高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提升策略探究

【摘 要】數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是高中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，也是影響學(xué)生數(shù)學(xué)得分的重要因素。高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力主要是指學(xué)生根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確的運(yùn)算、變形，結(jié)合問題中給出的已知條件，制定合理、便捷的解題方案的能力。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，是眾多一線數(shù)學(xué)教師需要研究應(yīng)對的重要議題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);運(yùn)算能力;提升策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0084-02

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的強(qiáng)弱會直接影響學(xué)生的運(yùn)算準(zhǔn)確性，它是學(xué)生思維全面性、計(jì)算縝密性、數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)方法掌握有效性的集中體現(xiàn)，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能忽視對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)和提升[1]。筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對高中學(xué)生解題中常見的運(yùn)算問題展開分析解讀，探究高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升策略。

1? ?高中學(xué)生解題中的常見運(yùn)算問題

1.1? 因?yàn)楦拍罨靵y不能理解運(yùn)算對象而導(dǎo)致的運(yùn)算出錯

例1：已知集合A={y|y=2x}，B={x|y=}，那么A∩B=（? ）。

A.{ y| y>1}? ? B.{ y| y ≥1}? ? C.{ y| y >0}? ? D.￠

問題分析：拿到這一問題后，部分學(xué)生認(rèn)為集合A是在討論字母y的相關(guān)問題，而集合B是在討論字母x的相關(guān)問題，由于兩個(gè)集合討論的問題不同，那么它們的交集則為空集。還有的學(xué)生分別計(jì)算出了兩個(gè)函數(shù)的值域，進(jìn)而去求兩個(gè)集合的交集。出現(xiàn)這些問題的主要原因就是學(xué)生對于集合相關(guān)部分的概念掌握不夠牢固。

1.2? 在同時(shí)處理多個(gè)問題時(shí)，運(yùn)算法則出現(xiàn)錯亂

例2：函數(shù) y=的定義域?yàn)椋? ）。

A.[1，+∞）? ?B.[，+∞）? ?C.[，1]? ?D.（，1]

問題分析：在解決這一問題時(shí)，根據(jù)題意可知

log（3x-2）≥00<3x?2≤1，但部分學(xué)生在對數(shù)函數(shù)的定義域和對數(shù)函數(shù)求解過程中出現(xiàn)思維混亂，致使解題結(jié)果為0≤3x?2≤1。學(xué)生在學(xué)習(xí)了新知識或長時(shí)間沒有接觸已學(xué)知識后，在一些問題上就會出現(xiàn)記憶不準(zhǔn)確的情況，面對問題時(shí)難以快速回憶起正確的運(yùn)算法則，從而選擇一個(gè)不正確的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，尤其是需要思考多個(gè)問題時(shí)，就易出現(xiàn)思維混亂，從而導(dǎo)致解題錯誤。

1.3? 基本運(yùn)算方法錯誤

例3：已知函數(shù) y=cos （x+）的周期不大于2，那么函數(shù)中正整數(shù)k的最小值是（? ）。

A.10? ? ? ? B.11? ? ? ? C.12? ? ? ?D.13

問題分析：解決這一問題的關(guān)鍵是利用公式T=，多數(shù)學(xué)生能夠知道解題思路，但在求解中會把不等式的符號弄錯，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯誤。學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了部分不等式的知識，在高一的數(shù)學(xué)練習(xí)題中也會出現(xiàn)一些不等式的運(yùn)算，但是真正系統(tǒng)地學(xué)習(xí)不等式知識是在必修五中，這就要求教師在高一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生滲透一些不等式的知識，教給學(xué)生部分不等式運(yùn)算的基本方法，降低學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難度。

2? ?高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提升策略

2.1? 糾正不重視運(yùn)算的教學(xué)心態(tài)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不重視運(yùn)算的教學(xué)心態(tài)在教師和學(xué)生中都有體現(xiàn)。在教學(xué)中，教師應(yīng)在每一節(jié)課中都選擇一些詳細(xì)的例題重點(diǎn)講解解題方法，在三角函數(shù)、不等式、圓錐曲線等對學(xué)生運(yùn)算能力要求較高的章節(jié)教學(xué)中，應(yīng)選取一些具有運(yùn)算技巧的題目，重點(diǎn)鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力[2]。

如在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性這部分知識時(shí)，可以選擇適當(dāng)?shù)睦}來專門鍛煉學(xué)生利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的能力。此外，還要培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫習(xí)慣和檢查習(xí)慣。在教學(xué)中，教師可以從學(xué)生日常的書寫大小、順序、行間距等環(huán)節(jié)入手，培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫習(xí)慣，讓學(xué)生通過清爽的書寫和規(guī)整的版面來降低運(yùn)算的出錯率。

2.2? 借助技巧簡化運(yùn)算

首先，通過各種解題技巧提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。解析幾何部分包含了很多公式，學(xué)生計(jì)算時(shí)比較困難，教師可借助靈活的方法，幫助學(xué)生更快解題。

