高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實(shí)例分析

石超仙

摘要：對于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)科目學(xué)習(xí)的核心，是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)之一。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)題目解題過程中的必要條件，其在高中數(shù)學(xué)的解題過程中應(yīng)用廣泛。從高中數(shù)學(xué)的解題思維上來看，學(xué)生擁有函數(shù)與方程思想后，可以更加順利地進(jìn)行題目解析與分析，對于數(shù)學(xué)的認(rèn)知會更加清晰，歸納總結(jié)出多種題型的規(guī)律。函數(shù)與方程作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它的思維方式和公式運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)的各個部分，因此，函數(shù)與方程思維對于高中生日后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到重要作用，是整個貫穿整個高中數(shù)學(xué)的線索，要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)，函數(shù)與方程思想是必不可少的。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)思想;方程思想

數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用不僅僅局限于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，它一經(jīng)學(xué)習(xí)掌握，便可以滲透到我們生活的方方面面。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)核，它對數(shù)學(xué)學(xué)科乃至整個教育行業(yè)都有指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)思維代表了理性、邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)、整體，對于一個國家和一個民族來說，要想觸及到科學(xué)的巔峰就不能沒有數(shù)學(xué)思維。函數(shù)與方程思維是高中數(shù)學(xué)思維中的重要組成部分，它可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和理性思維，它不僅對于高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列、不等式、解析幾何等知識的學(xué)習(xí)有著重要意義，還對學(xué)生日后的思維能力與高數(shù)的學(xué)習(xí)有著重要影響。

一、函數(shù)與方程思維的重要意義

函數(shù)與方程思想對于高中數(shù)學(xué)知識來說是一條重要的紐帶，它將零散的、難以結(jié)合起來的數(shù)學(xué)小知識點(diǎn)緊密連接在一起，同時為高中數(shù)學(xué)的大部分問題提供了解題思路。學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力和空間想象能力，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、慎重的思維習(xí)慣，使學(xué)生在日常生活中講邏輯、講科學(xué)，理性對待一切問題，用縝密的思維去分析、解決問題。有利于學(xué)生將所學(xué)與實(shí)際聯(lián)系起來，就算日后學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與解題方法都忘記了，仍然可以保留函數(shù)與方程思維的影響，幫助學(xué)生形成一套分析、總結(jié)、歸納并且解決問題的方法。

函數(shù)與方程知識也是高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用最多、最重要的知識之一，在高中數(shù)學(xué)的解題過程中應(yīng)用廣泛，因此學(xué)生必須要在函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)過程中熟練掌握相關(guān)知識，打好基礎(chǔ)。

二、函數(shù)與方程思維之間的聯(lián)系

方程思想是指學(xué)生分析問題中的變量產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系的變化，構(gòu)建出與之相對應(yīng)的方程或方程組，通過解開方程或方程組，合理運(yùn)用方程的特性，從而解決問題的思想方法。

函數(shù)思想則是需要學(xué)生本著運(yùn)動變化的觀點(diǎn)和方法，分析與研究題目中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建出相對應(yīng)的函數(shù)模型，通過觀察函數(shù)的趨勢和自變量與因變量之間的關(guān)系來解決問題的思想方法。

整體上看，兩種思維是要求學(xué)生以動態(tài)的、靈活的、整體的觀點(diǎn)出發(fā)，來解決問題，多從聯(lián)系的角度出發(fā)，從已知推導(dǎo)未知，尋找到其中的因果關(guān)系，從而解決問題。

三、函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

（一）用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題

數(shù)列與函數(shù)之間存在著密不可分的特殊聯(lián)系，這使得函數(shù)在解決數(shù)列問題中可以發(fā)揮重要作用。數(shù)列本身就擁有函數(shù)意義，這使得運(yùn)用函數(shù)解決數(shù)列十分輕松。函數(shù)方程思想作為一種運(yùn)算策略，將問題中的各個變量聯(lián)系在一起，函數(shù)與方程思維要求學(xué)生將這些聯(lián)系看成一個整體，建立整體內(nèi)部的函數(shù)關(guān)系式。

如題等差（或等比）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式集中了等差（或等比）數(shù)列的五個基本元素a1、d（或q）、n、an、Sn.“知三求二”是等差（或等比）數(shù)列最基本的題型，通過解方程的方法達(dá)到解決問題的目的.

（二）用函數(shù)與方程思想解決不等式問題

函數(shù)與方程思想對于不等式問題的解題思路十分重要。不等式作為考試中的熱點(diǎn)題目，經(jīng)常出現(xiàn)在學(xué)生的試卷上。這一類題目經(jīng)常含有多個變量與參數(shù)，應(yīng)當(dāng)從整體分析，提取函數(shù)關(guān)系式，簡化問題。

如題：2015年福建高考，理科卷

（三）用函數(shù)與方程思想解決三角函數(shù)問題

三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的必考知識點(diǎn)，將函數(shù)與方程思維代入三角函數(shù)的解題思路中可以將原本復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換成為簡單的代數(shù)問題。

研究含參數(shù)的三角函數(shù)方程的問題，通常有兩種思路：

1、分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題。

2、換元，將復(fù)雜的方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的方程問題，進(jìn)而利用方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決。

其中所有正確結(jié)論的編號是

結(jié)束語：

函數(shù)與方程思維在數(shù)學(xué)思維中占有重要地位，函數(shù)可以依據(jù)量之間的關(guān)系構(gòu)建出相應(yīng)的模型，從而探索出題目中的隱藏條件，構(gòu)建數(shù)學(xué)公式。而函數(shù)與方程不僅僅可以將變量之間聯(lián)系起來，還可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，推動學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題進(jìn)行進(jìn)一步的思考，從而使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，這與學(xué)生日后的學(xué)習(xí)和生活息息相關(guān)。因此，學(xué)生要在高中數(shù)學(xué)解題過程中鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維，使數(shù)學(xué)思維成為學(xué)生思維的一部分。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃雄偉. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實(shí)例探究[J]. 名師在線，2019（15）：75-76.

[2]鮑科臻. 函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（21）：148-149.

[3]段蕾. 函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)生數(shù)理化（自主招生），2020（04）：9.