高中數(shù)學(xué)解題錯(cuò)因分析及對(duì)策

阮蓮花

摘要：學(xué)生做題時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因可能有多種。主要分為智力因素和非智力因素兩大類。如對(duì)一些概念性質(zhì)模糊，忽視了一些公式定理成立的條件，違反了證明規(guī)則。不能正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法如分類討論考慮不全面;審題不清，由于慣性思維對(duì)題目主觀臆斷[1];對(duì)公式機(jī)械記憶導(dǎo)致混淆錯(cuò)誤運(yùn)用;由于粗心大意導(dǎo)致的錯(cuò)誤。本文通過(guò)一些典型的例題對(duì)應(yīng)分析學(xué)生做題產(chǎn)生的錯(cuò)誤原因并提出糾錯(cuò)策略，以幫助學(xué)生找到薄弱點(diǎn)提高數(shù)學(xué)成績(jī)和為教師教學(xué)提供一點(diǎn)啟示。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題;錯(cuò)因分析;糾錯(cuò)策略

引言

數(shù)學(xué)以其特有的思維性，令許多學(xué)生望而生畏，尤其是高中數(shù)學(xué)。但是其實(shí)不管什么學(xué)科，都有一定的方法蘊(yùn)含其中，只要理解掌握了，數(shù)學(xué)可以成為你的優(yōu)勢(shì)學(xué)科，數(shù)學(xué)能通過(guò)人的邏輯推理和分析思維能力，學(xué)好數(shù)學(xué)也有助于學(xué)好物理和化學(xué)。在解題中，一道題中可能涉及了一些數(shù)學(xué)思想方法及一系列的定理公式和概念性質(zhì)的應(yīng)用。很多人不停地刷題鍛煉自己的能力，事實(shí)上大部人做完成堆的題效果并不明顯，是因?yàn)樗麄冏ゲ蛔≈仉y點(diǎn)，沒(méi)有真正理解和掌握總結(jié)，刷再多題也是無(wú)用功，題不在于多而在于精。學(xué)好數(shù)學(xué)重要是方法和知識(shí)體系的前后聯(lián)系，學(xué)會(huì)總結(jié)反思，把一些題和方法歸類，深入理解和鞏固。在學(xué)習(xí)和做題中反思分析錯(cuò)題錯(cuò)因是很有必要的，對(duì)于學(xué)生而言可以找到自己的薄弱點(diǎn)，對(duì)癥下藥;對(duì)于教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤反思和改進(jìn)教學(xué)，充分備課。下面結(jié)合自己的實(shí)踐體驗(yàn)分析一些易錯(cuò)題的錯(cuò)因及相應(yīng)的教學(xué)改進(jìn)策略。

一、對(duì)一些概念性質(zhì)模糊導(dǎo)致的錯(cuò)誤

這是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中出錯(cuò)的一個(gè)重要原因，學(xué)習(xí)概念時(shí)沒(méi)有理解概念的內(nèi)涵和外延，不能把握準(zhǔn)概念。一些看似簡(jiǎn)單的題目，稍微變式一下，做題就感到模棱兩可，所以一定要深入理解概念。

例1設(shè)M={1、2、3}，N={e、g、h}，從M至N的四種對(duì)應(yīng)方式，其中是從M到N的映射是（B）

錯(cuò)因分析：本題考查映射的概念和特點(diǎn)，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是對(duì)映射的概念和特點(diǎn)不清楚，以及與函數(shù)概念的聯(lián)系和區(qū)別模糊。對(duì)映射是否能一對(duì)多還是多對(duì)一混淆。根據(jù)映射的特點(diǎn)不能“一對(duì)多”：A中不能有剩余元素，B中可以有剩余元素。所以A、B、D都錯(cuò)誤;只有C完全滿足映射與函數(shù)〈特殊對(duì)應(yīng)）的全部5個(gè)特點(diǎn)。

教師在講解概念和這類題目時(shí)應(yīng)舉一些例子，使學(xué)生在完全掌握概念的基礎(chǔ)上，靈活掌握變型題。并且講清楚映射和函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別以及各自的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)比區(qū)別他們的不同之處，深入理解記憶。函數(shù)是特殊的映射，是數(shù)集到數(shù)集的映射，映射是函數(shù)概念的擴(kuò)展，映射不一定是函數(shù)。映射與函數(shù)（特殊對(duì)應(yīng)）的共同特點(diǎn)：可以是“一對(duì)一”;可以是“多對(duì)一”;不能“一對(duì)多”。

錯(cuò)因分析：出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有注意到構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是不同的，即集合M是數(shù)集，而集合N是點(diǎn)集，兩個(gè)集合是性質(zhì)完全不同的集合，不能做運(yùn)算。

因?yàn)榧螻是一個(gè)點(diǎn)集，不是數(shù)集，即集合N表示直線y=x+1上所有的點(diǎn)，而不是（一∞，+∞）。所以集合M∩N=0。

集合的概念是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念，集合知識(shí)是為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備的基礎(chǔ)知識(shí)。教師在講解集合知識(shí)的時(shí)候，應(yīng)著重講解集合的性質(zhì)，特別需要教師強(qiáng)調(diào)的是構(gòu)成集合元素的特征。

