文∣吳青
蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊安排了可能性的內(nèi)容,通過摸球、摸牌等游戲,引導(dǎo)學(xué)生在操作、實(shí)驗(yàn)、觀察、比較中認(rèn)識簡單的隨機(jī)現(xiàn)象,了解事件發(fā)生的確定性和不確定性,感受簡單隨機(jī)事件的特點(diǎn),初步形成概率思想。
可能性在生活中的應(yīng)用非常廣泛,而在各種球類比賽中,則更是普遍地采用拋硬幣的方式來決定場地和發(fā)球順序。但是教材的例題部分和習(xí)題中都沒有安排讓學(xué)生拋硬幣的操作活動,只是在“你知道嗎”欄目中向?qū)W生介紹了數(shù)學(xué)家拋硬幣的試驗(yàn)結(jié)果,在“拓展應(yīng)用”中讓學(xué)生分析兩人同時(shí)各拋一枚硬幣的可能性問題。
考慮到拋硬幣在生活中的運(yùn)用是非常多的,所以我們應(yīng)該充分發(fā)揮硬幣的價(jià)值,幫助學(xué)生更好地體會事件發(fā)生的可能性,更加深刻地理解概率思想。
由于學(xué)生對乒乓球、足球等球類運(yùn)動非常感興趣,所以在本課教學(xué)時(shí),教師就從球類比賽導(dǎo)入,首先播放奧運(yùn)會乒乓球決賽剛開始時(shí)的一段視頻,然后問學(xué)生,有沒有注意到,在開始比賽之前,裁判員做了一個(gè)什么動作?只有部分細(xì)心的學(xué)生注意到了,于是教師把開頭的這一段重新播放了一遍,這下子大家都發(fā)現(xiàn)了,裁判員在拋硬幣。
接下來教師讓學(xué)生思考,裁判員為什么要拋硬幣?你們覺得用拋硬幣的方式?jīng)Q定誰先發(fā)球,這種做法公平嗎?為什么?許多學(xué)生都認(rèn)為是公平的,因?yàn)閽佊矌艜r(shí),可能會拋到正面,也可能會拋到反面,甚至有學(xué)生認(rèn)為,正面朝上和反面朝上的可能性相等。在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師及時(shí)進(jìn)行小結(jié),肯定了他們回答中所包含的兩個(gè)觀點(diǎn):①認(rèn)為在拋硬幣時(shí),可能是正面朝上,也可能是反面朝上;②認(rèn)為正面朝上和反面朝上的可能性相等。
教師向?qū)W生提出一個(gè)問題串,“可能性指的是什么?”“拋硬幣時(shí),真的會可能正面朝上,也可能反面朝上嗎?”“正面朝上和反面朝上的可能性確實(shí)相等嗎?”“我們該如何驗(yàn)證呢?”由此就順利地導(dǎo)入了新課的探究之中。
在這個(gè)課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié),教師巧妙地利用了乒乓球比賽中的拋硬幣環(huán)節(jié),當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)裁判員通過拋硬幣來決定雙方的場地和發(fā)球的先后順序時(shí),他們的好奇心一下子就被激發(fā)了出來,對拋硬幣產(chǎn)生了濃厚的興趣,從而拉近了可能性的知識與學(xué)生之間的心理距離,激發(fā)了學(xué)生的探究欲望,更加積極主動地投入接下來的課堂探究之中。
在導(dǎo)入環(huán)節(jié)分析了乒乓球比賽中拋硬幣的過程后,接下來教師就順勢展開課堂的探究活動,讓學(xué)生通過拋硬幣來認(rèn)識可能性。教師讓學(xué)生以小組為單位,每個(gè)學(xué)生各拋一次硬幣,組長把拋硬幣的結(jié)果按順序記錄下來。接下來進(jìn)行全班對比分析,讓學(xué)生觀察各小組記錄的數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)第一次拋硬幣時(shí),有的小組是正面朝上多,有的小組是反面朝上多;第二次拋硬幣時(shí),也是有的小組正面朝上多,有的小組反面朝上多……最后歸納,每一次拋硬幣時(shí),可能會正面朝上,也可能會反面朝上,每一次拋硬幣的結(jié)果都是不確定的,是隨機(jī)出現(xiàn)的,在拋之前我們無法預(yù)測會是哪個(gè)面朝上。
