李祎 黃勇

【編者按】 課程思政是新時代賦予教師的新使命，各門課程都要“守好一段渠，種好責(zé)任田”。這實(shí)際上是要求教師積極尋找學(xué)科教學(xué)與課程思政的內(nèi)在契合點(diǎn)，而非牽強(qiáng)附會、“貼標(biāo)簽”式地在學(xué)科教學(xué)中“附加”思政元素。上一期，我們分享了廣州大學(xué)曹廣福教授關(guān)于數(shù)學(xué)課程思政內(nèi)涵、目標(biāo)與實(shí)施的思考。本期，我們繼續(xù)聚焦課程思政這一熱點(diǎn)。

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該充分挖掘和揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在的辯證因素，指導(dǎo)學(xué)生利用辯證思維，如對立統(tǒng)一規(guī)律、否定之否定規(guī)律和聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)、理解知識（包括破解教學(xué)疑難），分析、解決問題，不斷提高學(xué)生的辯證思維水平。這既是數(shù)學(xué)課程思政的重要內(nèi)容，也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)“立德樹人”目標(biāo)的主要途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程思政;辯證思維;對立統(tǒng)一;聯(lián)系

本文系國家社會科學(xué)基金“十三五”規(guī)劃2018年度教育學(xué)西部項(xiàng)目“西北民族地區(qū)高中生理科學(xué)科核心素養(yǎng)培育路徑研究”（編號：XHA180288）的階段性研究成果。課程思政的核心是“展現(xiàn)一種科學(xué)思維，用辯證唯物主義和歷史唯物主義的思維方式看待事物，不能陷入唯心主義和機(jī)械唯物主義的泥沼，將理論導(dǎo)向神秘主義”曹廣福.數(shù)學(xué)課程思政：內(nèi)涵、目標(biāo)與實(shí)施[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（1）：59。。作為一種育人理念，課程思政的根本目的是實(shí)現(xiàn)“立德樹人”，即不僅強(qiáng)調(diào)知識學(xué)習(xí)，還強(qiáng)調(diào)思想塑造，注重教書與育人的有機(jī)統(tǒng)一。所謂數(shù)學(xué)課程思政，就是結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，充分挖掘其中的思政因素，將知識學(xué)習(xí)與思想塑造融為一體，最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值。

辯證思維是唯物辯證法在思維中的反映，對立統(tǒng)一規(guī)律、否定之否定規(guī)律是唯物辯證法的基本規(guī)律，聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)是唯物辯證法的基本觀點(diǎn)。恩格斯在《自然辯證法》中精辟地指出：“數(shù)學(xué)：辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式。”數(shù)學(xué)的思維和方法，本質(zhì)上都是辯證的。數(shù)學(xué)辯證思維的核心是重視事物的數(shù)量、形式和結(jié)構(gòu)的內(nèi)在矛盾，用聯(lián)系、滲透和轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)理解知識、處理問題。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該充分挖掘和揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在的辯證因素，指導(dǎo)學(xué)生利用辯證思維發(fā)現(xiàn)、理解知識，分析、解決問題，不斷提高學(xué)生的辯證思維水平。這既是數(shù)學(xué)課程思政的重要內(nèi)容，也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)“立德樹人”目標(biāo)的主要途徑。

一、利用辯證思維理解數(shù)學(xué)知識

（一）利用對立統(tǒng)一規(guī)律理解數(shù)學(xué)知識

唯物辯證法告訴我們，任何事物和現(xiàn)象都是由相互矛盾的兩個方面構(gòu)成的，它們相互分離、相互排斥又相互依存、相互融合，并能在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。因此，矛盾的雙方不僅是對立的，而且是統(tǒng)一的。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，是客觀世界數(shù)量、形式等的矛盾對立統(tǒng)一的結(jié)果，如特殊與一般、具體與抽象、變量與常量、有限與無限、近似與精確、偶然與必然等。這些對立統(tǒng)一，催生了各數(shù)學(xué)分支博大而精深的理論體系。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該充分運(yùn)用對立統(tǒng)一規(guī)律、否定之否定規(guī)律進(jìn)行分析，幫助學(xué)生深刻理解有關(guān)概念、性質(zhì)——實(shí)質(zhì)是理解其中蘊(yùn)含的思想，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。

