劉鳳麗

(黑龍江大學 物理科學與技術學院, 哈爾濱 150080)

0 引 言

自20世紀70年代，第一顆磁化的白矮星GRW+70.8247被Kemp等觀察到，人們對磁化的白矮星的演化過程產(chǎn)生了濃厚的興趣，確定白矮星的結構、磁場大小及演化過程，需要對所觀測到的光譜進行分析[1]。1977年，Garstang研究了磁化的白矮星中H原子、He原子以及堿金屬原子的光譜[2]。2015年，F(xiàn)errario等通過磁場中原子光譜分析確定了單體和雙體白矮星的磁場大小[3]。目前，人們已經(jīng)觀察到被磁化的白矮星600多顆，其磁場一般在102～105T，磁場中的原子會發(fā)生塞曼效應。塞曼效應的研究不僅能從理論上提供磁場中原子光譜的數(shù)據(jù)，為研究原子內部結構提供重要途徑，而且在天體物理研究中可以用來預測天體的磁場，因此，人們更專注于研究磁場中原子的塞曼效應。

一般情況下，實驗室可能提供的穩(wěn)恒強磁場強度在幾十特斯拉的水平，對于更大的磁場地球實驗室提供不了，而磁化的白矮星卻能給研究人員提供一個102～105T的強磁場平臺[4]。人們可以通過強磁場中原子光譜的理論研究數(shù)據(jù)與實驗測得的天體的光譜實驗數(shù)據(jù)對比，一方面能獲得天體的組成成分，判斷天體的磁化程度，同時，也可以進一步檢測和研究強磁場中原子的結構和動力學特性。經(jīng)過幾十年的努力，人們發(fā)展了研究磁場中原子自然行為的理論和數(shù)值積分方法，最簡單的原子是氫原子，白矮星主要含有是H、C和He等元素，因此，人們熱衷于研究強磁場中H原子的結構和光譜特性，有的理論研究低能級和低磁場強度問題比較準確，有的理論研究高能級較好[5-7]。直至近十幾年，Zhao等[8]在前人的研究[9-11]基礎之上，發(fā)展了Finite-basis-set方法，研究了在白矮星磁場范圍H原子在核不動前提下各能級的精準數(shù)據(jù)，計算結果表明，在白矮星磁場范圍內,這類方法不論對H原子的低能級還是高能級都適用，計算結果不但精準而且計算非常節(jié)省機時。本課題組采用該理論方法及相應技術計算了H原子的部分能級、萊曼系、巴爾末系和帕型系的主要躍遷光譜數(shù)據(jù)[12-14]，在此基礎，本文首次研究了H原子的布喇開線系α譜線在白矮星磁場范圍的賽曼效應，計算劈裂能級的大小、躍遷譜線的能級差和波長，并分析了這些物理量隨磁場的變化規(guī)律，相關數(shù)據(jù)可為研究白矮星的結構和磁場大小的確定以及磁化的白矮星的演變過程等提供可靠依據(jù)。

1 理論與方法

(1)

采用球坐標系，表述H原子的狀態(tài)波函數(shù)寫成徑向B-spline函數(shù)Bj,k(r)和球諧波函數(shù)Ylm(θ,φ)乘積的線性疊加，即：

(2)

式中:l為角量子數(shù)；m為磁量子數(shù)，而關于B-spline函數(shù)Bj,k(r)的性質可參考文獻[8]，通過求解廣義本征值問題可得波函數(shù)和能量E，然后可求得體系的能級間隔ΔE和波長λ,公式為：

ΔE=Ef-Ei

(3)

λ=hc/(Ef-Ei)

(4)

式中：Ei和Ef分別為初態(tài)能級和末態(tài)能級；h為普朗克常量；c為光速。

2 結果與討論

無磁場時H原子能級是簡并的，布喇開系α譜線為主量子數(shù)n=4和n=5兩能級之間的躍遷。在強磁場下，能級劈裂發(fā)生塞曼效應，因此，計算了9種對稱性0±、(-1)±、(-2)±、(-3)±、(-4)+共25個本征態(tài)的能級，而結合能定義為能級的負值，各個本征態(tài)對應的結合能E隨磁感應強度變化數(shù)據(jù)如表1所示，磁感應強度γ給定為0.001、0.010、0.100和1.000 a.u.。