然后教師再選擇一組連續(xù)出現(xiàn)幾次正面(或反面)朝上的,讓學(xué)生觀察思考,這一組已經(jīng)連續(xù)有幾次正面朝上了,那么接下來再拋一次,一定還是正面朝上(或反面)朝上嗎?讓學(xué)生認(rèn)識到,盡管前面已經(jīng)連續(xù)拋出了幾次正面朝上,但是接下來仍然無法預(yù)測,同樣可能會正面朝上也可能會反面朝上,前面拋硬幣的結(jié)果對后面沒有任何影響。
在此基礎(chǔ)上,教師告訴學(xué)生,每一次拋硬幣都可能會正面朝上,也可能會反面朝上,這就是一個(gè)事件發(fā)生的“可能性”。在這樣的操作和分析的基礎(chǔ)上,學(xué)生對可能性的認(rèn)識會更加深刻,從而更好地認(rèn)識隨機(jī)事件。
小學(xué)階段所研究的概率知識,都是屬于古典概型,每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都是相等的。比如把4張撲克牌反扣在桌上,任意摸一張,那么每張牌被摸到的可能性是相等的,都是四分之一。
在摸牌活動中,當(dāng)把3張紅桃和1張黑桃反扣在桌上,任意摸一張牌,學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn),摸到紅桃的可能性比黑桃大,從而認(rèn)識到事件發(fā)生的可能性是有大有小的。從操作的數(shù)據(jù)上,我們可以直接看出哪個(gè)事件發(fā)生的可能性大。
但是可能性相等就不那么容易看出來了。因?yàn)槲覀冎?,拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性是相等的,但事實(shí)上,隨便我們拋多少次硬幣,隨便什么時(shí)候拋,很少會出現(xiàn)正面和反面次數(shù)正好相等的情形,絕大多數(shù)情況下出現(xiàn)的次數(shù)都是不相等的,甚至有時(shí)候還會相差比較大。那么,怎樣讓學(xué)生理解“可能性相等”這個(gè)知識呢?
可能性相等可以從兩個(gè)層面上去理解。第一是理論分析層面,因?yàn)橛矌庞姓磧擅?,拋硬幣時(shí)可能正面朝上也可能反面朝上,這兩種情況出現(xiàn)的可能性是相等的。至于為什么這時(shí)候正面朝上和反面朝上的可能性相等,學(xué)生沒辦法具體說明,而只能直觀感覺。
第二是大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)層面。我們可以進(jìn)行許多次試驗(yàn),把每一次試驗(yàn)的結(jié)果都記錄下來,然后觀察,隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多,某個(gè)事件發(fā)生的頻率越來越接近于某個(gè)固定的數(shù)值,如果逐漸穩(wěn)定在這一數(shù)值附近,那么這個(gè)數(shù)值就是該事件發(fā)生的概率,這就是概率的統(tǒng)計(jì)定義。當(dāng)兩個(gè)事件都不斷接近于某個(gè)相同的數(shù)值時(shí),我們就認(rèn)為這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的。
拿拋硬幣來說,要想驗(yàn)證正面朝上和反面朝上的可能性相等,我們可以采用大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法。歷史上有許多數(shù)學(xué)家就進(jìn)行了大量的拋硬幣試驗(yàn),得到了許多寶貴的數(shù)據(jù),在數(shù)學(xué)教材的“你知道嗎”部分作了介紹。分析這些數(shù)據(jù)我們會發(fā)現(xiàn),當(dāng)拋硬幣的總次數(shù)越來越多時(shí),正面朝上和反面朝上的次數(shù)會越來越接近。這里所說的“越來越接近”,不是指它們數(shù)量的絕對差越來越小,而是指數(shù)量差與總次數(shù)的比值(即相對差)越來越小,因此我們就認(rèn)為拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等。
對于這個(gè)內(nèi)容,許多教師都是在課堂的最后向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家拋硬幣的結(jié)果,讓學(xué)生簡單了解。但是這樣的安排,學(xué)生并不能認(rèn)識到表格中數(shù)據(jù)的真實(shí)價(jià)值,無法理解拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等的真正含義,所以感覺是膚淺的,流于形式。因此,我們一定要充分利用硬幣的價(jià)值,讓學(xué)生通過拋硬幣的實(shí)踐操作,體會概率的這種統(tǒng)計(jì)定義,真正理解可能性相等的實(shí)質(zhì),對概率思想有更加深刻的認(rèn)識。
