常微分方程在數(shù)學建模中的應用之傳染病模型

張麗

摘 要：本文介紹了患有傳染病的病人隨機走動，在流行病傳播中的影響，并且討論了不可治愈的傳染病和可治愈的傳染病兩種情況，為控制流行病區(qū)域性暴發(fā)提供理論依據(jù)。

關鍵詞：數(shù)學建模; 微分方程; 傳染病模型;治愈

1 引言

數(shù)學建模（ Mathmatical Modeling） 是通過數(shù)學方法解決實際問題的重要途徑。隨著計算機技術的發(fā)展和各種軟件的開發(fā)，數(shù)學建模在各個領域中的重要性更加明顯。根據(jù)運用的數(shù)學方法不同，有微分方程模型，概率模型，統(tǒng)計回歸模型等。微分方程經(jīng)過三百多年的發(fā)展，在其求解方法和理論分析方面都得到突飛猛進，使得微分方程的應用更加普遍。對于生活中變化速度、加速度以及所處位置隨時間的發(fā)展規(guī)律的許多復雜的實際問題，微分方程模型是一種極有效的數(shù)學手段。

2 常微分方程在傳染病模型中的應用

微分方程建模是數(shù)學建模的重要方法，因為許多實際問題的數(shù)學描述將導致求解微分方程的定解問題。常見的列微分方程的方法有按規(guī)律直接列方程，微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法，模擬近似法。在實際的微分方程建模過程中，也往往是上述方法的綜合應用。無論應用哪種方法，通常要根據(jù)實際情況，做出一定的假設與簡化，并要把模型的理論或計算結果與實際情況進行對照驗證，以修改模型使之更準確地描述實際問題進而達到預測預報的目的。

2.1不可治愈的傳染病模型

近年來，雖然衛(wèi)生設施得到了改善、醫(yī)療水平也提高了，但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。1982年十分險惡的艾滋病毒爆發(fā)， 至今仍在蔓延; 2005年禽流感病毒爆發(fā)， 給人民的生命財產造成極大的危害;2018年的豬瘟的爆發(fā)，再次威脅人民生命財產安全。長久以來， 人們致力于建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的傳播過程， 分析受感染人數(shù)變化規(guī)律， 探索制止傳染病蔓延的手段等。

2.1.1模型的建立

假設條件為

（2）每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常熟α，α稱為日接觸率。當病人和健康者有效接觸時，使健康者受感染而變成病人。

為了修正上述的結果必須重新考慮模型的假設，下面我們討論病人可以治愈的情況。

2.2 可治愈的傳染病模型

模型中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率α越小;醫(yī)療水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。

因此，該傳染病模型描述了傳播的過程，分析感染人數(shù)的變化規(guī)律，預測傳染病高潮到來時刻并探索制止蔓延的手段。

參考文獻：

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