薛新建

摘? 要：將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識(shí)傳授轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生發(fā)展，是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的理念之一. 高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的很多困難，歸根結(jié)底是由于其對(duì)概念的理解出了問(wèn)題. 基于“條件概率”概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)，將課堂關(guān)注的重心放在讓學(xué)生感受問(wèn)題、提出問(wèn)題、思考問(wèn)題和解決問(wèn)題上，使概念的生成變得自然，對(duì)概念的理解也更加全面、深刻.

關(guān)鍵詞：條件概率;教學(xué)設(shè)計(jì);概念生成;素養(yǎng)導(dǎo)向

一、問(wèn)題引入

概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，反映了空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法則的邏輯基礎(chǔ)，概念的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有絕對(duì)重要的地位. 但是，在當(dāng)前的概念課堂中，知識(shí)立意仍然大行其道，概念的給出生硬突兀，概念的同化全靠做題，部分教師仍然采用“一個(gè)定義，N項(xiàng)注意”的陳舊方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行概念的灌輸，遇到靈活的問(wèn)題不能解決又抱怨學(xué)生能力低下，進(jìn)而反復(fù)識(shí)背、反復(fù)遺忘，數(shù)學(xué)課堂陷入單調(diào)乏味、機(jī)械記憶的死循環(huán).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的制定，就是要針對(duì)性解決目前教學(xué)中存在的這些問(wèn)題. 以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)，就是要把課堂從知識(shí)傳授轉(zhuǎn)向?qū)W生發(fā)展，既要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)、掌握基本技能、感悟基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又要在這個(gè)過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升. 關(guān)注概念的生成過(guò)程，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向作用成為概念課堂新的出路. 下面以“條件概率”概念課的設(shè)計(jì)為例，踐行這一理念.

二、條件概率理解中存在的問(wèn)題

條件概率的概念及其計(jì)算是人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修2—3）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“隨機(jī)變量及其分布”第二節(jié)“二項(xiàng)分布及其應(yīng)用”第1課時(shí)的內(nèi)容. 本章的主要內(nèi)容是隨機(jī)變量及其分布列，是對(duì)隨機(jī)事件的水平數(shù)學(xué)化，也是概率知識(shí)的拓展和延伸. 本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是生活中應(yīng)用非常廣泛的一種概率模型——二項(xiàng)分布，條件概率作為本節(jié)的起始課，起著承上啟下的作用，其既是對(duì)已學(xué)概率內(nèi)容，包括隨機(jī)事件、基本事件、古典概型、幾何概型、事件關(guān)系、事件運(yùn)算、排列組合等知識(shí)的綜合應(yīng)用和總結(jié)提升，體現(xiàn)了教材在核心數(shù)學(xué)概念和重要數(shù)學(xué)思想的安排上螺旋上升的特點(diǎn)，也是獨(dú)立事件和二項(xiàng)分布等知識(shí)的理論鋪墊和邏輯前提，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性、延續(xù)性和統(tǒng)一性. 條件概率的概念在概率理論中占有十分重要的地位，教材通過(guò)簡(jiǎn)單模型逐步探究，讓學(xué)生了解條件概率的初等定義，更抽象的定義留待學(xué)生在大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí).

