周衛(wèi)東

摘要：好的課堂教學應表現(xiàn)為材簡而意賅，在“留白”的意境中通透知識、建立聯(lián)結、感受應用。比如，《倍的認識》一課用一幅情境圖貫穿，《圓的面積》一課用一張圖形紙串聯(lián)，《比薩的故事》一課用一個生活故事引領。這樣的課堂，具有“走向兒童”“朝向審美”的特點。

關鍵詞：教學素材;留白;核心素養(yǎng);倍的認識;圓的面積

相傳，宋徽宗設立國畫博士院后，常以考畫取士。一次，他出了一道“竹鎖橋邊賣酒家”的考題，不少考生竭精佇思，畫的是密密麻麻的一座座酒肆，纖毫畢現(xiàn)，但結果都落選了。唯李唐一人，不在描繪酒店上下功夫，只在橋邊竹林中畫一竿酒旗，迎風招展，結果卻金榜題名。這是因為李唐的畫作采用了“留白”的手法，收到了“于無畫處皆是畫，卷有盡而意無窮”的藝術效果。

類比李唐的畫作，在我看來，好的課堂教學應表現(xiàn)為材簡而意賅，在“留白”的意境中通透知識、建立聯(lián)結、感受應用。

一幅圖一節(jié)課

最近，我執(zhí)教了一節(jié)《倍的認識》公開課，引起了全國同行的好評與熱議。

《倍的認識》是各版本小學數(shù)學教材都有的一節(jié)種子課。教材中使用的素材可謂琳瑯滿目：“藍花、黃花與紅花”“紅帶子與綠帶子”“白球與彩球”“圓形、三角形與正方形”“男女生跳繩”……形式在不斷地變化。如果不加甄選與加工，學生的思維就只能在同一層面打轉，沒有多少增值，因而學習的收獲甚微。在這樣的對比與思考下，我嘗試利用蘇教版教材（三年級上冊）中的一幅情境圖（見圖1）貫穿整節(jié)課，設計了新的教學途徑。

第一層次：圍繞“藍花有2朵，黃花有6朵”展開，引導學生通過畫一畫、算一算等方法明晰“倍”的基本含義。

第二層次：圍繞“藍花有2朵，紅花有8朵”展開，進一步深化學生對“倍”的理解;同時進行變式練習，拓展到4倍多1、5倍、5倍多1、6倍……使學生的理解得到進一步深化。

第三層次：圍繞“黃花有6朵，紅花有8朵”展開，引導學生思考“黃花的朵數(shù)和紅花的朵數(shù)為什么沒有倍的關系”，繼而解決“怎樣才能使黃花的朵數(shù)和紅花的朵數(shù)具有倍數(shù)關系”。這是本課教學最精華的部分。

學習數(shù)學，知道“是什么”并不難，證明“為什么”很重要，自創(chuàng)“還可以是什么”則尤為可貴。當教材情境圖中的“6朵”和“8朵”呈現(xiàn)在學生面前時，學生的思維出現(xiàn)了“波瀾”：8比6大，所以8也應該是6的倍數(shù);但是，8里面沒有正好幾個6，而有余數(shù)，所以8和6沒有倍數(shù)關系。這一困惑化解之后，“追問”的驅動更讓學生的思維向四面八方打開：有的增加或減少黃花，有的增加或減少紅花……

然后，我動態(tài)選取了學生的作品，引導學生圍繞“畫法不一樣，為什么紅花都是黃花的2倍？”“黃花的朵數(shù)沒有變化呀，為什么紅花的朵數(shù)一會兒是黃花的2倍，一會兒又是3倍、4倍呢？”等問題進行對比分析，使他們對“倍”的理解達到一個新的高度。

課堂上，一只小手遮擋研究單的“微鏡頭”（見圖2）成了“妙手偶得”的絕佳素材。擋住的紅花可能有多少朵？看不見、數(shù)不出，怎么辦？這引發(fā)了學生的進一步探索，他們脫離具體、直觀的圈畫，開始放飛自由的想象：可能是6朵，紅花是黃花的1倍;可能是12朵，紅花是黃花的2倍;可能是18朵，紅花是黃花的3倍……學生在各種想象中慢慢地建構，“每份量”“份數(shù)”與“總量”之間的關系悄然而生。

