脫倩娟 呂紀(jì)榮

摘? 要：高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)的一門(mén)必修課程，為各個(gè)專(zhuān)業(yè)奠定了理論基礎(chǔ)，具有廣泛的應(yīng)用性。然而，其高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性導(dǎo)致學(xué)習(xí)難度增加，傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式容易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣和信心，進(jìn)而降低學(xué)習(xí)效率。因此，該文從思想、理論和實(shí)踐三個(gè)方面探究高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式，旨在實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的高素質(zhì)綜合性人才。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)? ?教學(xué)模式? ?課程思政? ?數(shù)學(xué)建模

中圖分類(lèi)號(hào)：G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）06（c）-0119-04

On the "Trinity" Teaching Mode of Higher Mathematics

TUO Qianjuan? LYU Jirong

（Hao Jing College of Shaanxi University of Science & Technology， Xi'an， Shaanxi Province， 712046 China）

Abstract： As a compulsory course in universities， higher mathematics has laid a theoretical foundation for various majors and has a wide range of applications. However， its high abstraction and strict logic lead to the increase of learning difficulty. The traditional higher mathematics teaching model is easy to make students lose interest and confidence in learning， and then reduce learning efficiency. Therefore， this paper explores the teaching mode of higher mathematics from three aspects of thought， theory and practice， in order to achieve the teaching goal of higher mathematics and cultivate high-quality comprehensive talents with innovative consciousness and ability.

Key Words： Advanced mathematics; Teaching mode; Curriculum ideological and political; Mathematical modeling

高等數(shù)學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)，其研究對(duì)象是變量，相關(guān)的概念具有一定的抽象性。如果學(xué)生不能及時(shí)地調(diào)整中學(xué)的學(xué)習(xí)方法，轉(zhuǎn)換思維方式，就會(huì)認(rèn)為高等數(shù)學(xué)“高不可攀”，容易產(chǎn)生厭煩情緒，對(duì)于學(xué)好高等數(shù)學(xué)失去信心。為了完成學(xué)校相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，被動(dòng)機(jī)械式地學(xué)習(xí)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析解決問(wèn)題的能力。因此，將如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的自信心融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的教育目標(biāo)，帶動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索高等數(shù)學(xué)之美，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有非常重要的意義。

1? 重視高等數(shù)學(xué)的思想教育

1.1 融入數(shù)學(xué)史的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程

春秋末期，著名教育家孔子曾言：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者。”對(duì)于剛?cè)胄５拇髮W(xué)生而言，高等數(shù)學(xué)是一門(mén)全新的課程，學(xué)生要想學(xué)好這門(mén)課程，首先應(yīng)從思想上重視起來(lái)，端正學(xué)習(xí)態(tài)度。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，數(shù)學(xué)教師忽視了思想教育，直接講授課本知識(shí)，課堂內(nèi)容抽象且枯燥難懂，或許學(xué)生剛開(kāi)始還能夠認(rèn)真聽(tīng)講一會(huì)兒，但是時(shí)間一長(zhǎng)，就會(huì)失去興趣，注意力被手機(jī)等電子產(chǎn)品所吸引，上課效率大打折扣。為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)效率最大化，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，融入數(shù)學(xué)發(fā)展史[1]，借助數(shù)學(xué)故事和數(shù)學(xué)家榜樣的力量，吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)高等數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而建立學(xué)好高等數(shù)學(xué)的自信心。例如：講述極限時(shí)，教師可以引用《莊子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”和《九章算術(shù)》中割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象，從有限到無(wú)限，體會(huì)極限思想。同時(shí)，以故事的形式讓學(xué)生了解到：劉徽（225—295）用割圓術(shù)算到了內(nèi)接正3 072邊形的面積，求得圓周率為3.141 6;祖沖之（429-500）用割圓術(shù)算到了內(nèi)接正24 576邊形的面積，求得圓周率在3.141 592 6與3.141 592 7之間，他們?cè)跊](méi)有計(jì)算機(jī)的時(shí)代將圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)后四到七位。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)古之先賢們對(duì)于數(shù)學(xué)的執(zhí)著精神和探索精神。又如：講述拉格朗日中值定理時(shí)，介紹法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日的故事。他早期撰寫(xiě)了一篇利用牛頓二項(xiàng)式定理處理兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)的論文，但是這一成果早在半個(gè)世紀(jì)前就被萊布尼茲取得了。拉格朗日得知消息后，并未選擇放棄，反而堅(jiān)定了他鉆研數(shù)學(xué)的信心[2]。這個(gè)故事啟發(fā)學(xué)生：只要努力了，堅(jiān)持到底就會(huì)開(kāi)出成功之花。