目前學(xué)生對(duì)條件概率的理解普遍存在的問(wèn)題有：（1）不清楚條件概率的問(wèn)題背景，不理解既然可以轉(zhuǎn)化為古典（或幾何）概型求解，為什么還要提出條件概率的概念及其計(jì)算公式，帶著疑慮學(xué)習(xí)這個(gè)“可有可無(wú)”的數(shù)學(xué)概念，效果當(dāng)然不理想. 因此，概念課的引入情境中要讓學(xué)生充分理解條件概率提出的必要性.（2）對(duì)條件概率問(wèn)題中兩個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生與否不能清楚分辨，條件概率的本質(zhì)是一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率的影響，課堂上必須提供一定量的案例讓學(xué)生加以總結(jié)、提煉和區(qū)分.（3）對(duì)條件概率三種計(jì)算公式的選擇和一種變形公式的運(yùn)用感到困難，原因是公式引出過(guò)程中對(duì)比辨別的缺失. 因此，在公式提煉過(guò)程中要對(duì)其不同背景進(jìn)行區(qū)分強(qiáng)化.（4）對(duì)條件概率和獨(dú)立事件的關(guān)系理解不到位，原因是學(xué)生遇到的條件概率問(wèn)題中一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率都是有影響的，而獨(dú)立事件問(wèn)題中一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率是沒(méi)有影響的，對(duì)兩者感覺(jué)上的“失聯(lián)”甚至“對(duì)立”反映了理性的缺失. 具體來(lái)說(shuō)是條件概率提煉過(guò)程中獨(dú)立事件情形的缺失，這個(gè)缺失會(huì)對(duì)學(xué)生理解兩者的關(guān)系埋下隱患甚至誤導(dǎo)學(xué)生，這一點(diǎn)在教學(xué)設(shè)計(jì)之初就要加以預(yù)防和彌補(bǔ).

三、條件概率概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 概念引入背景要深刻

引例? 由天氣預(yù)報(bào)知，明天廣州市降水的概率為18%，東莞市降水的概率為20%，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，兩地同時(shí)降水的概率為12%. 試用字母表示這個(gè)情境中的隨機(jī)事件，并說(shuō)出它們之間的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】研究隨機(jī)事件概率之間的影響必須從研究事件出發(fā)，先理清事件之間的關(guān)系，這樣設(shè)計(jì)符合知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序. 從學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)和貼近生活的例子出發(fā)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，開啟本節(jié)課的思考、溫故啟新，符合最近發(fā)展區(qū)理論. 設(shè)計(jì)非古典（幾何）概型作為問(wèn)題情境，讓學(xué)生在問(wèn)題中切身感受引入條件概率概念的必要性.

問(wèn)題1：如果明天一早起來(lái)發(fā)現(xiàn)東莞市已降水，那么廣州市降水的概率還是18%嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】圍繞本節(jié)課的核心問(wèn)題，即一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生概率的影響進(jìn)行設(shè)問(wèn)，在學(xué)生知識(shí)還不具備的條件下作為開放性問(wèn)題，讓學(xué)生直觀感知生活中概率的大小及條件增加引起的概率變化，營(yíng)造思維沖突，引發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索的興趣. 條件概率的符號(hào)表達(dá)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，本就抽象的概念加上陌生突兀的表達(dá)，會(huì)將學(xué)生的學(xué)習(xí)困難成倍放大. 把握問(wèn)題引入的時(shí)機(jī)，先將附加條件的隨機(jī)事件原始、煩瑣的文字表示形式展示出來(lái)，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其表示方法進(jìn)行數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)化，體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔美及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的統(tǒng)一性.

在提問(wèn)過(guò)程中，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生弄清問(wèn)題中兩個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生與否，而符號(hào)表達(dá)的問(wèn)題則可以借助之前把代數(shù)運(yùn)算中的“加”和“乘”都引入概率，表示事件關(guān)系“并”和“交”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“除”把附加條件的隨機(jī)事件表示為“[BA]”，符號(hào)“[|]”后列出條件，與描述法表示集合做法相同，讀作“事件[A]發(fā)生條件下的事件[B]”.

2. 概念生成維度要清晰

（1）由具體到抽象，發(fā)現(xiàn)共性.

概念的提取需要具體的情境和可操作的案例，在情境中體會(huì)概念的背景和引入理由，在案例思考和解析過(guò)程中提取條件和問(wèn)題中的共性，組合出概念的雛形，再經(jīng)反復(fù)提煉和打磨并去情境化，才能形成概念. 學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，通常需要降低抽象層次的思維過(guò)程. 例如，將新的概念與已有的知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，或者建立具體過(guò)程來(lái)重現(xiàn)抽象的結(jié)論. 作為課堂活動(dòng)的組織者，教師要提供足夠典型的案例給學(xué)生，放手讓學(xué)生去感受、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、提煉，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候提出問(wèn)題加以引導(dǎo).

