基于“工學(xué)一體化”的傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)探討

嚴(yán) 明

（福州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建福州，350108）

一、引言

“信號(hào)與系統(tǒng)”是我國(guó)電子信息大類相關(guān)專業(yè)都需開(kāi)設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，目前國(guó)內(nèi)主流的教材[1-3]對(duì)該課程撰寫的思路都十分清晰，即由求解微分方程的方法引入，由淺入深地將傅里葉級(jí)數(shù)（變換）、拉普拉斯變換、Z 變換等知識(shí)環(huán)環(huán)相扣，串成一條主線。然而，傅里葉級(jí)數(shù)作為時(shí)域跨入頻域的第一道門檻，因理論公式繁多，讓部分學(xué)生望而卻步，于是出現(xiàn)了死記公式的現(xiàn)象，并對(duì)公式感到迷茫且無(wú)從下手。為提高學(xué)生對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)知識(shí)的吸收效果，國(guó)內(nèi)本科院校教師進(jìn)行了一系列教學(xué)研究。國(guó)防科技大學(xué)曹聚亮等[4]提出指數(shù)信號(hào)的三層次法，通過(guò)數(shù)學(xué)層面、圖形層面、應(yīng)用層面等，盡可能使學(xué)生較好地理解時(shí)域頻域分析過(guò)程；西北師范大學(xué)唐榮安等[5]建議在教學(xué)中從物理詮釋方面對(duì)傅里葉變換性質(zhì)進(jìn)行講解；王靜等[6]從學(xué)生認(rèn)知調(diào)查和原因分析入手，在教學(xué)設(shè)計(jì)中設(shè)置懸念引出傅里葉級(jí)數(shù)主題，通過(guò)簡(jiǎn)單、典型的舉例進(jìn)行教學(xué)，并進(jìn)行課后反饋。有的本科院校教師則利用Matlab GUI界面查看傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)等方式，使學(xué)生從直觀上理解傅里葉變換。[7-9]而高職高專院校目前在這一方面尚未有探討。

本文根據(jù)高職學(xué)生實(shí)際情況，提倡“教為主導(dǎo)，學(xué)為主體”的教學(xué)思想，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，自主疊加展開(kāi)項(xiàng)來(lái)驗(yàn)證波形，同時(shí)利用Matlab 仿真查看三維空間圖，從而對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的認(rèn)識(shí)從“客觀存在”提升到能“加以分析”的程度。

二、傅里葉級(jí)數(shù)的教學(xué)總體設(shè)計(jì)

（一）“工學(xué)一體化”教學(xué)模式簡(jiǎn)介

工學(xué)一體化教學(xué)模式從理實(shí)一體化發(fā)展而來(lái)。[10]在傳統(tǒng)理論教學(xué)中，教師以灌輸知識(shí)為主，學(xué)生被動(dòng)接受，這勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性的磨滅。著名的職業(yè)教育專家趙志群教授中指出，教學(xué)要逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心。為了突出課堂以學(xué)生為中心，工學(xué)一體化教學(xué)以項(xiàng)目或任務(wù)為驅(qū)動(dòng)，在確定項(xiàng)目（任務(wù)）的主題后，分析為完成該任務(wù)需要在任務(wù)實(shí)施前準(zhǔn)備什么；在任務(wù)實(shí)施過(guò)程中做什么、學(xué)什么；在任務(wù)實(shí)施完成后如何進(jìn)行相應(yīng)的評(píng)價(jià)。該教學(xué)思路強(qiáng)調(diào)學(xué)生在實(shí)施任務(wù)過(guò)程中掌握新知識(shí)和技能，比較適合高職教育的工科課堂教學(xué)。[11]

（二）教學(xué)過(guò)程結(jié)構(gòu)表設(shè)計(jì)

為使教學(xué)思路更清晰，傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)從單頻正弦信號(hào)引入，到任務(wù)實(shí)施與驗(yàn)證，再到師生互動(dòng)分析等過(guò)程，均需進(jìn)行詳細(xì)的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)?，F(xiàn)借助工學(xué)一體化教學(xué)模式，用表格展現(xiàn)任務(wù)實(shí)施過(guò)程中教師和學(xué)生需完成的事項(xiàng)和對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)等（如表1）。

表1 教學(xué)過(guò)程表格化設(shè)計(jì)

三、傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)過(guò)程詳細(xì)設(shè)計(jì)