1.2 貫穿課程思政的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程

習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)：“高校思想政治工作關(guān)系高校培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰(shuí)培養(yǎng)人這個(gè)根本問(wèn)題。要堅(jiān)持把立德樹(shù)人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開(kāi)創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。[3]”大學(xué)時(shí)期正是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)和健全人格的黃金階段，正確的引導(dǎo)將有助于學(xué)生形成科學(xué)的、正確的人生觀(guān)、世界觀(guān)和價(jià)值觀(guān)。其中，思想政治教育不僅僅是局限于《馬克思主義基本原理概論》等思想政治理論課程，而是應(yīng)當(dāng)貫穿整個(gè)大學(xué)教育階段。因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)貫穿思想政治教育。

捷克數(shù)學(xué)家波爾達(dá)斯指明了數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系：“沒(méi)有哲學(xué)，難以得知數(shù)學(xué)的深度，當(dāng)然沒(méi)有數(shù)學(xué)也難以探知哲學(xué)的深度，兩者相互依存，猶如一對(duì)孿生兄弟。如果既沒(méi)有數(shù)學(xué)又無(wú)哲學(xué)，則就不能認(rèn)識(shí)任何事物。[4]”因此，將課程思政融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中非常重要。數(shù)學(xué)教師應(yīng)在課堂上引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性，培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣，樹(shù)立正確的三觀(guān)。例如：引導(dǎo)學(xué)生從微分的幾何意義中認(rèn)識(shí)到直與曲并非絕對(duì)對(duì)立，它表達(dá)了一條光滑曲線(xiàn)，當(dāng)自變量的增量很小時(shí)，可以用某一點(diǎn)處的切線(xiàn)段來(lái)近似代替曲線(xiàn)段，在局部范圍內(nèi)用線(xiàn)性函數(shù)近似代替非線(xiàn)性函數(shù)，在幾何上就是局部用切線(xiàn)段近似代替曲線(xiàn)段，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為非線(xiàn)性函數(shù)的局部線(xiàn)性化[5]。這種思想方法在講授泰勒公式時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將其進(jìn)行推廣得到更一般性的結(jié)論：任何一條光滑曲線(xiàn)，在曲線(xiàn)很小的局部范圍內(nèi)可以用直線(xiàn)段近似地代替曲線(xiàn)段[6];相似地，從無(wú)窮小與無(wú)窮大中培養(yǎng)學(xué)生辯證統(tǒng)一、相對(duì)變化的哲學(xué)思維;從函數(shù)的單調(diào)性與極值中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用科學(xué)觀(guān)、大局觀(guān)處理問(wèn)題的能力[7];從定積分的概念中培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想，即量變與質(zhì)變、常量與變量、近似與精確、分割與組合、局部與整體、有限與無(wú)限、離散與連續(xù)等對(duì)立又統(tǒng)一的思政元素[8]。

2? 重視高等數(shù)學(xué)的理論教育

德國(guó)思想家、教育家恩格斯曾指出：“一個(gè)民族想要站在科學(xué)的最高峰，就一刻也不能沒(méi)有理論的思維?！睋Q句話(huà)說(shuō)，理論是一切學(xué)科的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)的理論學(xué)習(xí)，主要分為課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)3個(gè)階段[9]。

課前預(yù)習(xí)階段是最基本的階段。不僅僅是要求教師課前通過(guò)學(xué)習(xí)平臺(tái)下發(fā)預(yù)習(xí)內(nèi)容以及預(yù)習(xí)任務(wù)，也不僅僅是要求學(xué)生把將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容粗略地讀一遍，而是要求教師根據(jù)具體內(nèi)容補(bǔ)充所涉及到的易忘、易錯(cuò)、易混淆的知識(shí)點(diǎn)，提供相關(guān)的學(xué)習(xí)資料和學(xué)習(xí)途徑，同時(shí)要求學(xué)生反饋預(yù)習(xí)結(jié)果，旨在培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)的習(xí)慣和能力。