例4：（數(shù)形結(jié)合法）雙曲線?=1的漸近線與圓x2+（ y?2）2=1相切，則雙曲線離心率為（? ）。

A.? ? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? C.2? ? ? ? ? ? ? D.3

問題分析：既是已知圓與雙曲線的漸近線相切，故不妨先畫出圖形再考查其數(shù)量關(guān)系。如圖1，圓C的圓心為C（0，2），且半徑r=1，雙曲線的漸近線l：y=x切圓C于點(diǎn)A，則△AOC是含30°角的直角三角形，∠AOx=60°，于是=tan 60°=，

故=3，即e=2，選C。

圖1

其次，培養(yǎng)學(xué)生“取巧”的能力。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，有時(shí)學(xué)生利用常規(guī)的解題方法很難解答部分較獨(dú)特的問題，這就需要學(xué)生學(xué)會“取巧”。

例4：證明當(dāng)x>1時(shí)，x+1->0。

問題分析：多數(shù)學(xué)生拿到這個(gè)問題后的第一思路就是令F（x）=x+1?，通過這樣的思路來進(jìn)行解題，F(xiàn)'（x）=。做到這一步后，學(xué)生就難以再進(jìn)行下去了。如果繼續(xù)求導(dǎo)就會變得更加復(fù)雜，學(xué)生沒有足夠的精力和能力去完成這一過程就會選擇放棄。還有部分學(xué)生會在求導(dǎo)之前就對原有的不等式進(jìn)行變形，當(dāng)x>1時(shí)，ln x>0，通過簡單的變形將分式變成整式：x+1?>0（x+1）ln x>2（x?1），令G（x）=（x+1）ln x?2（x?1），G'（x）=ln x+（?1），G''（x）=>0，G'（1）=0，那么G（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，所以G（x）>G（1）=0。這樣的解題方法僅限于部分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算能力較強(qiáng)的學(xué)生。還有部分學(xué)生難以完成解題，這就需要教師教授學(xué)生“取巧”的方法?？梢栽谏鲜鼋忸}思路中將ln x剝離出來，避免二次求導(dǎo)，這樣就可以極大地降低運(yùn)算量。因?yàn)椋▁+1）ln x>2（x?1）ln x>，令H（x）=ln x?，H'（x）=>0，所以H（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，所以H（x）>H（1）=0。相比較于前一種方法，最后一種“取巧”的方法能夠避免二次求導(dǎo)，極大地提高了學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確性。

2.3? 教授學(xué)生多種解題方法

很多情況下，解題“通法”能夠解決多數(shù)數(shù)學(xué)問題，但有時(shí)候卻需要大量的運(yùn)算，這就給學(xué)生的解題帶來了障礙。在教學(xué)中，教師可以教授學(xué)生一些解題思路，幫助學(xué)生有技巧地簡化運(yùn)算，進(jìn)而提高學(xué)生正確解題的

能力。

首先，可以采用一題多解的形式。如在分式不等式部分的解題中，解決>1這樣的問題時(shí)，通常先通過移項(xiàng)將其轉(zhuǎn)化為>0或<0的形式，再將分式轉(zhuǎn)化為整式不等式來進(jìn)行計(jì)算求解，或者引入“穿針引線”的方法來計(jì)算分式不等式。此外，還可以通過分類討論分母x>2或x<2來降低運(yùn)算量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題。

其次，可以通過一題多變讓學(xué)生體驗(yàn)多種解題方法，從而有技巧地避開大量運(yùn)算，提高運(yùn)算能力。如函數(shù)恒成立的相關(guān)問題中就包含了眾多的小公式和方法，可以通過以下形式來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。

如已知函數(shù)f（x）=mx2+（m?3）x?3。

對于任意x∈（1，3）， f（x）>0恒成立，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是多少？

對于任意x∈[?，3]， f（x）<0恒成立，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是多少？

對于任意m∈[1，3]， f（x）>0恒成立，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是多少？

對于任意m∈[m?1，m]（m<0）， f（x）<0恒成立，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是多少？

完成上述題目的講解后，可以讓學(xué)生繼續(xù)思考：如果將“任意、恒成立”修改為“存在、使得成立”，怎么解題呢？借助該題的一題多變，學(xué)生學(xué)到了參變分離法、分類討論法、主元變更法、恒成立（存在性）的解題通性通法等，開拓了自己的思維，掌握了降低運(yùn)算量的方法。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以多通過以上各類問題的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生掌握降低運(yùn)算量的方法，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔣福兵.不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎能見彩虹——淺談高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（23）.

[2]黎華高.高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略研究[J].素質(zhì)拓展，

2019（7）.

【作者簡介】

葉青雷（1980～），男，江蘇鹽城人，本科，中學(xué)副高級教師。研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)與教學(xué)研究、學(xué)校德育工作。