二、對(duì)于一些公式定理理解不清或混淆而導(dǎo)致的錯(cuò)誤

沒(méi)有注意公式定理的前提條件，從而擴(kuò)大其使用范圍等，都可能導(dǎo)致解題出錯(cuò)。如利用均值不等式求最值時(shí)，對(duì)一正二定三相等的條件理解不透徹，忽略了求最值的法則及不等式成立的條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果[2]。學(xué)生往往會(huì)因?yàn)楹鲆曔@三個(gè)條件中的某個(gè)而出錯(cuò)。

學(xué)生1：因?yàn)閨a-b|=|b|，所以a-b=b或a-b=-b，故a=2b或a=0（舍去），所以|a-2b|=0，由于b是非零向量，所以|2b|>0，故|2b|>|a-2b|，選A。

學(xué)生2：因?yàn)閨a-b|=|b|，所以（a-b）（a-b）=b·b，a·a-2a·b+b·b=b·b，

所以a·a=2a·b，所以a=2b，故|a-2b|=0。由于b是非零向量，所以|2b|>0，故|2b|>|a-2b|.選A。

教師在講解該內(nèi)容時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖，數(shù)形結(jié)合可以使學(xué)生更直觀的理解和比較大小關(guān)系。說(shuō)明向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)區(qū)別，向量運(yùn)算不僅涉及向量的長(zhǎng)度，還涉及向量的方向。在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a≠0且ab=0則b=0。但在向量運(yùn)算中若a≠0且ab=0則有兩種情況b=0或a⊥b[3]。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法如分類討論考慮不全面

分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助。分類討論是具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置。分類原則：分類對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論[4]。但是在解題中學(xué)生容易因?yàn)榉诸悩?biāo)準(zhǔn)和層次不清楚而導(dǎo)致一些錯(cuò)誤。

錯(cuò)因分析：該學(xué)生沒(méi)有考慮直線L的斜率不存在的情況。可能出現(xiàn)的原因有以下幾點(diǎn)：①該學(xué)生忽略了直線點(diǎn)斜式方程的局限性（點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的直線）;②該學(xué)生對(duì)分類討論思想的運(yùn)用不熟練：③該學(xué)生對(duì)圓與直線的位置關(guān)系考慮得不全面。

正確解法：①當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題意所求直線l的方程為x=2;②當(dāng)直線L的斜率存在且設(shè)為k時(shí)，方法如上。綜上，所求直線L的方程為x=2或4x-3y+1=0

教師應(yīng)該根據(jù)該題的教學(xué)步驟，在教學(xué)過(guò)程中，采取相應(yīng)策略設(shè)置問(wèn)題。

教師提出問(wèn)題，“過(guò)圓外一點(diǎn)能作幾條圓的切線”，讓學(xué)生畫出該題相關(guān)的圖像，“直線L與圓相切有幾種情況？”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線斜率的存在情況運(yùn)用分類討論思想解題，可設(shè)置問(wèn)題如“當(dāng)斜率存在時(shí)，直線L的方程如何求得？”當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線L的方程是什么？

四、審題不清，由于慣性思維對(duì)題目主觀臆斷;對(duì)公式機(jī)械記憶導(dǎo)致混淆錯(cuò)誤運(yùn)用;由于粗心大意導(dǎo)致的錯(cuò)誤

例7已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4，右焦點(diǎn)F（10，0），離心率e=2，求雙曲線的方程。

五、總結(jié)

總的來(lái)說(shuō)，我認(rèn)為教師可以從以下幾點(diǎn)著手①在新知識(shí)的教學(xué)時(shí)注重突出基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念，在學(xué)生知識(shí)和思維的薄弱點(diǎn)設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，說(shuō)明相關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，加入適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，幫助學(xué)生真正掌握知識(shí)點(diǎn)。深入理解公式定理的成立條件和證明過(guò)程，不能停留在機(jī)械表面的記憶層面。②在日常學(xué)習(xí)、練習(xí)中養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣。比如，整潔的草稿紙是理性思維的外在表象。做題時(shí)不是一味求快，要認(rèn)真仔細(xì)，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候“瞻前顧后”，把握整體，對(duì)已知條件、已得結(jié)論、所求結(jié)果等統(tǒng)籌把握，而不是想到什么寫什么。在易錯(cuò)點(diǎn)、特殊點(diǎn)處能重點(diǎn)對(duì)待，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思，及時(shí)糾正錯(cuò)誤。③養(yǎng)成良好的心態(tài)?？荚囍杏捎诰o張的氣氛和時(shí)間的限制會(huì)出現(xiàn)-些“粗心”，會(huì)把“+”誤寫成“一”，“<”誤寫成“>”等。因此，在日常學(xué)習(xí)中養(yǎng)成良好的心態(tài)也是減少做題出錯(cuò)的關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉發(fā).初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題錯(cuò)因分析及糾錯(cuò)策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（000）004.

[2]何彩云.用基本不等式求最值的常見(jiàn)錯(cuò)誤例析[J].教育科學(xué)，2014（01）

[3]徐靜.高中數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的原因分析及對(duì)策[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2018（11）

[4]趙新五.淺談高中數(shù)學(xué)分類討論中的易錯(cuò)點(diǎn)[J].試題與研究，2011（10）