題目1? 從3名男生和2名女生共5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，用事件[A]表示“抽到女生”，事件[B]表示“抽到的兩人都是女生”.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)三道各具代表的題目供學(xué)生思考，題目1體現(xiàn)從古典概型入手，回歸條件概率本源的思想，情境較引例更為簡(jiǎn)單易懂，目的是讓學(xué)生更加清晰地體會(huì)條件的介入對(duì)基本事件空間的影響，從而發(fā)現(xiàn)其對(duì)概率的影響，為學(xué)生從概率表象深入探討數(shù)學(xué)本質(zhì)提供思路來(lái)源. 題目2進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如下問(wèn)題：條件介入會(huì)影響基本事件空間，但影響基本事件空間是否一定會(huì)影響事件發(fā)生的概率？針對(duì)性地設(shè)計(jì)為事件[A]的發(fā)生對(duì)事件[B]發(fā)生的概率無(wú)影響，意在把某個(gè)事件發(fā)生對(duì)其他事件發(fā)生概率的影響情況全面展示出來(lái)，使條件概率的概念拼圖更加完整，也為后續(xù)獨(dú)立事件概念的引入預(yù)埋伏筆. 題目3的幾何概型與前面兩個(gè)古典概型互為補(bǔ)充、相互印證，使案例形式更加豐富，同時(shí)為條件概率的概念由古典概型向更一般情形的推廣提供邏輯孕育點(diǎn).

收集案例數(shù)據(jù)，列出下表.

【設(shè)計(jì)意圖】以問(wèn)題串啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從案例中提取不同問(wèn)題情境中共性的部分. 問(wèn)題2讓學(xué)生體會(huì)事件[A]的發(fā)生導(dǎo)致基本事件空間發(fā)生改變，計(jì)算[PBA]的基本事件空間就是事件[A]的基本事件空間，揭示條件概率計(jì)算公式的價(jià)值，即在原基本事件空間中即可直接計(jì)算條件概率;問(wèn)題3啟發(fā)學(xué)生思考事件[A]的發(fā)生對(duì)事件[B]發(fā)生概率的影響情況;問(wèn)題4以[PAB]與[PBA]的不同取值引導(dǎo)學(xué)生思索導(dǎo)致兩者不同的原因即是事件[A]的發(fā)生與否，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì). 問(wèn)題串并不直接提出，而是要把發(fā)現(xiàn)規(guī)律的機(jī)會(huì)先交給學(xué)生，放手讓學(xué)生分析表格并提出問(wèn)題探尋原因，對(duì)于沒(méi)有提出的問(wèn)題，教師再行補(bǔ)充.

（2）由抽象到概括，提取精華.

問(wèn)題5：比較[PA，PAB]與[PBA，] 你有什么猜想？試證明你的猜想.

【設(shè)計(jì)意圖】條件概率計(jì)算公式的概括可以和問(wèn)題2 ～ 問(wèn)題4一并交給學(xué)生去探究，學(xué)生自行探究出規(guī)律成就感更強(qiáng)、印象更深刻、運(yùn)用更自如. 這個(gè)問(wèn)題的重點(diǎn)在推導(dǎo)證明，是本節(jié)課發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心的最佳植入點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，要充分發(fā)掘利用.

需要指出的是：（1）這個(gè)證明只是例證，只證明了古典概型的情況，幾何概型的情況留給學(xué)生自行證明，更一般的情形受知識(shí)所限只能留待大學(xué)里去完成;（2）這個(gè)證明過(guò)程中[nBn=nABnA]相等的前提是“不改變基本事件定義”，如果重新定義了基本事件，上述證明過(guò)程就行不通了，但計(jì)算公式[PBA=nBn]仍然是可行的，甚至是高效的. 重新定義基本事件是在不同基本事件空間計(jì)算條件概率的分水嶺，[PBA=][PABPA]提出的意義也在于此，即不對(duì)基本事件空間作出改變即可進(jìn)行條件概率的計(jì)算.