表1 H原子的結合能E隨磁感應強度γ變化

在非相對論框架下，當磁感應強度γ為0的時候，能級是n2度簡并的，如n=4能級簡并度為16。由表1看出，4s、4p、4d和4f對應同一個能級-0.031 250 00 a.u.，即結合能為0.031 250 00 a.u.，對應的本征態(tài)符號如表1所示50+、 60+、 30-、 40-、 3(-1)+、 4(-1)+、 2(-1)-、 2(-2)+、 1(-2)-和1(-3)+共10種本征態(tài)，其他還有6個本征態(tài)3(+1)+、 4(+1)+、 2(+1)-、 2(+2)+、 1(+2)-和1(+3)+的能級均與上述能級相等；當磁場不為0時，能級簡并消除，分為16個能級，表1只計算出10種本征態(tài)50+、 60+、 30-、 40-、 3(-1)+、 4(-1)+、2(-1)-、 2(-2)+、 1(-2)-和1(-3)+的能級大小，而3(+1)+、 4(+1)+、 3(+1)-、 2(+2)+、 1(+2)-和1(+3)+的6種本征態(tài)的能級可以用上述能級平移得到，在此不予給出。同理n=5能級簡并度為25，簡并能級大小為-0.020 000 00 a.u.，表中給出5s、5p、5d、5f和5g對應的15種本征態(tài)70+、 80+、 90+、 50-、 60-、 5(-1)+、 6(-1)+、 3(-1)-、 4(-1)-、 3(-2)+、 4(-2)+、 2(-2)-、 2(-3)+、 1(-3)-和1(-4)+的結合能，其他10種本征態(tài)的能級可以通過表中的計算結果平移得到。表1中2(-1)-、2(-2)+、1(-2)-和2(-2)-的4個本征態(tài)對應的結合能是文獻[14]的計算結果，其他本征態(tài)的能級值計算均采用的是同一種理論和計算方法，因此所有計算數(shù)據(jù)為可靠數(shù)據(jù)。

由表1可以看出，各個本征能級即結合能的負值隨磁感應強度的增加而發(fā)生不同的變化，圖1 給出無磁狀態(tài)下n=4的3個結合能為0.031 250 00 a.u的簡并本征態(tài)4f(1(-3)+)、4f(40-)和4d(60+)，以及n=5的3個結合能為0.020 000 00 a.u.的簡并本征態(tài)5g(1(-4)+)、5d(3(-1)-)和5p(50-)隨磁場增加的劈裂情況。當加入磁場時，n=4和n=5的2個能級發(fā)生劈裂，如磁感應強度為0.001 a.u.時，n=4的3個4f(1(-3)+)、4f(40-)和4d(60+)本征態(tài)的結合能分別為 0.033 210 06、0.031 711 42和 0.031 684 81 a.u.，即能級由無磁場的簡并能級-0.031 250 00 a.u.降為-0.033 210 06、-0.031 711 42和-0.031 684 81 a.u.，對4f(1(-3)+)本征態(tài)的結合能隨給定磁感應強度的增加而快速增加，意味著該態(tài)的能級隨給定磁感應強度的增加而快速降低；同樣，n=5的3個簡并本征態(tài)5g(1(-4)+)、5d(3(-1)-)和5p(50-)在磁感應強度為0.001 a.u.時，能級由無磁場的簡并能級-0.020 000 00 a.u.降低為-0.022 406 78、-0.020 955 76和-0.020 465 95 a.u.，隨著給定磁感應強度的增加，5g(1(-4)+)和5d(3(-1)-)兩個本征態(tài)的結合能逐漸升高，意味著它們的能級逐漸降低，5p(5(-1)+)態(tài)在磁感應強度為0.010 a.u.時，結合能為 0.022 530 34 a.u.，此時能級為- 0.022 530 34 a.u.，低于磁感應強度為0.001 a.u.時的能級，低于無磁場的能級， 當磁感應強度增加到0.100和1.000 a.u.時，能級分別為-0.016 267 92 和-0.017 555 64 a.u.，此時能級比無磁場的時候高。

圖1 H原子的6個本征態(tài)4f(1(-3)+)、4f(40-)、4d(60+)、5g(1(-4)+)、5d(3(-1)-)和5p(5(-1)+)

無磁場的時候，H原子布喇開系α譜線的能級間隔為0.011 250 00 a.u.，譜線波長為4 050.07 nm，該譜線在磁場中發(fā)生塞曼效應，按照躍遷選擇規(guī)則，表1中氫原子這些本征態(tài)之間要完成54種躍遷，54種躍遷光譜的能級間隔ΔE和波長λ隨磁感應強度變化的計算結果如表2所示。