課堂學(xué)習(xí)階段是最關(guān)鍵的階段。抓住課堂就等于掌握了打開(kāi)高等數(shù)學(xué)大門(mén)的鑰匙。然而，高等數(shù)學(xué)具有知識(shí)點(diǎn)繁多、理論知識(shí)抽象等特點(diǎn)，學(xué)生如果課前復(fù)習(xí)得不夠扎實(shí)，課堂上一旦跟不上老師的節(jié)奏，就容易產(chǎn)生厭煩情緒進(jìn)而不再認(rèn)真聽(tīng)講。此時(shí)，教師可以通過(guò)放緩課堂節(jié)奏、隨堂提問(wèn)、抽檢學(xué)生筆記、講述一兩個(gè)有趣的數(shù)學(xué)小故事等方式，重新吸引學(xué)生的注意力。課堂上，學(xué)生是觀(guān)眾，教師既是導(dǎo)演也是演員，一堂高質(zhì)量的課堂猶如一場(chǎng)好的表演，學(xué)生的課堂反應(yīng)是對(duì)教師所呈現(xiàn)出表演效果的真實(shí)體現(xiàn)，教師應(yīng)增加適當(dāng)?shù)幕?dòng)，牢牢抓住學(xué)生的眼球，讓學(xué)生將知識(shí)深深地印入腦海。此外，教學(xué)模式應(yīng)多樣化，除了傳統(tǒng)的板書(shū)+PPT模式的課堂授課，應(yīng)充分利用多媒體設(shè)備和互聯(lián)網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)課堂延伸。例如：從慕課等優(yōu)秀平臺(tái)中選取優(yōu)質(zhì)教學(xué)視頻或者錄制教學(xué)視頻推送給學(xué)生，打破時(shí)間和空間的限制，讓學(xué)生可以隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)[10]。

課后復(fù)習(xí)階段是夯實(shí)基礎(chǔ)的階段。學(xué)數(shù)學(xué)最好的方法就是做數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)完新的知識(shí)，學(xué)生應(yīng)趁熱打鐵及時(shí)做練習(xí)鞏固新知，并兼顧復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，將前后知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，溫故知新。對(duì)于教師而言，這個(gè)階段不僅僅是進(jìn)行簡(jiǎn)單的作業(yè)批改，而是通過(guò)學(xué)生作業(yè)的反饋情況及時(shí)調(diào)整教學(xué)方案，因材施教。同時(shí)，組建班級(jí)幫扶學(xué)習(xí)小組，對(duì)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生進(jìn)行一對(duì)一幫扶;對(duì)較難、易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)利用釘釘、雨課堂或者學(xué)堂在線(xiàn)等平臺(tái)進(jìn)行在線(xiàn)答疑，必要時(shí)進(jìn)行直播答疑，使學(xué)生能夠及時(shí)走出思維誤區(qū)，徹底掌握所學(xué)內(nèi)容。當(dāng)然，除了幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)問(wèn)題之外，數(shù)學(xué)教師也應(yīng)該和輔導(dǎo)員加強(qiáng)合作，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的心理狀況，定期找學(xué)生談話(huà)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，針對(duì)有厭學(xué)情緒的學(xué)生進(jìn)行心理疏導(dǎo)并加以鼓勵(lì)，使他們重拾自信心。除此之外，教師應(yīng)盡量爭(zhēng)取學(xué)校層面的支持，在條件允許的情況下，成立高等數(shù)學(xué)社團(tuán)，向?qū)W生推薦優(yōu)質(zhì)教輔書(shū)、考研參考書(shū)和數(shù)學(xué)文化等相關(guān)方面的書(shū)籍，定期舉辦相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，為對(duì)高等數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生和有考研計(jì)劃的學(xué)生提供學(xué)習(xí)、交流的平臺(tái)。