比如，數(shù)學(xué)運(yùn)算及其對象之間、各種數(shù)學(xué)運(yùn)算之間，既有差異又有聯(lián)系。研究數(shù)學(xué)運(yùn)算如何從簡單到復(fù)雜、從低級到高級發(fā)展，以及它們之間存在著怎樣的對立統(tǒng)一關(guān)系，可以幫助學(xué)生深刻理解有關(guān)運(yùn)算。具體來說，加法和減法是兩種互逆運(yùn)算，它們是對立的;引入負(fù)數(shù)后，加法和減法之間就可以互相轉(zhuǎn)化，它們又是統(tǒng)一的。將加數(shù)相同的加法轉(zhuǎn)化為乘法后，乘法和除法是兩種互逆運(yùn)算，它們是對立的;引入倒數(shù)后，乘法和除法之間就可以互相轉(zhuǎn)化，它們又是統(tǒng)一的。將乘數(shù)相同的乘法轉(zhuǎn)化為乘方后，乘方和開方是兩種互逆運(yùn)算，它們是對立的;學(xué)習(xí)指數(shù)冪后，乘方運(yùn)算和開方運(yùn)算就可以統(tǒng)一為指數(shù)冪運(yùn)算。再來考慮指數(shù)冪的逆運(yùn)算，便得到了對數(shù)運(yùn)算。正如恩格斯所言：“從一個形式到另一個相反的形式的轉(zhuǎn)變，并不是一種無聊的游戲，它是數(shù)學(xué)科學(xué)的最有力的杠桿之一。如果沒有它，今天就幾乎無法進(jìn)行一個比較困難的運(yùn)算?！倍鞲袼?自然辯證法[M].于光遠(yuǎn)，等編譯.北京：人民出版社，1984：266。

又如，教學(xué)導(dǎo)數(shù)概念，僅讓學(xué)生記住其形式化定義f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須讓學(xué)生理解其中蘊(yùn)含的解決相關(guān)問題的否定之否定的思維：要解決“某一點(diǎn)”的問題（瞬時變化率），停留在這一點(diǎn)無法解決，因此，對這一點(diǎn)進(jìn)行“否定”（給增量Δx），否定的結(jié)果是得到“另一點(diǎn)”，并由此得到一個區(qū)間[（x，x+Δx）或（x+Δx，x）];先在這個區(qū)間上求出近似值，即平均變化率f（x+Δx）-f（x）Δx，再對另一點(diǎn)進(jìn)行“否定”（令Δx→0），由此，把平均變化率轉(zhuǎn)化為瞬時變化率。簡而言之，靜止地停留在這一點(diǎn)無法解決的問題，經(jīng)過兩次辯證否定，得以成功解決。這里，一方面，對于任給的增量Δx，平均變化率不是瞬時變化率，反映了過程與結(jié)果、近似與精確對立的一面;另一方面，隨著變化過程的推進(jìn)，平均變化率又轉(zhuǎn)化為瞬時變化率，反映了過程與結(jié)果、近似與精確統(tǒng)一的一面。

（二）利用聯(lián)系的觀點(diǎn)理解數(shù)學(xué)知識

形而上學(xué)用孤立、靜止的觀點(diǎn)看世界。與之相反，唯物辯證法認(rèn)為，世界是普遍聯(lián)系且不斷變化的，整個世界都是一個相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體，任何事物都處在這個統(tǒng)一整體之中，各個對象或現(xiàn)象相互有機(jī)地聯(lián)系著、依賴著、制約著。科學(xué)世界是這樣的，數(shù)學(xué)科學(xué)同樣如此?？此棋漠惖臄?shù)學(xué)內(nèi)容，實(shí)則可能存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系。正如大數(shù)學(xué)家希爾伯特所言：“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正在于各個部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識千差萬別，我們?nèi)匀磺宄匾庾R到：在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關(guān)系，同時在它的不同部分之間也有大量的相似之處?！痹∶鳎?，周煥山.數(shù)學(xué)思想發(fā)展簡史[M].北京：高等教育出版社，1992：205。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識和分析數(shù)學(xué)知識，這對于學(xué)生從整體上系統(tǒng)地建構(gòu)和理解數(shù)學(xué)非常重要——不僅有助于學(xué)生獲得融會貫通的知識，而且有助于他們“左右逢源”地解決問題。

比如，教學(xué)向量概念時，很多教師是這么講的：我們之前學(xué)習(xí)的量叫數(shù)量，數(shù)量只有大小、沒有方向;今天新學(xué)習(xí)的量叫向量，向量不僅有大小，還有方向。這樣就把數(shù)量與向量人為地割裂了。一些學(xué)生會想到：之前學(xué)習(xí)“有理數(shù)”時，為了表示相反意義的量，引進(jìn)了負(fù)數(shù)，而“相反”說的不就是方向嗎？誰說數(shù)量沒有方向？其實(shí)，從聯(lián)系的觀點(diǎn)來看，實(shí)數(shù)就是一維向量。在數(shù)軸上，讓這個一維向量的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，向量的終點(diǎn)就會對應(yīng)數(shù)軸上的一個點(diǎn)（實(shí)數(shù)），于是，就可以建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。實(shí)數(shù)的符號就是一維向量的方向，實(shí)數(shù)的絕對值就是一維向量的模（大?。?。因此，可以說，平面向量就是數(shù)量的推廣，而且在推廣的過程中，其大小、方向、數(shù)乘運(yùn)算等都是一脈相承的，其本質(zhì)保持不變。