蒙田在《論想象的力量》中寫道：“強勁的想象產(chǎn)生事實。”對紅花的想象就是為了產(chǎn)生“關系”的事實。此時，學生已然自由地奔跑在數(shù)量關系的跑道上，數(shù)學的抽象展現(xiàn)得淋漓盡致。教師大膽地放手則給予了學生充分改造、加工學習素材的空間和可能。而這些都需要教師具備灼灼之眼、拳拳之心，相信學生在多次嘗試和調整的過程中，一定能找到平衡的狀態(tài)、對應的關系以及豁然的酣暢。如此這般長期堅持，學生數(shù)學思維的生長必將是強韌有力的，而支撐學生走向長遠發(fā)展的理性精神必將是堅不可摧的。

一張紙一節(jié)課

曾經(jīng)聽過一節(jié)《圓的面積》課。這節(jié)課最大的亮點就是，借助一張圖形紙（如圖3所示，每生一張），使數(shù)學本質的理解達到通透，知識之間的聯(lián)結有效建立。

活動一：大膽猜想，提出問題。教師請學生觀察紙上的正方形與圓，思考它們的周長、面積之間存在怎樣的關系。在學生思考得出“正方形中最大的圓的直徑等于它的邊長，所以圓的周長是正方形的π/4”后，教師又進一步引導學生作出猜想：圓的面積是否也是正方形的π/4？此時，教師隱而不發(fā)，讓學生帶著這樣的猜想進入具體的探究、驗證中。

活動二：引導操作，推導公式。教師讓學生將紙上的圓剪下來，并且思考怎么剪比較方便、快捷。學生操作后，介紹了不同的剪法（如圖4所示）。此時，教師再次引導學生思考：三種剪法有什么不同？觀察這三種剪法，有什么發(fā)現(xiàn)？學生的思維被充分打開，對問題的探究漸次逼近本質：“三種剪法的不同點是，分別將正方形紙對折了2次、3次、4次。”“將剪下來的圖形展開，能發(fā)現(xiàn)折痕分別將圓平均分成了4個、8個、16個小扇形?！薄皩φ?次，圓被平均分成了4份;對折3次，圓被平均分成了8份;對折4次，圓被平均分成了16份?！薄鞍逊殖傻男∩刃纹闯梢粋€已經(jīng)學過的圖形，平均分的份數(shù)越多，小扇形拼成的圖形越接近長方形?！薄写虽亯|，圓的面積計算公式的推導可謂水到渠成。

活動三：回應猜想，得出結論。教師讓學生對照圖形回應猜想：現(xiàn)在想想，圓的面積和正方形的面積是什么關系？從而得出：圓的面積確實是正方形的π/4;正方形中最大的圓的周長與面積都是正方形的π/4。

簡單的一張圖，卻讓學生明晰了“正方形中最大的圓的周長和面積都是正方形的π4”的關系;在“將紙上的圓剪下來，并且思考怎么剪比較方便、快捷”的過程中，體會到“折疊的次數(shù)越多，把圓剪下來就越簡單”的感覺，從而領悟到“等分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形”的道理。

一個故事一節(jié)課

前幾天，我有幸聽了著名特級教師華應龍老師執(zhí)教的《比薩的故事》一課。這是一節(jié)關于圖形面積的復習課，取材簡潔，就一個故事引出一道題，大意是這樣的：顧客買了一個直徑12寸的比薩，一會兒，店主過來打招呼，稱直徑12寸的斷貨了，換兩個作為補償，一個直徑是8寸，另一個直徑是4寸。這道題本身的數(shù)學原理并不復雜，大多數(shù)學生都接觸過?？删褪沁@樣一道常見的數(shù)學題，卻掀起了一場思維風暴，圍繞原理的理解，課堂中有多處思維的激蕩：有計算結果與視頻呈現(xiàn)結果為什么不同的分析，有典型解題錯誤的解剖，還有圖解過程的優(yōu)化……讓人流連忘返。而更讓人意猶未盡的是，在知識的拓展階段，華老師引導學生大膽想象：如果比薩做成長方形、正方形或正三角形的，可以一個換兩個嗎？如果一個比薩的厚度與兩個比薩的不一樣，又該怎樣換呢？有人喜歡吃比薩脆脆的邊緣，因此，如果中間的不算，一個換兩個又該怎樣換呢？……