（一）課前準(zhǔn)備

歐拉公式及三角函數(shù)是傅里葉級(jí)數(shù)兩種表示形式間的轉(zhuǎn)換橋梁，因此需要學(xué)生課前做好一定的準(zhǔn)備工作。教師在課前需提供指數(shù)與三角函數(shù)如何建立聯(lián)系的學(xué)材：任意一個(gè)復(fù)數(shù)A可在復(fù)平面上找到對(duì)應(yīng)的一個(gè)點(diǎn)（如圖1），當(dāng)加入單位圓概念后，A 點(diǎn)坐標(biāo)不僅可以表示為A=a+jb，也可以表示為z=r(cosθ+jsinθ)，教師由此根據(jù)極坐標(biāo)表示方式，引出歐拉公式e^jθ=cosθ+jsinθ，這就在復(fù)平面上建立起指數(shù)與三角函數(shù)間的聯(lián)系。

令θ=ωt，其中ω 為角頻率，則歐拉公式變?yōu)椋篹^jωt=cosωt+jsinωt，隨著時(shí)間t的推移，歐拉公式等號(hào)左邊可看作是繞著圓周逆時(shí)針不停旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)A（如圖1），等號(hào)右邊是A 點(diǎn)繞圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在時(shí)間軸上的投影，即可理解為歐拉公式是A 點(diǎn)的兩種表示方式。由于A 點(diǎn)在時(shí)間軸t 上的推移，慢慢拉出一條螺旋線，其x 軸投影為cosωt，其y 軸投影為sinωt（如圖2）。

圖1 復(fù)平面上的點(diǎn)

（二）明確任務(wù)并制定實(shí)施計(jì)劃

明確本教學(xué)任務(wù)為：驗(yàn)證傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并理解頻譜概念?？紤]到任何周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)均由正余弦函數(shù)線性疊加而成，學(xué)生若能獨(dú)立分析單一的、或某幾個(gè)正余弦函數(shù)疊加，就可理解無(wú)限個(gè)線性求和的結(jié)果。因此在實(shí)施教學(xué)時(shí)，首先思考單頻正弦信號(hào)在頻率軸上如何表示（即幅度譜和相位譜）。反過(guò)來(lái)，已知頻譜圖，求時(shí)域的正弦信號(hào)表達(dá)式，進(jìn)而得到結(jié)論：頻域和時(shí)域均可唯一表示一個(gè)信號(hào)（即同一信號(hào)的兩種表示方法）；更進(jìn)一步，當(dāng)展開(kāi)項(xiàng)（諧波分量）逐漸增多時(shí)，驗(yàn)證其趨于某個(gè)（矩形）波形；當(dāng)展開(kāi)項(xiàng)個(gè)數(shù)趨于無(wú)限個(gè)，即為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

根據(jù)以上實(shí)施思路，本單元教學(xué)場(chǎng)所需為模擬電子技術(shù)實(shí)訓(xùn)室，或者機(jī)房（電腦均已安裝Proteus 軟件，且可播放音頻），本文的教學(xué)環(huán)境以機(jī)房教學(xué)為例。

階段一：從單頻正弦波引入頻譜概念

已知正弦信號(hào)如下：

其中f=50Hz，或ω=2πf，初始相位為π/4（如圖3）。為了使學(xué)生更快建立起頻譜概念，將該波形的橫軸由時(shí)間t 轉(zhuǎn)為頻率后，用幅度譜、相位譜圖表示單頻正弦信號(hào)。反過(guò)來(lái)，根據(jù)幅度譜、相位譜寫出時(shí)域的正弦信號(hào)表達(dá)式（注意圖3 相位譜中初始角是π/4=0.7854，因此相位譜高度接近0.8）；最后引導(dǎo)學(xué)生理解：在頻域也能唯一確定正弦信號(hào)，頻域是信號(hào)的另一種表示方式。于是得出結(jié)論：我們習(xí)慣思維在時(shí)域表示一個(gè)信號(hào)，其實(shí)在頻域也可表示一個(gè)信號(hào)，而且時(shí)域和頻域表示同一個(gè)信號(hào)的效果是完全相同的。

