李建良

[摘? 要] “數(shù)學(xué)抽象”是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，通過優(yōu)化教學(xué)和學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過抽象概括，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)相關(guān)概念或定理. 文章以教學(xué)實(shí)踐為例，初步探索如何通過優(yōu)化教學(xué)方式來發(fā)展高中生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)抽象;核心素養(yǎng);教學(xué)方式

《2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.”抽象是數(shù)學(xué)的思維方式之一，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中最基本的思維方法. 對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，實(shí)際上是一種構(gòu)造活動(dòng)，是借助已有知識(shí)和邏輯推理建構(gòu)新概念或定理的過程. 因此，我們要優(yōu)化教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上通過觀察實(shí)驗(yàn)、猜想驗(yàn)證、邏輯推理、抽象概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)逐步獲得新概念、新定理，要達(dá)到這樣的目的必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng). 下面結(jié)合具體實(shí)例來談?wù)勗诮虒W(xué)中如何通過直觀教學(xué)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、類比聯(lián)想、數(shù)學(xué)探究等區(qū)別于傳統(tǒng)的教學(xué)方式來發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng).

[?]重視直觀教學(xué)，增強(qiáng)感性體驗(yàn)

直觀教學(xué)就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為學(xué)生提供生動(dòng)、具體、形象的可感知的實(shí)物、圖片、模型或作圖軟件繪制的動(dòng)態(tài)圖形，豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)和感性認(rèn)識(shí)，深化學(xué)生理性認(rèn)識(shí)的一種教學(xué)手段. 目的是幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的對(duì)象，牢固掌握所學(xué)知識(shí)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

在必修1“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)過程中，盡可能提供實(shí)例和素材，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生直觀地描述函數(shù)圖像的特征，形與數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而幫助學(xué)生理解和掌握函數(shù)單調(diào)性概念.教學(xué)中首先創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)如下問題.

問題1：函數(shù)f（x）=x與f（x）=x2的圖像是怎樣變化的，它們有怎樣的升降規(guī)律？

多媒體給出上述兩個(gè)函數(shù)圖像，讓學(xué)生充分觀察圖像的變化，并組織學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行多視角的比較，進(jìn)而分析每個(gè)圖像各自的特點(diǎn)，從中尋找它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn). 這樣做不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的主要特征，而且可以培養(yǎng)觀察、聯(lián)想、比較、分析、綜合、抽象、概括的一般思維方法.

學(xué)生相互爭(zhēng)鳴提出自己的意見，分化出這些圖形相對(duì)共同的某種性質(zhì)或特征. 討論之后，學(xué)生的回答如下：一次函數(shù)f（x）=x圖像由左至右是上升的;函數(shù)f（x）=x2圖像在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的. 這時(shí)教師要做必要的說明：不同的函數(shù)，其圖像的變化趨勢(shì)可能也不同;同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢(shì)也不一定相同，即上述圖像的上升或下降表明了函數(shù)在變化中一種不變的性質(zhì)，數(shù)學(xué)上把這種函數(shù)的性質(zhì)稱之為“單調(diào)性”，上升稱為單調(diào)遞增，下降稱為單調(diào)遞減. 此時(shí)可以設(shè)置如下問題.

問題2：怎樣用x與f（x）數(shù)值的變化來描述圖像的上升或下降呢？

教師可指導(dǎo)學(xué)生利用科學(xué)計(jì)數(shù)器完成f（x）=x2的對(duì)值表，并觀察表格中自變量的值由小到大變化時(shí)，函數(shù)值f（x）的變化（表1）.

學(xué)生歸納得到：二次函數(shù)f（x）=x2，x<0時(shí)函數(shù)值f（x）隨著x的增大而減小，x>0時(shí)函數(shù)值f（x）隨著x的增大而增大，即函數(shù)y=f（x）圖像相對(duì)x軸逐漸上升等價(jià)于函數(shù)f（x）隨x的增大而增大;函數(shù)y=f（x）圖像相對(duì)x軸逐漸下降等價(jià)于函數(shù)f（x）隨x的增大而減小. 接著教師要引導(dǎo)學(xué)生如何利用函數(shù)解析式f（x）=x2描述“函數(shù)f（x）隨x的增大而增大”和“函數(shù)f（x）隨x的增大而減小”. 這是用動(dòng)態(tài)的圖形描述過渡到用靜態(tài)的符號(hào)描述的過程，需要讓學(xué)生充分討論，尋找數(shù)學(xué)抽象表述的方法，提出單調(diào)性定義的假設(shè).此時(shí)教師提出如下問題.

問題3：對(duì)于f（x）=x2，在（0，+∞）上，任意改變x，x的值，當(dāng)x

學(xué)生嘗試解決任意給出一些x，x的值，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x

[?]開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)抽象認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過實(shí)際操作，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、定理，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的活動(dòng).