3? 重視高等數(shù)學(xué)的實(shí)踐教育

3.1 穿插數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程

計(jì)算機(jī)普及的時(shí)代，借助相關(guān)數(shù)學(xué)編程軟件可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率。常用的數(shù)學(xué)軟件包括：優(yōu)化軟件Lingo、統(tǒng)計(jì)軟件SPSS以及兼具計(jì)算和仿真能力的軟件Matlab。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)?shù)拇┎鍞?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，教會(huì)學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件。例如：講授空間解析幾何時(shí)，教師可以利用Matlab等數(shù)學(xué)軟件畫(huà)出馬鞍面、旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面、橢圓柱面等常見(jiàn)的二次曲面并輔助以相應(yīng)的動(dòng)畫(huà)效果，讓學(xué)生從視覺(jué)上直觀(guān)地感受曲面的形成過(guò)程。利用Matlab軟件繪圖比較方便，只需要把曲面方程寫(xiě)成兩個(gè)變量的顯函數(shù)或參數(shù)方程即可，教師可以在課堂上演示繪圖過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。又如：在學(xué)習(xí)三重積分時(shí)，對(duì)學(xué)生的空間想象力要求較高，如果學(xué)生不能畫(huà)出整個(gè)空間立體圖形，就很難確定積分區(qū)域，導(dǎo)致結(jié)果計(jì)算錯(cuò)誤。因此，教師可以教學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件畫(huà)出三維立體圖形并制作動(dòng)畫(huà)效果，有助于學(xué)生領(lǐng)會(huì)三重積分中“投影法（先一后二法）”和“截面法（先二后一法）”的思想精髓。當(dāng)然，數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)中的使用不僅僅是畫(huà)圖，還可以通過(guò)簡(jiǎn)單編程實(shí)現(xiàn)計(jì)算極限、導(dǎo)數(shù)、極值和積分等?？梢哉f(shuō)，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師教會(huì)學(xué)生熟練的使用數(shù)學(xué)相關(guān)軟件，就等于為學(xué)生日后的科研、工作奠定了良好的基礎(chǔ)。

3.2 滲透數(shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程

魯迅曾說(shuō)過(guò)：“專(zhuān)讀書(shū)也有弊病，所以必須和現(xiàn)實(shí)社會(huì)接觸，使所讀的書(shū)活起來(lái)?！睌?shù)學(xué)建模作為理論和實(shí)踐結(jié)合的橋梁，其題目源自于生活實(shí)際，涉及領(lǐng)域廣泛，要求學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的理論知識(shí)過(guò)渡到實(shí)際問(wèn)題中[11]。因此，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)滲透數(shù)學(xué)建模思想，引導(dǎo)學(xué)生將理論和實(shí)踐相結(jié)合[12]。例如：講函數(shù)最值時(shí)，教師可以利用：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”“用料最省”“效益最高”等實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題;又如：講曲率時(shí)，教師可以利用實(shí)際問(wèn)題：如何設(shè)計(jì)火車(chē)軌道或機(jī)床轉(zhuǎn)軸的彎曲程度，才能使其在載荷作用下的彎曲變形在一定的限制范圍內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化成求曲線(xiàn)的曲率問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)創(chuàng)造性思維過(guò)程，學(xué)生通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型、撰寫(xiě)論文和應(yīng)用實(shí)際6個(gè)階段，可以拓寬自身知識(shí)面，提高自學(xué)能力，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高交流溝通能力，增強(qiáng)合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神，鍛煉堅(jiān)強(qiáng)的意志力和激發(fā)自身的創(chuàng)造意識(shí)[13]，有助于實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)育人的教學(xué)目標(biāo)。同時(shí)，在日常高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)積極宣傳數(shù)學(xué)建模，鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，拓寬數(shù)學(xué)建模的受益面，“以學(xué)促教，以賽促教，賽教結(jié)合”，讓所有參賽學(xué)生實(shí)現(xiàn)“一次參賽，終生收益”[14]。

4? 結(jié)語(yǔ)

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚提出“學(xué)而優(yōu)則用，學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)”。當(dāng)今社會(huì)，人才是第一競(jìng)爭(zhēng)力，而具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的應(yīng)用型人才更是核心競(jìng)爭(zhēng)力。高等數(shù)學(xué)育人作為高校育人職能的一種具體體現(xiàn)，其重要性不言而喻。該文從思想、理論和實(shí)踐3個(gè)層面進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式探究，旨在以思想為引、理論為基、實(shí)踐為石，三位一體培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的綜合性人才，實(shí)現(xiàn)高校立德樹(shù)人的教學(xué)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1] 張艷松.數(shù)學(xué)文化融入高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實(shí)踐[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2019，16（7）：223-224.