表2 白矮星的磁場中H原子布喇開系α譜線的能級間隔ΔE和波長λ

續(xù)表

續(xù)表

由表2的數(shù)據(jù)可以看到，每一種躍遷的兩個態(tài)的能極差隨磁感應強度的變化而各不相同，能極差為正值，說明在磁場變化下初態(tài)和末態(tài)的能級上下順序不改變，如1(-3)+和1(-4)+兩個本征態(tài)的能級差為正值，并隨著給定磁感應強度的增加而逐漸變大，就意味著在給定磁感應強度下末態(tài)1(-4)+的能級一直高于初態(tài)1(-3)+的能級，由圖1可以看出，隨著給定磁感應強度的增加，1(-3)+本征態(tài)的結合能的曲線一直在1(-4)+本征態(tài)的結合能曲線的上方，末態(tài)1(-4)+的能級一直高于初態(tài)1(-3)+的能級，當磁感應強度γ=1.000 a.u.時，能級差為0.033 781 00 a.u.。表2列出了Schimeczek等采用柱坐標系利用二維B-Spline為基函數(shù)計算得到的該能級差為0.033 781 00 a.u.。Baye 等采用拉格朗日網(wǎng)格法在球坐標系或半拋物線坐標系計算出這兩個本征態(tài)的能級差為0.033 780 999 292 8 a.u.，可以看出，本文采用的理論和計算方法與前人的計算結果十分吻合，因此本文的計算數(shù)據(jù)可作為參考數(shù)據(jù)。若能級差為負值，則說明在磁場變化下初態(tài)和末態(tài)的能級發(fā)生翻轉，以無磁場時H原子的4d(60+)和5p(5(-1)+)兩個本征態(tài)能級為例。表1給出了當磁感應強度增加到γ=0.001 a.u.時，60+和5(-1)+本征態(tài)能級分別為-0.031 684 81和-0.020 936 30 a.u.，表2給出的末態(tài)和初態(tài)的能級差為0.010 748 50 a.u.，當γ=0.010 a.u.時，60+和5(-1)+本征態(tài)能級分別為-0.030 637 36和-0.025 434 36 a.u.，能級差為0.005 203 00 a.u.，在這兩個給定的磁感應強度下初末態(tài)能級高低順序不變；當磁感應強度增至γ=0.100和1.000 a.u.時，60+和5(-1)+的能級分別為-0.019 443 37 和-0.023 252 11、-0.015 197 91和-0.020 336 63 a.u.，能級差分別為-0.003 808 73和-0.005 138 71 a.u.，能級差為負，說明這樣的磁感應強度下，60+和5(-1)+兩個態(tài)的能級發(fā)生翻轉，圖1可以看出，60+和5(-1)+兩個本征態(tài)結合能在磁感應強度0.010和0.100 a.u.之間相交，即相交前的磁感應強度不引起能級翻轉，相交后的兩個給定的磁感應強度引起了兩個能級發(fā)生翻轉。同理，在給定磁感應強度60+和50-、40-和3(-1)-、4(-1)+和3(-2)+的能級都發(fā)生了翻轉現(xiàn)象。

圖2 H原子的波長λ隨磁感應強度γ的變化

為了理解磁場中光譜線的移動情況，圖2給出60+→5(-1)+、40-→3(-1)-和1(-3)+→1(-4)+的3種躍遷的譜線波長隨給定磁感應強度的變化曲線作為例子來分析。圖中虛線是無磁場時，n=4能級向n=5能級躍遷時的光譜線的波長4 050.07 nm，當磁感應強度增加到γ=0.001 a.u.時，60+→5(-1)+、40-→3(-1)-和1(-3)+→1(-4)+的3種躍遷的3條重合譜線發(fā)生劈裂，由表2可知波長分別為4 239.04、4 236.21和4 217.54 nm，波長比無磁場的譜線分別增加188.97、186.14和167.47 nm，譜線發(fā)生紅移，隨著給定磁場的增強，即當γ分別為0.010、0.100和1.000 a.u.時，60+→5(-1)+躍遷發(fā)生紅移，相對于無磁場情況下，分別移動為4 707.05、7 912.73和4 816.60 nm；40-→3(-1)-躍遷譜線在γ=0.010和0.100 a.u.時，發(fā)生紅移，譜線波長分別增加2 860.80和2 283.32 nm，當磁感應強度γ=1.000 a.u.時，波長為316.396 nm，譜線波長減少886.11 nm，發(fā)生藍移；1(-3)+→1(-4)+躍遷譜線在γ=0.010 a.u.時,發(fā)生紅移，波長增加629.21 nm，當磁感應強度增加到γ=0.100和1.000 a.u.時,譜線發(fā)生藍移，波長減小值分別為993.32 和 2 701.29 nm。

3 結 論

在球坐標系下，采用Finite-basis-size方法研究了H原子在白矮星強磁場中布喇開系α譜線的塞曼效應，磁感應強度選為磁化的白矮星磁場分別為0.001、0.010、0.100和1.000 a.u.。計算包含9種對稱性0±、(-1)±、(-2)±、(-3)±、(-4)+共25個本征態(tài)50+、60+、30-、40-、3(-1)+、4(-1)+、3(-1)-、2(-2)+、1(-2)-、1(-3)+、70+、80+、90+、50-、60-、5(-1)+、6(-1)+、3(-1)-、4(-1)-、3(-2)+、4(-2)+、2(-2)-、2(-3)+、1(-3)-和1(-4)+的能級，以及滿足躍遷選擇定則的54種躍遷光譜的能級間隔和波長。計算結果表明，無磁場的布喇開系α譜線在強磁場中發(fā)生塞曼效應，簡并消除，劈裂后的譜線與無磁場中簡并情況下的譜線相比會發(fā)生紅移或藍移，紅移或藍移的程度會隨著磁感應強度的改變而改變。本文研究數(shù)據(jù)部分與文獻吻合，因此所給出的研究方法適用于強磁場中原子光譜的理論研究，本文計算得到的光譜數(shù)據(jù)對于磁化的白矮星體的結構以及演變的研究有一定的參考價值。