認(rèn)識到向量與數(shù)量之間的這種聯(lián)系性，教學(xué)向量的加法運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算時，便可以采取完全不同的策略。教學(xué)兩個向量的加法運(yùn)算，可以從兩個特殊的向量——共線向量入手，再將其分為方向相同的共線向量和方向相反的共線向量兩種情況。無論是哪種情況，它們相加完全類似于有理數(shù)相加，或者說，它們相加就轉(zhuǎn)化成了有理數(shù)相加。對于不共線的兩個共起點(diǎn)的向量，它們不能直接相加，必須轉(zhuǎn)化成共線向量才能相加。該如何轉(zhuǎn)化呢？由于它們的方向完全不同，因此相加后向量的方向只能“折中”——走“中間路線”。物理學(xué)中力的合成實(shí)驗(yàn)表明，這樣的相加遵循“平行四邊形法則”。實(shí)際上，這就相當(dāng)于把兩個向量投影到平行四邊形對角線所在的直線上，變成共線的兩個投影向量后，再相加。對于不共線的兩個首尾相接的向量而言，物理學(xué)中位移合成的等效原理表明，它們相加遵循“三角形法則”，這就相當(dāng)于把兩個向量投影到連接第一個向量起點(diǎn)和第二個向量終點(diǎn)的直線上，同樣是變成共線的兩個投影向量后，再相加。教學(xué)兩個向量的數(shù)量積運(yùn)算，同樣如此。當(dāng)這兩個向量不共線時，由于方向不同，無法直接相乘，所以把其中一個向量投影到另一個向量所在的直線上，于是這個投影向量與后一個向量就變成了共線的兩個向量，它們相乘完全類似于兩個有理數(shù)相乘?？傊?，通過向量的投影和投影向量，把非共線向量轉(zhuǎn)化成了共線向量，把向量的加法運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了類似于有理數(shù)的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，由此實(shí)現(xiàn)了問題的化歸轉(zhuǎn)化。

二、利用辯證思維破解教學(xué)疑點(diǎn)

辯證思維通常被認(rèn)為是與邏輯思維相對立的一種思維方式。在邏輯思維中，事物一般是“非此即彼”“非真即假”的;但在辯證思維中，事物可以在同一時間內(nèi)“亦此亦彼”“亦真亦假”，而無礙思維活動的正常進(jìn)行。特別是在大多數(shù)人的心目中，數(shù)學(xué)是確定無疑的絕對真理的集合，因此，在認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)對象時，更容易采用二元對立思維，犯絕對主義、教條主義、機(jī)械論的錯誤。而采用辯證思維認(rèn)識和處理這類問題，則可以有效地破解這些教學(xué)疑點(diǎn)。

比如，常有教師提問：“x2x是不是分式？”“y=2log2x是不是對數(shù)函數(shù)？”前者在初中通常會給出肯定的回答，因?yàn)樗戏质降男问交x，即“如果A、B表示兩個整式，B中含有字母，那么式子AB叫作分式”。這里依據(jù)的是化簡前的形式。后者在高中通常也會給出肯定的回答，因?yàn)閥=2log2x=log2x2=log2x，滿足對數(shù)函數(shù)的形式化定義“y=logax”。這里依據(jù)的是化簡后的形式。兩者比較，學(xué)生很容易犯糊涂：究竟是看化簡前的，還是看化簡后的？是看形式，還是看實(shí)質(zhì)？其實(shí)，對這類涉及形式與實(shí)質(zhì)、過程與結(jié)果關(guān)系的問題，只要不持“非此即彼”的二元對立思維，而是在約定條件下認(rèn)識和討論，就不會有任何爭議。比如，我們可以認(rèn)為，x+12y在化簡前不是分式，但在化簡后可以變成分式。在教學(xué)中，關(guān)鍵是認(rèn)識對象的實(shí)質(zhì);而在考試中，更不宜用此類問題來考查學(xué)生。

事實(shí)上，按照唯物辯證法，任何事物的內(nèi)部都是一分為二的，矛盾雙方都是對立統(tǒng)一的。由矛盾論所提供的思維方法，叫作二元思維法。因?yàn)樵谡J(rèn)識矛盾的過程中，思維的對象始終是兩個，而不是一個或多個?？茖W(xué)的辯證法，不僅承認(rèn)“一分為二”，即承認(rèn)矛盾的對立性;還承認(rèn)“合二為一”，即承認(rèn)矛盾的統(tǒng)一性。認(rèn)識到這一點(diǎn)，并采取相應(yīng)的思維方式，對于破解許多教學(xué)疑點(diǎn)，都是非常重要的。

