最優(yōu)投資(3.11)是關(guān)于β1的遞減函數(shù)，說明隨著AAI對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的態(tài)度越來越厭惡，其投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的金額必定會(huì)相應(yīng)地減少，這也意味著投資商的投資選擇將趨于保守。其次，隨著β2的增長(zhǎng)，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資策略π1(t)的增長(zhǎng)很緩慢，這是因?yàn)槠鋵?duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)只是一種很微弱的影響。

圖1 參數(shù)β1和β2對(duì)最優(yōu)投資策略π1(t)的影響

圖2分別表示當(dāng)ρ0=0.4和ρ0=-0.4時(shí)，Heston’s SV模型的參數(shù)ξ和σ對(duì)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資策略(3.11)的影響，比較圖2的左圖和右圖可知，隨著風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)ξ增大,AAI對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資就越高，說明風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)產(chǎn)生的收益是正相關(guān)的，ξ越大代表風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均回報(bào)率相對(duì)越高，那么投資者就會(huì)加大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資金額。而從左圖可以看出，當(dāng)ρ0>0時(shí)，那么風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程和它的波動(dòng)過程是正相關(guān)的，即在相同方向上變化，所以隨著波動(dòng)過程V(t)的波動(dòng)率σ的增大，就會(huì)增強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)性，投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)就越大，那么AAI就會(huì)減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。而對(duì)于波動(dòng)過程V(t)的均值回歸率k而言，高風(fēng)險(xiǎn)意味著高收益，但影響程度有限。所以隨著k的增加，投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額趨于平穩(wěn)。相反，從右圖可以看出，當(dāng)ρ0<0時(shí)，那么風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程和它的波動(dòng)過程是負(fù)相關(guān)的，即在相反方向上變化，所以隨著波動(dòng)過程V(t)的波動(dòng)率σ的增大，就會(huì)抵消風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)性，投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)就越小，那么AAI就會(huì)增大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。而均值回歸率k對(duì)于最優(yōu)投資策略的影響也與左圖的相反。

圖2 當(dāng)ρ0分別等于0.4和-0.4時(shí)，ξ、σ和k對(duì)最優(yōu)投資策略π1(t)的影響

圖3表示參數(shù)a，b和β3對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略(3.10)的影響。由左圖可知，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略(3.10)隨著模糊厭惡系數(shù)β3的增加而減小，這意味著隨著AAI對(duì)不確定索賠的態(tài)度越來越厭惡，其保險(xiǎn)公司在保險(xiǎn)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)暴露就越小。這就說明原保險(xiǎn)公司為了降低自身的風(fēng)險(xiǎn)，會(huì)加大再保險(xiǎn)比例。這也符合AAI模糊厭惡系數(shù)β3越大，其將采取保守的策略以降低自身的索賠比例的事實(shí)。此外，隨著索賠過程中漂移參數(shù)a的增大，最優(yōu)再保險(xiǎn)(3.10)的值就也越大，這意味著出現(xiàn)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的可能性增大時(shí)，保險(xiǎn)公司將會(huì)加大再保險(xiǎn)比例以分散風(fēng)險(xiǎn)。由右圖可知，隨著索賠過程中擴(kuò)散參數(shù)b值的增加，其最優(yōu)再保險(xiǎn)(3.10)的值在減少，這與隨著巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率的增大，其保險(xiǎn)公司為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)而加大再保險(xiǎn)比例的事實(shí)相吻合。

圖3 參數(shù)a，b和β3對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略q(t)的影響

圖4表示含糊厭惡參數(shù)β4對(duì)最優(yōu)可違約債券投資策略π2(t)的影響。其中β4為AAI對(duì)可違約債券跳躍風(fēng)險(xiǎn)的含糊厭惡參數(shù)。從圖中可以清晰看到隨著β4的增大，最優(yōu)可違約債券投資策略π2(t)的值一直在遞減。這與AAI規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的投資方式這一事實(shí)相符。

圖4 參數(shù)β4對(duì)最優(yōu)投資策略π2(t)的影響

圖5表示參數(shù)ζ和1/Δ對(duì)最優(yōu)投資策略π2(t)的影響趨勢(shì)圖。比較兩圖可以看出隨著可違約債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)1/Δ的增大，其最優(yōu)投資策略π2(t)不斷增大并趨于平緩。這是因?yàn)楦哌`約風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)會(huì)導(dǎo)致高的潛在收益率，所以當(dāng)違約風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)上升時(shí)，保險(xiǎn)公司會(huì)把更多的資金投資于該可違約債券，但投資額的變化率會(huì)快速下降并趨于零，這正和效用遞減的規(guī)律相符合。

圖5 參數(shù)ζ和1/Δ對(duì)最優(yōu)投資策略π2(t)的影響

五、 結(jié)論與展望

本文考慮了模糊厭惡型保險(xiǎn)公司在可違約金融市場(chǎng)中的穩(wěn)健最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略問題。其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從Heston’s SV模型，利用Girsanov變換得到模糊厭惡型保險(xiǎn)公司的等價(jià)財(cái)富方程，以終端財(cái)富期望指數(shù)效用最大化為目標(biāo)，建立其相應(yīng)的HJB方程。并分別在違約前和違約后情況下，求解HJB方程，獲得了最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略。最后，數(shù)值模擬出了各參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略的影響。結(jié)果顯示模型的模糊度對(duì)AAI的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略影響非常明顯，隨著模糊厭惡型保險(xiǎn)公司的總體風(fēng)險(xiǎn)厭惡度增加，AAI對(duì)于不確定風(fēng)險(xiǎn)投資更趨于保守，這將大大削減其在再保險(xiǎn)—投資市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)暴露。而數(shù)值模擬也可以發(fā)現(xiàn)，刻畫風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略有很復(fù)雜的影響，但影響程度有限。此外，相比較使用同一偏好參數(shù)的模型結(jié)果來看，本文的最優(yōu)策略的表達(dá)式更精確，考慮的模型更符合實(shí)際金融環(huán)境。最后，關(guān)于進(jìn)一步的研究工作可以從以下兩個(gè)方面深入探討：第一，可以在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資過程中考慮加入期權(quán)，豐富投資種類，也可以加入稅收和交易費(fèi)用；第二，可以在通脹情況下，考慮Heston’s SV模型下帶有違約風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)再保險(xiǎn)—投資策略，使得模型更加貼合實(shí)際金融環(huán)境。