在教學(xué)過程中,當(dāng)學(xué)生通過摸牌活動,認(rèn)識到可能性有大有小之后,教師讓學(xué)生再次思考乒乓球比賽前拋硬幣這個(gè)環(huán)節(jié),提問學(xué)生:“我們知道可能性是有大小的,那么通過拋硬幣的方式來決定誰先發(fā)球,這種做法公平嗎?”“你們覺得拋硬幣時(shí),正面朝上和反面朝上的可能性相等嗎?為什么相等?”關(guān)于這些問題,學(xué)生只能從經(jīng)驗(yàn)的角度,覺得可能性是相等的,但是無法說出具體理由。
接下來教師就讓學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證,每個(gè)學(xué)生各自拋10次硬幣,記錄正面朝上和反面朝上的次數(shù),然后匯報(bào)給組長,組長對本組的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總,然后教師把各組的數(shù)據(jù)填寫在一個(gè)表格中。在全班總共不到500次的操作中,正面朝上和反面朝上的次數(shù)相差幾十次,相差看似挺多,這是否表明,拋硬幣的時(shí)候正面朝上和反面朝上的可能性不相等?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了深入思考。學(xué)生認(rèn)為可能性是相等的,但是又說不出具體的理由,無法解釋為什么會有這么大的相差數(shù)。于是教師向?qū)W生提問:“剛才每個(gè)人都拋了10次,有哪些同學(xué)正面朝上的次數(shù)超過了反面朝上的3倍的?2倍的呢?”我們發(fā)現(xiàn),都沒有,只是多了那么一點(diǎn)兒。由此可見,一個(gè)人拋10次,出現(xiàn)的差距可能會比較大,但是全班這么多同學(xué)進(jìn)行匯總,總數(shù)量變大了,差距反而變小了。
通過對部分學(xué)生拋硬幣的結(jié)果和全班的統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較,讓學(xué)生認(rèn)識到,一個(gè)人拋硬幣出現(xiàn)的差距可能會比較大,而一旦把全班那么多同學(xué)的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總,差距就會變小了,當(dāng)然這種變小,指的是與總數(shù)量相比而言的變小。這種教學(xué)方式已經(jīng)初步滲透了大數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)意義了。接下來讓學(xué)生思考,如果我們繼續(xù)拋下去,結(jié)果會怎樣呢?學(xué)生自然會想到,繼續(xù)拋下去,正面朝上和反面朝上的次數(shù)會越來越接近。此時(shí),教師再出示教材中介紹的幾個(gè)數(shù)學(xué)家拋硬幣的數(shù)據(jù),讓學(xué)生進(jìn)行分析,更加肯定他們的想法,當(dāng)拋的總次數(shù)越來越多,正面朝上和反面朝上的次數(shù)會越來越接近。于是教師告訴學(xué)生,從這個(gè)角度來說,拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。
至此,學(xué)生已經(jīng)完全經(jīng)歷了拋硬幣時(shí)的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程,對可能性相等的含義有了更加深刻的理解,而不僅僅是停留于直觀的表層,那么以后他們再遇到概率問題,也會嘗試著運(yùn)用類似的方法進(jìn)行分析,培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和探究能力。