例如，必修2“線面垂直的判定定理”一節(jié)，我們可以設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)教學(xué)：如圖1，請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面α上（BD，CD與桌面接觸）. （1）折痕AD與桌面α垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面α垂直？

在折紙實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因，學(xué)生再次折紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件. 在學(xué)生繼續(xù)動(dòng)手操作的過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是邊BC上的高時(shí)，AD與桌面α垂直，這激發(fā)了學(xué)生的好奇心：這是為什么呢？緊接著可以設(shè)置這樣一個(gè)問題：（1）有人說，折痕AD所在直線與桌面α上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面α，你同意他的說法嗎？（2）如圖1，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥BD且AD⊥CD，由此你能得到什么結(jié)論？通過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：AD⊥BC沿著AD翻折之后這一垂直關(guān)系是一個(gè)不變關(guān)系，即在圖2中AD⊥BD且AD⊥CD，并且BD交CD于D，BD，CD?α.通過以上實(shí)驗(yàn)觀察、交流探究，線面垂直的判定定理自然就出來了.

[?]實(shí)施數(shù)學(xué)探究，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維

探究性學(xué)習(xí)，是指在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生主動(dòng)去探索知識(shí)、獲取知識(shí)并運(yùn)用知識(shí)的學(xué)習(xí)方式. 因此對(duì)于教材安排的有些“探究”“思考”，不但要充分利用起來，而且要加以拓展和延伸，將探究進(jìn)行到底.

教學(xué)選修2-3“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，為了使學(xué)生建立“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)之間關(guān)系的直覺，讓學(xué)生計(jì)算（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入表格. 學(xué)生計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)每一行的系數(shù)具有對(duì)稱性，為方便探究，教材建議將表格表示形式發(fā)生轉(zhuǎn)變，引出“楊輝三角”，并設(shè)置探究2：你能借助上面的表示形式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎？教材將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)與“楊輝三角”結(jié)合起來，是因?yàn)楫?dāng)二項(xiàng)式系數(shù)不大時(shí)，可借助它直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并利用它探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，如對(duì)稱性、增減性與最大值、二項(xiàng)式系數(shù)的和等等.

在研究完二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)后，可以收集相關(guān)資料，創(chuàng)設(shè)合理情景，分組探索研究：

1. 每位同學(xué)都自己編制楊輝三角前20行.

2. 每個(gè)小組發(fā)一份“楊輝三角研究成果報(bào)告單”，附：楊輝三角研究成果報(bào)告單（表2）.

3. 教師用多媒體或?qū)嵨锿队皟x出示下列五個(gè)問題.

問題1：在楊輝三角的第1、3、7、15、……行，即第2k-1行的各數(shù)字有什么特點(diǎn)？

問題2：在楊輝三角的第5行中，除去兩端數(shù)字1以外，行數(shù)5能整除其余的所有各數(shù)，你能找出具有類似性質(zhì)的三行嗎？這時(shí)行數(shù)P是一個(gè)什么樣的數(shù)？

問題3：在楊輝三角的前5行中作平行于左斜邊的直線，這些直線所經(jīng)過的數(shù)字之和有什么特點(diǎn)？

問題4：在教材第36頁圖2中，請(qǐng)先求出斜線所經(jīng)過的數(shù)字的和，再觀察這些和，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

問題5：在楊輝三角的前6行、……、前n行數(shù)字中作平行于右斜邊的直線，這些直線所經(jīng)過的數(shù)字的和是多少？

各組研究后，成果由小組長(zhǎng)匯總，填入研究成果報(bào)告單，教師審閱后，按相異的原則抽選3個(gè)組，或抽簽選取3個(gè)組，然后指導(dǎo)學(xué)生使用投影儀展示，并加以說明. 被抽小組發(fā)言后，由未被抽選的小組發(fā)言說明不同的結(jié)論或疑問，再由另外的同學(xué)進(jìn)行評(píng)估交流. 教師對(duì)不同的結(jié)論和疑問可組織學(xué)生討論、答辯，并循循善誘地引導(dǎo)到正確結(jié)論上來，結(jié)論由學(xué)生給出. 如果時(shí)間允許，對(duì)高階等差數(shù)列求和問題，教師可介紹“逐差法”求和，與用楊輝三角數(shù)字規(guī)律求高階等差數(shù)列和比較繁簡(jiǎn)，另外還可引導(dǎo)學(xué)生共同探求“萊布尼茨三角”的數(shù)字規(guī)律. 在課堂上有的規(guī)律可能探求不出，寧可留到課外去討論，教師也不要把結(jié)論強(qiáng)行“塞”給學(xué)生，在整個(gè)過程中要充分尊重學(xué)生的“主角”地位.

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體. 在課堂教學(xué)中，應(yīng)重視學(xué)生自主探索研究的學(xué)習(xí)過程，教師重在點(diǎn)撥、指導(dǎo)，以利形成研究的氛圍. 為培養(yǎng)學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”欲望，激發(fā)學(xué)生興趣，對(duì)學(xué)生探求的結(jié)果，哪怕是微小的發(fā)現(xiàn)，都應(yīng)給予充分肯定、表揚(yáng)和鼓勵(lì). 教學(xué)相長(zhǎng)，以此建設(shè)新型的師生關(guān)系. 培養(yǎng)學(xué)生的探究能力不是一朝一夕的，只要我們充分利用好教材提供的豐富資源，正確把握數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)，充分關(guān)注學(xué)習(xí)過程，誘發(fā)探究興趣，嘗試探究途徑，拓寬探究領(lǐng)域，學(xué)生的探究能力就一定能得到明顯提高.