比如，從過程來看，對數(shù)logab是在aN=b中，求指數(shù)N的一種運(yùn)算;從結(jié)果來看，對數(shù)logab本身就是一個實(shí)數(shù)，可以當(dāng)作操作對象直接參與運(yùn)算。因此，在某個課堂的小結(jié)環(huán)節(jié)，面對教師“對數(shù)是什么？”的提問，有的學(xué)生回答“對數(shù)是一種運(yùn)算”，有的學(xué)生回答“對數(shù)是一個數(shù)”。這看似截然不同的兩種回答，其實(shí)揭示了對數(shù)概念作為“過程”與“結(jié)果”辯證統(tǒng)一的特征。若要較真“對數(shù)究竟是什么”，那便犯了絕對主義、教條主義的錯誤。

又如，從過程來看，函數(shù)表示從自變量到因變量的一種對應(yīng)過程，即f：x→y;從結(jié)果來看，函數(shù)作為一個數(shù)學(xué)對象，可以直接參與數(shù)學(xué)運(yùn)算，如f（x）+g（x）等。因此，函數(shù)概念同樣是“過程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一體。在這里，那種“唯結(jié)果”或“唯過程”的回答，都是形而上學(xué)的、錯誤的。其錯誤根源，正如馬克思在批評形而上學(xué)的錯誤時所指出的那樣：“在看出有差別的地方就看不見統(tǒng)一?！敝泄仓醒腭R克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局.馬克思恩格斯選集（第一卷） [M].北京：人民出版社，1995：172。

三、利用辯證思維解決數(shù)學(xué)問題

相關(guān)研究表明，學(xué)生辯證思維的發(fā)展，在初中階段，處于較低水平;在初高中過渡時期，處于迅速發(fā)展階段;從高二開始，已經(jīng)占有優(yōu)勢地位。掌握了這一認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，我們不僅可以利用辯證思維幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，還可以利用辯證思維幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

比如，對于絕對值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的證明，由于a、b具有任意性，我們利用動靜轉(zhuǎn)換策略和數(shù)形結(jié)合思想，把a(bǔ)看作變量x，把b當(dāng)作常量，針對不等式的三端，分別構(gòu)造函數(shù)y=|x|-|b|，y=|x±b|，y=|x|+|b|，畫出它們的圖像，得到直觀表達(dá)，其大小關(guān)系便一目了然。在這里，一方面，依據(jù)唯物辯證法，靜止和運(yùn)動是相對而言的，常量與變量具有相對意義，因此，它們可以相互轉(zhuǎn)化，我們既可以以靜制動，把變量當(dāng)成常量來處理，也可以化靜為動，把常量看成變量來處理;另一方面，數(shù)當(dāng)然不是形，形也不是數(shù)，但數(shù)與形在一定的條件下又可以相互轉(zhuǎn)化，這體現(xiàn)了數(shù)與形的關(guān)系也是對立統(tǒng)一的。

掌握了以上辯證思維的規(guī)律和方法，就可以此來解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

比如，對于解不等式問題x2-6x+13+x2+6x+13≤8，如果用常規(guī)方法求解，即平方、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等，其復(fù)雜性是顯而易見的。但如果注意到不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其化為（x-3）2+22+（x+3）2+22≤8，便可以化靜為動，將常量2看作變量y，得到（x-3）2+y2+（x+3）2+y2≤8。其幾何意義是動點(diǎn)（x，y）到兩定點(diǎn)（-3，0）和（3，0）的距離之和不大于8。根據(jù)橢圓的定義，動點(diǎn)（x，y）的軌跡是a=4、c=3，即方程為x216+y27=1的橢圓的內(nèi)部區(qū)域。再以靜制動，令y=2，便可得原不等式的解為-4217≤x≤4217（如圖1所示）。李祎.論數(shù)學(xué)解題創(chuàng)新的教學(xué)原則與策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（8）：2325。

動靜轉(zhuǎn)換的辯證思維不僅體現(xiàn)在常量與變量的相互轉(zhuǎn)化上，在解決許多涉及幾何圖形的問題時也經(jīng)?？梢杂玫?。

比如，在求與已知圓x2+y2-2x-4y=0相切于點(diǎn)M（3，3）且經(jīng)過點(diǎn)N（5，3）的圓的方程時，我們可以化靜為動，把點(diǎn)M（3，3）看作圓（x-3）2+（y-3）2=r2在r→0時的極限狀態(tài)，那么經(jīng)過這個圓與已知圓的交點(diǎn)的圓系方程為（x-3）2+（y-3）2-r2+k（x2+y2-2x-4y）=0。應(yīng)用待定系數(shù)法，令x=5，y=3且r=0，便可求得k=-13。把r=0和k=-13代入圓系方程，便得所求圓的方程為x2+y2-8x-7y+27=0。這里，通過化靜為動、以靜制動，使原問題得到了巧妙的解決。

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