圖3 正弦信號(hào)的時(shí)域和頻域表示（Matlab 單邊譜）

階段二：傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證矩形波傅里葉級(jí)數(shù)是無(wú)限多個(gè)余弦信號(hào)疊加而成，可根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)公式，引導(dǎo)學(xué)生求解前10 個(gè)展開(kāi)項(xiàng)，學(xué)生根據(jù)展開(kāi)項(xiàng)設(shè)置Proteus 元器件參數(shù)，并在設(shè)計(jì)的加法器電路（如圖4）左邊逐項(xiàng)遞增地接入展開(kāi)項(xiàng)的余弦波，通過(guò)示波器觀察波形變化。電路輸出端接喇叭，可對(duì)比不同展開(kāi)項(xiàng)疊加波形后的音頻。即通過(guò)動(dòng)手求解系數(shù)、眼睛觀察波形、耳朵辨別音頻等方式加深對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)的理解。

圖4 多個(gè)正余弦信號(hào)相加放大的電路圖（Proteus）

通過(guò)本階段任務(wù)，得到結(jié)論：隨著諧波分量逐漸增多，疊加的波形越來(lái)越接近矩形波（如圖5）。當(dāng)在時(shí)域波形越來(lái)越接近矩形波時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻域圖則按順序增加對(duì)應(yīng)的譜線（如圖6）。也即時(shí)域每增加一個(gè)諧波分量，頻域中就增加一條對(duì)應(yīng)頻率的譜線，由此也可說(shuō)明頻域和時(shí)域在表示一個(gè)信號(hào)的形成過(guò)程是完全相當(dāng)?shù)?。隨著諧波分量無(wú)限疊加，波形就趨近于矩形，也就得到傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

圖5 諧波分量遞增的時(shí)域波形（Matlab）

圖6 諧波分量遞增的頻譜波形（Matlab）

階段三：三維傅里葉級(jí)數(shù)分析

以上階段任務(wù)實(shí)施采用了Proteus、Matlab仿真實(shí)踐，分別通過(guò)驗(yàn)證時(shí)域和頻域波形來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解傅里葉級(jí)數(shù)和頻譜的概念，本階段將時(shí)域和頻域的圖示結(jié)合在一張三維空間圖中，仍以矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為例。

由于矩形波既是偶函數(shù)，又是奇諧函數(shù)，因此其傅里葉展開(kāi)只可能含有奇次諧波的余弦項(xiàng)。圖7 為了分析方便，只取前3 次諧波分量分析時(shí)域和頻域的統(tǒng)一性。從時(shí)間軸往右邊看，時(shí)域疊加波形是由1 次諧波和3 次諧波相加而成；從頻率軸往里看，1 次諧波對(duì)應(yīng)頻率ω_1，3 次諧波對(duì)應(yīng)頻率3ω_1，即兩個(gè)諧波疊加的波形在頻域中也可唯一確定。這將使學(xué)生進(jìn)一步加深在時(shí)域和頻域中分析同一個(gè)信號(hào)的理解程度。然而時(shí)域的缺陷在于時(shí)域波形隨著諧波分量的增多，波形計(jì)算越來(lái)越復(fù)雜；而頻域分析卻十分簡(jiǎn)單，即一個(gè)諧波分量增加一條譜線，因此在信號(hào)系統(tǒng)中分析頻域是十分有利的。

圖7 傅里葉級(jí)數(shù)的三維空間圖

四、教學(xué)評(píng)價(jià)

工學(xué)一體化教學(xué)中，應(yīng)盡可能讓所有的學(xué)生都參與到評(píng)價(jià)過(guò)程中。[12]在本單元的傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)過(guò)程中，2 人為一組，以實(shí)踐過(guò)程評(píng)價(jià)為主，結(jié)果性評(píng)價(jià)為補(bǔ)充。評(píng)價(jià)的主體包含學(xué)生自評(píng)、互評(píng)和教師評(píng)價(jià)，除了評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)態(tài)度、溝通協(xié)調(diào)方面，主要以階段性任務(wù)完成情況為評(píng)價(jià)單元，根據(jù)表1 右側(cè)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，細(xì)化具體行動(dòng)。評(píng)價(jià)的目的主要是為學(xué)生提供本次課堂實(shí)踐過(guò)程中需要改善的方面，同時(shí)也幫助學(xué)生梳理知識(shí)架構(gòu)。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)章節(jié)時(shí)，因理論較多而迷茫問(wèn)題，借助工學(xué)一體化教學(xué)中以學(xué)生為主體的思路，讓學(xué)生參與其中，教師引導(dǎo)解惑完成教學(xué)任務(wù)。通過(guò)在高職課堂實(shí)踐，學(xué)生在課堂上不再木然，個(gè)別學(xué)生甚至在課堂上獨(dú)立完成三角波的疊加演示圖，表明該教學(xué)思路提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且對(duì)提升傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)效果具有一定實(shí)際意義。