對于不可能發(fā)生的事件和一定發(fā)生的事件,在事件發(fā)生之前,我們就已經(jīng)能夠知道結(jié)果了,因此這種結(jié)果是確定的。對于確定和不確定這兩種不同的情形,我們在課堂上都可以通過讓學(xué)生摸球的操作來體會。比如,讓學(xué)生在裝有一個(gè)紅球和一個(gè)黃球的不透明袋子里摸球,發(fā)現(xiàn)摸出來的球可能是紅球,也可能是黃球,每次摸球的結(jié)果都是不確定的,摸球之前無法預(yù)測摸出的是什么顏色的球,讓學(xué)生理解操作結(jié)果的不確定性。然后在袋子中裝進(jìn)兩個(gè)紅球,再讓學(xué)生摸球,這時(shí)發(fā)現(xiàn)摸出來的一定是紅球,不可能是黃球,每次摸球的結(jié)果是確定的,摸球之前就能夠知道摸球的結(jié)果了,讓學(xué)生理解操作結(jié)果的確定性。
關(guān)于確定性和不確定性,許多教師的教學(xué)就到此為止,然后接下來就研究可能性的大小。但是,在現(xiàn)在這種情況下,學(xué)生對于確定性與不確定性的認(rèn)識還是初步的。學(xué)生并沒有真正認(rèn)識到這兩種不同情形之間的辯證關(guān)系。因此,我們的教學(xué)不能就此止步,而應(yīng)該繼續(xù)探究下去,讓學(xué)生深入體會確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系,從而對可能性以及概率思想有更加深刻的認(rèn)識。
在教學(xué)中,為了讓學(xué)生認(rèn)識到確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系,教師利用摸球和摸牌這兩個(gè)操作活動,設(shè)計(jì)了兩個(gè)對比性的探究環(huán)節(jié)。
首先是結(jié)合剛才袋中裝有兩個(gè)紅球的情形,學(xué)生發(fā)現(xiàn),每次摸出的“一定”是紅球,“不可能”是黃球,從而理解了“確定”的含義。此時(shí),教師緊接著提問,剛才這個(gè)口袋里裝的是兩個(gè)紅球,所以摸出來的一定是紅球,不可能是黃球,這個(gè)結(jié)果是確定的,有沒有什么不能確定的情況出現(xiàn)呢?當(dāng)學(xué)生回答不出時(shí),教師接著提示,如果把這里的兩個(gè)紅球分別標(biāo)上1號和2號,任意摸出一個(gè)球,會有什么結(jié)果?學(xué)生立刻意識到了,摸出來的可能是紅球1號,也可能是紅球2號,這時(shí)候的結(jié)果是不確定的。此時(shí),教師稍作小結(jié):換一個(gè)角度分析,確定性之中也隱含著不確定的因素,一定會發(fā)生的事件背后也存在著不同的可能。
接下來,教師出示4張撲克牌,分別是紅桃A、紅桃2、紅桃3和紅桃4,把這4張牌反扣在桌上,打亂順序,讓學(xué)生思考:“任意摸一張,可能摸到哪一張牌?”“在摸牌之前你能夠確定摸到的是哪張牌嗎?”學(xué)生回答:“無法確定能夠摸到哪張牌,這個(gè)結(jié)果是不確定的?!边@時(shí)教師緊接著進(jìn)行追問:“在這4張牌中任意摸一張,有沒有能夠確定的結(jié)果?”細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)這4張牌都是紅桃,于是回答說摸到的一定是紅桃。由此看來,在不確定性的背后也可能會隱含著確定性的因素。
通過上面這兩個(gè)小環(huán)節(jié)的探究分析,學(xué)生能夠深刻地認(rèn)識到確定性與不確定性兩者并不是相互割裂的,而是密切相關(guān)的。同時(shí)也體會到,換一個(gè)角度分析,得到的結(jié)果可能就會不相同,從而真正理解確定性與不確定性之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系。
拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等,那么拋2次硬幣,是不是一定會出現(xiàn)1次正面朝上、1次反面朝上呢?拋10次硬幣,正面朝上和反面朝上是不是肯定各有5次呢?或者,如果某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率是十分之一,是不是買10張獎(jiǎng)券就一定會有一張中獎(jiǎng)呢?答案都是否定的。這些都屬于不確定事件中的可能性問題,涉及確定事件與不確定事件的重要區(qū)別。對于確定事件來說,我們根據(jù)實(shí)際情況所計(jì)算出來的結(jié)果是確定的,是必然會實(shí)現(xiàn)的。但是,對于不確定事件來說,根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的概率所計(jì)算得到的結(jié)果,僅僅表示一種可能性,是不確定、隨機(jī)的。