問(wèn)題2 ～ 問(wèn)題4提出的規(guī)律各自揭示了條件概率理解的一個(gè)方面，這些碎片化的理解概括起來(lái)就是問(wèn)題5提出的條件概率公式，公式是對(duì)自然語(yǔ)言進(jìn)行的符號(hào)化提煉，也是對(duì)各種規(guī)律的量化表達(dá)和更具一般性的推廣，是值得概括的精華.

（3）由概括到應(yīng)用，提升思想.

練習(xí)1：已知袋子中有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次抽取2個(gè)球，計(jì)算在第一次抽到紅球的條件下，第二次也抽到紅球的概率.

練習(xí)2：拋擲兩枚骰子觀察向上的點(diǎn)數(shù)，已知出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3，計(jì)算兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率.

練習(xí)3：前述引例.

通過(guò)題組練習(xí)，總結(jié)條件概率的計(jì)算方法如下圖所示.

條件概率概念的提出為概率問(wèn)題提供了高辨識(shí)度的數(shù)學(xué)模型，新的問(wèn)題情境可以強(qiáng)化完善概念的內(nèi)涵和外延，提煉方法的同時(shí)提升思維和植入思想. 例如，上述練習(xí)中就深刻體現(xiàn)了模型化思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

3. 概念同化關(guān)聯(lián)要緊密

概念生成后還需要進(jìn)行概念的同化，要利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)去理解新的概念、接納新的概念，并將其轉(zhuǎn)化成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分. 從條件概率概念的推出過(guò)程可以知道，條件概率具有一般概率的性質(zhì).（1）有界性：[0≤PBA≤1;]（2）可列可加性：如果[B]和[C]是兩個(gè)互斥事件，則[PB?CA=PBA+PCA;]（3）[PBA=][PABPA]變形后得到[PAB=PAPBA，] 這是計(jì)算兩個(gè)具有前后依賴關(guān)系的事件的交事件概率的重要方法. 性質(zhì)（1）（2）將條件概率歸于一般概率，性質(zhì)（3）為交事件概率的計(jì)算提供了新的思路，在這個(gè)公式出現(xiàn)之前，交事件概率的計(jì)算只能先對(duì)事件進(jìn)行運(yùn)算得到新的事件，再通過(guò)古典概型或者幾何概型進(jìn)行計(jì)算，現(xiàn)在就可以利用公式[PAB=PAPBA]將目標(biāo)概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算，使原有的概率知識(shí)結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步拓展.

4. 概念升華梯度要分明

題目4? 某兒童商場(chǎng)舉行年終客戶滿意度調(diào)查活動(dòng)，對(duì)于參與滿意度調(diào)查的市民制定如下紀(jì)念品抽獎(jiǎng)方案：首先參與拋擲“幸運(yùn)硬幣”環(huán)節(jié)，拋擲結(jié)果正面向上的市民參與布偶類紀(jì)念品的抽獎(jiǎng)，其中小型布偶價(jià)值15元，抽中概率為[23，] 大型布偶價(jià)值30元，抽中概率為[13;] 拋擲結(jié)果反面向上的市民參與積木類紀(jì)念品的抽獎(jiǎng)，其中堆積式積木價(jià)值30元，抽中概率為[49，] 拼插式積木價(jià)值45元，抽中概率為[49，] 組裝式積木價(jià)值60元，抽中概率為[19.] 市民王先生參與調(diào)查后進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求王先生獲得獎(jiǎng)品價(jià)值[X]的分布列.

解：用[A]表示硬幣正面向上，[A]表示硬幣反面向上，用[B1，B2]分別表示抽到小型布偶和大型布偶，用[C1，C2，C3]分別表示抽到堆積式積木、拼插式積木和組裝式積木.