聽過華老師很多類似的數(shù)學課：《孫子定理》《我不是笨小孩》《閱兵的故事》《臺灣長什么樣》《莫比烏斯圈》……或一道題，或一個場景，或一個故事……這樣的課，素簡但不失厚重，材少卻意蘊深刻，確是課中精品。這樣的課，打開了教學的邊界，不僅是數(shù)學課，還是思維訓練課、口語交際課、哲理思辨課……

思考延伸

盡管課改已經(jīng)進入深水區(qū)，但是課堂教學中的“功利主義”色彩以及“技術主義”路徑依然讓許多同行欲罷不能、樂此不疲。一個數(shù)學概念2分鐘不到就教完了，剩下的是由各種習題素材堆積的過關檢測、拓展練習和“ABCD卷”操練。課堂盲目追求大量的材料占有和反復的習題訓練，為的就是讓學生考個好分數(shù)。

在一節(jié)《圓的認識》公開課上，教師先播放了一則時長6分鐘的微課，內(nèi)容包括生活中人們怎樣畫圓，體育老師怎樣畫圓，數(shù)學課上怎樣用圓規(guī)畫圓。然而，播放后，到了具體的教學環(huán)節(jié)，教師又一遍遍地示范如何用圓規(guī)畫圓。

一位教師教學《相遇問題》一課，為了讓學生理解什么是“相向而行”，先讓兩位學生到前面表演，再用兩只黑板擦在黑板上模擬，最后又通過精美的多媒體課件演示，折騰了近10分鐘后，才回到相遇問題的數(shù)量關系上來。

……

而一幅圖一節(jié)課、一張紙一節(jié)課、一個故事一節(jié)課……這樣的課，煥發(fā)出的是生機勃勃的成長力量，呈現(xiàn)出的是令人神往的教學美好——

走向兒童。選擇怎樣的教學素材開展教學活動最為重要？澳大利亞教育心理學家J.Sweller提出的“認知負荷理論”認為，在學習過程中，“外界信息只有進入工作記憶，才能加工和認識，但是，工作記憶只能同時加工7個左右的信息組塊，而且，工作記憶因為負責加工、組織、比較等任務，只能同時記住2—3個信息組塊;如果記憶容量超載，信息加工活動就會受阻或根本無從開展?！笔穼幹薪淌谡f過這樣一句話：“小學的那點數(shù)學知識即使不學，到初中一年也就補回來了，小學關鍵是要教孩子們想問題，讓孩子們學完以后對數(shù)學有感覺。”如果說前文所述課例讓學生有“感覺”了，那么可以說，這種“感覺”就是由簡樸的素材帶來的。素材少一些、精一些，才能讓學生有更多的空間和時間反思質疑、個性創(chuàng)造。這樣，才能讓數(shù)學研究深入下去，喚醒數(shù)學思考，從而讓數(shù)學學科賦予學生更獨特的“精神之鈣”。

朝向審美。M.克萊因說過，數(shù)學風格以簡潔和形式的完美作為其目標。簡潔的美表現(xiàn)在“結構”上。結構是構成事物的各種元素的有機組合，這種組合不是各種元素的簡單疊加或拼接，而是在井然有序、錯落有致中構架出整體，體現(xiàn)出多樣統(tǒng)一的對稱均衡、比例協(xié)調、節(jié)律和諧等。結構是多個元素的組合，而元素越多，越需要結構化;越是結構化，越有整體感。有位哲人說過，簡約到極致就是美。課堂上，外在的文字之簡、圖形之簡、色彩之簡、版式之簡，帶來了內(nèi)在的留白多、結構清，可以更加藝術地突出主題，更加有效地傳遞信息。

實際上，因“簡”（“抓住核心”“帶得走”）而“活”（“建立聯(lián)系”“能運用”），也是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)這一課程目標帶給我們的教學啟示。