所以在課堂上,我們應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識到隨機(jī)事件中的不確定性,體會可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的關(guān)系,從而真正理解概率思想。
在這節(jié)課上,教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題:“小明說,我拋2次硬幣,一定會有1次正面朝上,1次反面朝上。”“小麗說,我拋10次硬幣,那么正面朝上和反面朝上肯定各有5次。”讓學(xué)生判斷他們兩人說得對不對。這時(shí),結(jié)合學(xué)生剛才所進(jìn)行的每人各拋10次硬幣的操作,了解有哪些學(xué)生正面朝上和反面朝上各有5次,結(jié)果發(fā)現(xiàn)只有很少的幾個(gè)學(xué)生得到這樣的結(jié)果,其他學(xué)生正面朝上和反面朝上的次數(shù)都不相等,甚至有的學(xué)生還出現(xiàn)了9次正面朝上和1次反面朝上的情況。結(jié)合學(xué)生拋硬幣的結(jié)果進(jìn)行分析,讓學(xué)生明白“盡管我們知道拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等,從而可以計(jì)算出拋10次硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上應(yīng)該各5次,但是因?yàn)閽佊矌攀且环N隨機(jī)事件,拋的結(jié)果是不確定的”,所以,我們不能說正面朝上和反面朝上一定各有5次,而只能說“可能”各有5次。每一次的結(jié)果都是不確定的,那么我們剛才得到的結(jié)論“拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等”,是不是就沒有意義了呢?學(xué)生可能會有這樣的疑惑。教師可以結(jié)合剛才的統(tǒng)計(jì)過程,和學(xué)生進(jìn)行分析,盡管在某個(gè)范圍內(nèi),不能保證正面朝上和反面朝上的次數(shù)相等,但是,當(dāng)拋的次數(shù)越來越多時(shí),正面朝上和反面朝上的次數(shù)就會越來越接近。所以,從這個(gè)意義上來說,拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性確實(shí)是相等的。
一節(jié)好課,必須具有一定的拓展性。下課時(shí),不僅要讓學(xué)生把本節(jié)課所學(xué)的知識全都掌握,而且還要讓學(xué)生帶著問題和思考下課,讓學(xué)生把課堂上的探究活動延伸到課后,從而培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力。
在課堂的最后,教師讓學(xué)生思考,同時(shí)拋兩枚硬幣,會有幾種情況出現(xiàn)。哪種情形出現(xiàn)的可能性最大?這時(shí)學(xué)生眾說紛紜,教師沒有作任何判斷,只是告訴他們,要想知道正確的答案,可以自己課后進(jìn)行探究,就像課堂上拋一枚硬幣那樣,同時(shí)拋兩枚硬幣,然后記錄下每一次得到的結(jié)果,當(dāng)拋的次數(shù)越來越多時(shí),再來看看會有什么發(fā)現(xiàn)。
這節(jié)課雖然結(jié)束了,但學(xué)生的思考并沒有結(jié)束,探究也沒有停止,相信會有一些感興趣的學(xué)生在課后繼續(xù)探究,數(shù)學(xué)研究的意識逐漸萌芽,數(shù)學(xué)研究的能力也在逐步培養(yǎng)。
通過對拋硬幣資源的充分利用,學(xué)生在拋硬幣的過程中,充分理解可能性的含義,認(rèn)識可能性相等的真正內(nèi)涵,體會隨機(jī)事件中不確定性與確定性的辯證關(guān)系,明確可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的區(qū)別,從而能更好地感受隨機(jī)事件,深刻地理解概率思想。