分布列略.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)事件關(guān)系的綜合考查和條件概率的變形應(yīng)用，是在概念同化基礎(chǔ)上對(duì)概念應(yīng)用的升華，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)的全面提升，設(shè)計(jì)作為本節(jié)課的思維拔高點(diǎn).

5. 概念強(qiáng)化形式要多樣

題目5? 解決下列條件概率問(wèn)題.

（1）已知袋中有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中有放回地依次抽取2個(gè)球，計(jì)算在第一次抽到紅球的條件下，第二次也抽到紅球的概率.

（2）拋擲兩枚骰子觀察向上的點(diǎn)數(shù)，已知兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，計(jì)算出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3的概率.

（3）生態(tài)小故事：中國(guó)政府于1982年在安徽宣城投資興建了安徽省揚(yáng)子鱷繁殖研究中心，圍繞揚(yáng)子鱷的種群分布和數(shù)量、棲息地、食性、繁殖、冬眠、洞穴、活動(dòng)規(guī)律等廣泛開展研究. 陳壁輝等人對(duì)揚(yáng)子鱷種群數(shù)量和分布、揚(yáng)子鱷的形態(tài)學(xué)和生態(tài)學(xué)等方面進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并于1985年出版了專著《揚(yáng)子鱷》，他們發(fā)現(xiàn)揚(yáng)子鱷蛋殼外粘稠物質(zhì)可以防止卵脫水和外界水分過(guò)多地進(jìn)入卵內(nèi)，使孵化率達(dá)到80%，若粘稠物質(zhì)受生態(tài)環(huán)境惡化影響遭到破壞，就將大幅度降低孵化率. 潘繼紅等人研究發(fā)現(xiàn)，一些幼鱷是由變形桿菌引起的肝病致死或是由枸櫞酸桿菌、假單胞桿菌和變形桿菌合并感染肺而致死的. 揚(yáng)子鱷繁殖研究中心的王仁平等在死亡幼鱷的胃腸中發(fā)現(xiàn)有大量的線蟲. 因此，線蟲感染可能也是導(dǎo)致幼鱷死亡原因之一. 上述諸多生態(tài)原因造成了每顆鱷卵孵化并成活率僅為40%. 若在無(wú)污染環(huán)境下有村民在水塘發(fā)現(xiàn)一只剛孵化的幼鱷，問(wèn)這只幼鱷成活下來(lái)的概率有多大？

題目6? 補(bǔ)充條件形成條件概率問(wèn)題并作答.

題目7? 舉出生活中兩個(gè)條件概率的實(shí)例.

【設(shè)計(jì)意圖】題目5設(shè)計(jì)三道小題對(duì)標(biāo)課堂練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生對(duì)條件概率三種計(jì)算公式的掌握情況，意在落實(shí)課堂內(nèi)容、強(qiáng)化基本方法;題目6設(shè)計(jì)為結(jié)構(gòu)不良題型，給予學(xué)生更多發(fā)揮空間，正確提出條件概率的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生掌握條件概率的概念大有裨益，不同學(xué)生可以根據(jù)掌握情況提出不同層次的條件概率問(wèn)題并作出解答，進(jìn)而得到不同層次的發(fā)展;題目7引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸生活，用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

四、結(jié)束語(yǔ)

概念是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，抓住概念才能抓住問(wèn)題的本質(zhì). 概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一環(huán). 概念的引入要注意問(wèn)題情境的構(gòu)思，學(xué)生感受到思維沖突才能真正理解概念的價(jià)值，概念的生成和同化要關(guān)注過(guò)程，要交給學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去提煉，要把教學(xué)重心從教師“如何教”轉(zhuǎn)移到學(xué)生“如何學(xué)”上，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)不同學(xué)生得到相應(yīng)的提升. 概念的升華和強(qiáng)化要著力體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的導(dǎo)向作用，教師要深入理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價(jià)值、表現(xiàn)、水平及其相互聯(lián)系，抓住課堂中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的孕育點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)展開教學(xué)，落實(shí)“四基”，這樣才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到發(fā)展.

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